Реферат: Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения

Курсовая работа

Выполнил студент 2 курса 1222 группы Труфанов Александр Николаевич

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный университет»

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений и теории управления

Самара 2004

Теорема существования и единственности решения уравнения

Пусть дано уравнение

/>

с начальным условием

/>

Пусть в замкнутой области R />функции />и />непрерывны). Тогда на некотором отрезке />существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию />.

Последовательные приближения определяются формулами:

/> /> k = 1,2....

Задание №9

Перейти от уравнения

/>

к системе нормального вида и при начальных условиях

/>, />, />

построить два последовательных приближения к решению.

Произведем замену переменных

/>; />

и перейдем к системе нормального вида:

/>

Построим последовательные приближения

/>

/>

Задание №10

Построить три последовательных приближения /> к решению задачи

/>, />

Построим последовательные приближения

/>

/>

Задание №11

а) Задачу

/>, />

свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения />

б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.

Сведем данное уравнение к интегральному :

/>

/>

/>

Докажем равномерную сходимость последовательных приближений

С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность

/>

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке />, который содержит внутри себя точку />. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства

/> />i = 0, 1, 2 …

Если график функции /> проходит в области Г, то функция /> определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция />, нужно, чтобы и график функции /> проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок />достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка />, можно достичь того, чтобы для последовательности /> выполнялись неравенства:

/>, i = 1, 2, …,

где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:

/>, i = 1, 2, …,

Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим />, например, на />. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:

/>

что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.

С другой стороны, на нашем отрезке выполняется />, что также совершенно очевидно. А так как последовательность /> сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.

Список литературы

Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998

О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям», Самара: Издательство «Самарский университет», 1999

А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998