Реферат: Различные подходы к определению проективной плоскости
--PAGE_BREAK--1.4. Теорема Дезарга.При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема Дезарга, которая гласит:
Теорема:Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
ABÇA'B'=P, ACÇA'C'=Q, BCÇB'C'=R, AA'ÇBB'ÇCC'=O,
P,Q,R— лежат в одной прямой?
<img width=«518» height=«261» src=«ref-1_297664131-8370.coolpic» v:shapes="_x0000_s1082 _x0000_s1076 _x0000_s1080 _x0000_s1079 _x0000_s1078 _x0000_s1081 _x0000_s1077 _x0000_s1075 _x0000_s1074 _x0000_s1073 _x0000_s1071 _x0000_s1072">
Доказательство:
Рассмотрим векторы O,A,A',B,B',C,C',P,Q,Rпорождающие соответствующие (), так как А, А', О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. O= aA+ a'A'.
Из того, что В', В, О — лежат на одной прямой ÞВ, В', О- линейно зависимы ÞO= bB+ b'B'
()С, С', О — лежат на одной прямой ÞO= cC+ c'C'
aA+ a'A' = bB+ b'B' = cC+ c'C'
aA — bB = b'B' — a'A' = P (1)
А, В, Р — линейно зависимы Þ() А, В, Р Îодной прямой, А', В', Р'- линейно зависимы Þ()А', В', Р' Îодной прямой.
P=ABÇA'B'
aA— cC= c'C' — a'A' (2)
А, С,Q— линейно зависимы Þ()А, С,QÎодной прямой.
А', С',Q'- линейно зависимы Þ()А', С',Q' Îодной прямой.
Следовательно, Q=АСÇА'С'
bB— cC = c'C' — b'B' = R (3)
В, С,R–линейно зависимы Þ()В, С,RÎодной прямой.
В', С',R' –линейно зависимы Þ()В', С',R' Îодной прямой
Следовательно, R=ВСÇВ'С'.
Составим выражение: <img width=«77» height=«28» src=«ref-1_297672501-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">
<img width=«337» height=«28» src=«ref-1_297672798-571.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026"> — векторы <img width=«87» height=«29» src=«ref-1_297673369-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> линейно зависимы Þ()P,Q,Rлежат на одной прямой.
Теорема доказана.
Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'ÇВВ'ÇСС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки P,Q,R— дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:
Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.
<img width=«88» height=«126» src=«ref-1_297673663-962.coolpic» v:shapes="_x0000_s1084"><img width=«136» height=«117» src=«ref-1_297674625-674.coolpic» v:shapes="_x0000_s1085">Замечание: Трехвершинник — это фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.
<img width=«257» height=«31» src=«ref-1_297675299-650.coolpic» v:shapes="_x0000_s1086 _x0000_s1088 _x0000_s1087">
А, В, С- вершины прямые АВ, ВС, АС- стороны
1.5. Теорема Паппа.
Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему Паскаля.
<img width=«334» height=«184» src=«ref-1_297675949-7999.coolpic» v:shapes="_x0000_s1089 _x0000_s1096 _x0000_s1093 _x0000_s1092 _x0000_s1094 _x0000_s1091 _x0000_s1090 _x0000_s1095">
рис. 1
Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’ÇA’B=P,AC’ÇA'C=Q, BC’ÇB’C=R.(рис. 1)
P,Q,Rпринадлежат прямой (прямая Паскаля)
Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А, В, С, А', В', С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых lи l
', которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'ÇА'В, Q=А'СÇАС', R=ВС'ÇВ'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа. Теперь эта теорема носит название Паппа — Паскаля.
<img width=«415» height=«194» src=«ref-1_297683948-6480.coolpic» v:shapes="_x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1102 _x0000_s1101 _x0000_s1100 _x0000_s1099 _x0000_s1098 _x0000_s1097">
<img width=«415» height=«2» src=«ref-1_297690428-168.coolpic» v:shapes="_x0000_s1105"> Рис. 2
<img width=«626» height=«2» src=«ref-1_297690596-168.coolpic» v:shapes="_x0000_s1106">*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.
<img width=«242» height=«142» src=«ref-1_297690764-1809.coolpic» v:shapes="_x0000_s1109 _x0000_s1108 _x0000_s1117 _x0000_s1116 _x0000_s1107"> <img width=«232» height=«107» src=«ref-1_297692573-2418.coolpic» v:shapes="_x0000_s1115 _x0000_s1114 _x0000_s1113 _x0000_s1112 _x0000_s1111 _x0000_s1110">
<img width=«146» height=«2» src=«ref-1_297694991-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1118">
<img width=«376» height=«300» src=«ref-1_297695151-7658.coolpic» v:shapes="_x0000_s1119 _x0000_s1121 _x0000_s1127 _x0000_s1120 _x0000_s1123 _x0000_s1125 _x0000_s1122 _x0000_s1124 _x0000_s1126">
Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.
Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.
Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.
2.1. Понятие проективной плоскости.
Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.
Будем обозначать его Х={(Х1, Х2, Х3)}
Множество всех проективных точек называется действительной проективной плоскостью.
Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:
С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1)
где хотя бы одно из чисел Ciотлично от нуля.
Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1, Х2, Х3) удовлетворяет уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительном lтройка (lХ1, lХ2, lХ3) удовлетворяет уравнению (1).
Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному однородному уравнению.
(mС1)Х 1+ (mС2)Х 2+ (mС3)Х 3=0 (2)
при "mÎR: m¹0.
Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1, С2, С3)}. Так, что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2) будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1, С2, С3)}.
Равенство (2) можно записать также в виде
СХ=0 (3)
Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0
Замечание: Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него нулевой вектор 0. Множество L3\{0} разобьем по классам эквивалентности так, что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых принадлежат \{}назовем одномерной проективной плоскостью (прямой).
В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка (Х1, Х2, Х3), а каждому классу эквивалентности из L3\{}(т.е. проективной ())- класс {(Х1, Х2, Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой строки.
Мы пришли к определению проективной плоскости.
2.2. Свойства проективной плоскости.
Докажем несколько простых теорем о взаимном расположении () и прямых на проективной плоскости.
Теорема 1: Через две различные () проходит единственная прямая.
<img width=«269» height=«52» src=«ref-1_297702809-652.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1128">Доказательство: 1) Существование. Пусть Х= {(Х1, Х2, Х3)} и У={(Y1,Y2,Y3)} две различные (). Определим прямую следующим образом:
C= Х*Y то есть С =
так как CХ = (Х*Y)Х = |Х,Y, Х| = 0
CY= (Х*Y)Y= |Х,Y,Y| = 0
и по свойству определителей, то () Х и Yпринадлежат прямой С.
2) Единственность. Если прямая С={(C1,C2,C3)} содержит () Х и Y, то любой представитель (C1,C2,C3) класса С удовлетворяет системе уравнений.
<img width=«11» height=«49» src=«ref-1_297703461-293.coolpic» v:shapes="_x0000_s1129"> C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0
C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5)
$бесконечное множество ненулевых решений этой системы (нулевое решение не определяет прямую). При этом для "решения (С1, С2, С3) справедливо равенство:
<img width=«30» height=«40» src=«ref-1_297703754-377.coolpic» v:shapes="_x0000_s1130"><img width=«11» height=«40» src=«ref-1_297704131-257.coolpic» v:shapes="_x0000_s1131"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_297704388-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1132"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_297704388-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1133"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_297704388-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1134"><img width=«21» height=«40» src=«ref-1_297704853-343.coolpic» v:shapes="_x0000_s1135"><img width=«11» height=«40» src=«ref-1_297705196-262.coolpic» v:shapes="_x0000_s1136"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_297705458-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1137"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_297705458-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1138"><img width=«2» height=«40» src=«ref-1_297705458-155.coolpic» v:shapes="_x0000_s1139">{(C1,C2,C3 )}= Х2, Х3 Х3, Х1 Х1, Х2
Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2
Т.е. решения системы (5) образуют единственный класс ненулевых троек. Этот класс определяет единственную прямую С. ч.т.д.
Теорема2: Две различные прямые имеют единственную общую точку.
Доказательство: Пусть, С={(С1, С2, С3)}, m={(m1,m2,m3)} две различные прямые. Найдем () Х ={(Х1, Х2, Х3)}, лежащую на этих прямых. Достаточно повторить доказательство предыдущей теоремы, заменив Х на С, Yна m, С на Х. Получим, что единственная общая точка Х определяется равенством
Х=С*m(6). ч.т.д.
Теорема3: Для того, чтобы три () Х,Y,Zлежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
<img width=«2» height=«59» src=«ref-1_297705923-156.coolpic» v:shapes="_x0000_s1140"><img width=«2» height=«59» src=«ref-1_297706079-158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1141"> Х1 Х2 Х3
|X,Y,Z|=0 (7), то есть Y1 Y2 Y3 =0
Z1 Z2 Z3
Доказательство: 1)Необходимость. Пусть () X,Y,Zлежат на одной прямой С. если хотя бы две из них совпадают, то равенство (7) следует из определения смешенного произведения и свойств определителя. Пусть эти () различны. Пользуясь теоремой 1, можно записать C=X*Y. Так как ()Zлежит на прямой C, то CZ=0 Þ(X*Y)Z=|X,Y,Z|=0
2)Достаточность. Пусть выполняется равенство (7). Рассмотрим произведение C=X*Y. Равенство (7) можно записать в виде (X*Y)Z=0, то есть CZ=0 Þ()zлежит на прямой Cпроходящей через () Xи Y. Равенство (7) не зависит от выбора представителей точек.
Теорема доказана.
Теорема4: Для того, чтобы три прямые c, m, nпроходили через одну () необходимо и достаточно, чтобы
|c,m,n|=0 (8)
Для троек действительных чисел понятие линейной зависимости и линейной независимости определяется так же, как и для векторов. Пусть тройки x,…, xлинейно зависимы. Легко проверить, что "другие тройки x,…, x, принадлежащие тем же классам, тоже линейно зависимы. Поэтому классы троек (точки) линейно зависимы, если линейно зависимы какие-нибудь представители этих классов.
Из теорем 3 и 4 следуют две теоремы.
Теорема5: Для того, чтобы три () лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Теорема6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
2.3. Теорема Дезарга.
На проективной действительной плоскости имеет место теорема Дезарга.
Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
P=ABÇA'B', Q=ACÇA'C', R=BCÇB'C', AA'ÇBB'ÇCC'=Q
P,Q,Rлежат на одной прямой.
<img width=«2» height=«229» src=«ref-1_297706237-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1142"><img width=«2» height=«229» src=«ref-1_297706401-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1143"><img width=«229» height=«239» src=«ref-1_297706566-1554.coolpic» v:shapes="_x0000_s1144"><img width=«97» height=«239» src=«ref-1_297708120-1114.coolpic» v:shapes="_x0000_s1145">Доказательство: Введем проективную систему координат, примем () А, В, С, О за фундаментальные:
<img width=«325» height=«181» src=«ref-1_297709234-4672.coolpic» v:shapes="_x0000_s1153 _x0000_s1157 _x0000_s1151 _x0000_s1150 _x0000_s1149 _x0000_s1148 _x0000_s1156 _x0000_s1155 _x0000_s1154 _x0000_s1147 _x0000_s1152 _x0000_s1146">
А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)
Координаты ()А'- есть линейная комбинация координат ()А и ()О, так как А¹А', то а'=aА + dq
<img width=«496» height=«598» src=«ref-1_297713906-6621.coolpic» v:shapes="_x0000_s1158">
Можно положить d=1. Тогда получаем А'=aА +q. Тоже самое относится и к другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А'(a+1,1,1), В'(1,b+1,1), С'(1,1,g+1) уравнение прямой АВ:
<img width=«488» height=«90» src=«ref-1_297720527-1034.coolpic» v:shapes="_x0000_s1159">
так как R= BCÇB’C’
<img width=«351» height=«53» src=«ref-1_297721561-799.coolpic» v:shapes="_x0000_s1160">
С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P,Q,Rлежат на одной прямой.
<img width=«2» height=«78» src=«ref-1_297722360-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1161"><img width=«2» height=«78» src=«ref-1_297722517-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1162"><img width=«2» height=«78» src=«ref-1_297722517-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1163"><img width=«2» height=«78» src=«ref-1_297722360-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1164">Имеем a -b 0 a -b 0
a 0 g = a -b 0 =0
0 -b -g 0 -b -g
Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P,Q,RÎодной прямой.
Теорема доказана.
продолжение
--PAGE_BREAK--Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.
3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.
Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии, которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории.
Определение: Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.
А1: Для "двух различных точек Р и Q$единственная прямая, проходящая через них.
Две прямые называются параллельными, если они совпадают или не имеют общих точек.
А2: Для "заданной прямой lи точки Р $одна и только одна проходящая через Р прямая m: m|| l
А3: $три неколлинеарные точки (Точки Р1, Р2,…Рnназываются коллинеарными, если $прямая l, что все эти точки ей принадлежат).
Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть является аффинной плоскостью.
Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.
Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки; обозначим их через P,Q,R. Согласно А2, $прямая l, проходящая через Р и параллельной прямой QR, соединяющей Qи R(эта прямая $по А1). Точно так же доказывается $прямой
m|| PQ, проходящей через R.
Покажем теперь, что l|| m.
же S¹R. Таким образом, четвертая () Sнеобходимо должна существовать и наше первое утверждение доказано.
<img width=«199» height=«98» src=«ref-1_297722988-1986.coolpic» v:shapes="_x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1168 _x0000_s1167 _x0000_s1166 _x0000_s1165">
Теперь рассмотрим прямые PRи QS. Они могут пересекаться, но они могут и не пересекаться — это не противоречит аксиомам.
В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре () P,Q,R,Sи шесть прямых PQ, РR,PS,QR,QS,RS.
Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную плоскость <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_297724974-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">, содержащую наименьшее возможное число (), а именно, четыре.
3.2. Аксиоматика проективной плоскости.
Определение: Проективной плоскостью Sназывают множество, элементами которого именуются точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняются следующие четыре аксиомы.
П1.Через две различные точки Pи Qплоскости Sможно провести единственную прямую.
П2. "две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точки.
П3. $три неколлинеарные точки.
П4. Прямая содержит, по меньшей мере, три точки.
3.3. Модели проективной плоскости.
1)Рассмотренная ранее расширенная евклидовая плоскость есть модель проективной плоскости.
Доказательство: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.
П1. Пусть Pи QÎ<img width=«16» height=«19» src=«ref-1_297725179-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">
1. Если Р и Q— собственные (), то через них можно провести только одну прямую.
2. Если Р — собственная точка p, а Q— несобственная точка, то по аксиоме А2 $прямая m, такая, что РÎmи m|| l, так, что QÎпополнению прямой mдо прямой из p. Прямая m-единственная прямая p, проходящая через Р и Q.
3. Если Р и Qнесобственные (), то через них проходит единственная несобственная прямая.
П2. Пусть заданы прямые lи m.
1.Если lи m— несобственные прямые и l|| m, то они пересекаются в некоторой точке. Если l|| m, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.
2.Если l— собственная прямая, а m— несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.
П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Qи Rнеколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в p. Действительно, в p$только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р,Q,Rей не принадлежат.
П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в pкаждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.
2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.
Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.
<img width=«389» height=«137» src=«ref-1_297725374-4026.coolpic» v:shapes="_x0000_s1182 _x0000_s1179 _x0000_s1178 _x0000_s1177 _x0000_s1176 _x0000_s1175 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1180 _x0000_s1171"> <img width=«135» height=«2» src=«ref-1_297729400-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1181">
Определим () пересечения прямых АВÇCD=N¥, BCÇAD=M¥, АCÇBC=P¥N¥, P¥, M¥Îодной несобственной прямой.
П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.
Если А, В — собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А, В Îнесобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.
Рассмотрим А- собственная () и N¥— несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () N¥ определена как пересечение прямых АВ и CDÞN¥ÎАВ.
Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.
П2. "две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.
Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.
П3. $три неколлинеарные точки.
Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точками N¥, P¥, M¥(несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут неколлинеарные в S1.
П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.
Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 — проективная плоскость.
3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства — модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.
3) Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее, удовлетворяет аксиомам П1-П4.
3.4. Теорема Дезарга.
Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема Дезарга, которая утверждает следующее:
П5 (теорема Дезарга)
<img width=«108» height=«193» src=«ref-1_297729560-1404.coolpic» v:shapes="_x0000_s1183">Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
<img width=«445» height=«227» src=«ref-1_297730964-7770.coolpic» v:shapes="_x0000_s1188 _x0000_s1184 _x0000_s1187 _x0000_s1186 _x0000_s1191 _x0000_s1185 _x0000_s1192 _x0000_s1189 _x0000_s1190">
P=ABÇA’B’ AA’ÇBB’ÇCC’=0
Q=ACÇA’C’
R=BCÇB’C’
P,Q,Rлежат на одной прямой.
В рамках теории, которую мы строим, не совсем правильно называть это утверждение “теоремой”, потому что нельзя доказать, исходя только из аксиом П1-П4. Примем это утверждение за аксиому П5. Хотя при первом и втором способе построения проективной плоскости это утверждение выступает как теорема.
Покажем, что П5 не есть следствие П1-П4, а именно, построим геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4, но не удовлетворяющую П5.
Определение: Конфигурацией называют множество элементов, именуемых точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняется аксиома.
К1. Две различные () принадлежат не более чем одной прямой.
Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки
Примеры: Любая аффинная и "проективная плоскость являются конфигурациями. Набор 10 точек и 10 прямых теоремы Дезарга — тоже конфигурация.
Пусть p0- некоторая конфигурация. Мы определим свободную проективную плоскость П, порожденную p0.
Пусть p1- новая конфигурация, определенная следующим образом. Точками p1 являются точки p0. Прямыми p1 являются все прямые p0; кроме того, каждая пара точек Р1, Р2Îp0 не принадлежащая прямой из p0, задает новую прямую
íР1, Р2ýиз p1. Тогда p1 обладает следующим свойством;
а) "две различные ()p1 принадлежат одной прямой. Построим p2, исходя из p1, следующим образом. Точками p2 служат все точки p1; кроме того, каждая пара непересекающихся прямых l1,l2 задает новую точку l1Çl2. Прямыми p2 служат прямые p1, пополненные новыми точками; например, () l1Çl2 Îдополненным прямым l1 и l2. Тогда p2 обладает следующим свойством.
б) "две различные прямые имеют общую точку; продолжим это построение. Для четных nмы построим pn+1 из pn, добавляя к прямым pnновые прямые; для нечетных nмы построим pn+1 из pn, добавляя к () pnновые точки.
Пусть теперь П= Èpn
Элементы конфигураций pnмы назовем точками П; далее, прямой П мы назовем подмножество LÍП, такое, что LÇpnесть прямая из pnдля всех достаточно больших n.
Предложение 1: Если p0 содержит по меньшей мере четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, то П — проективная плоскость.
Доказательство: pnудовлетворяет б) для четных nи удовлетворяет а) для нечетных nÞна П выполняются оба свойства а) и б), то есть П удовлетворяет П1 и П2. Если P,Q,Rнеколлинеарны на p0, значит, П3, тоже выполняется.
Покажем, что в П каждая прямая содержит хотя бы три точки.
Каждая прямая из П определяется двумя точками.
По П2: "две прямые имеют общую ()
Пусть l: íP1,P2ý, m: íP3, Р4ý; по П2: lÇm=P5ÞP5Îl, P5Îm
Получим, каждая прямая содержит хотя бы три точки.
Все аксиомы проективной плоскости выполняются ÞП- проективная плоскость.
Определение: Ограниченной конфигурацией называется конфигурация, у которой каждая () принадлежит не менее чем трем прямым, а каждая прямая содержит не менее трех различных точек.
Пример: Конфигурация теоремы Дезарга ограничена.
Предложение 2: "конечная ограниченная конфигурация из П содержится в p0.
Доказательство: Уровнем () РÎП мы назовем наименьшее n³0, такое, что РÎpn. Уровнем прямой LÍП мы назовем наименьшее n³0, такое, что LÇpn— прямая.
Пусть S— ограниченная конечная конфигурация из П, и пусть n— максимальный из уровней всех точек и всех прямых из S.
Предположим, что n— уровень какой-то прямой LÍS(Если максимальный уровень достигается для точки, то доказательство аналогично).
Тогда lÇpn— прямая, а lÇpn-1 не является прямой. Если n=0, то все доказано, SÍp0. Предположим, что n>0. Тогда lвозникла как прямая, соединяющая две () из pn-1, не принадлежащие в pn-1 одной прямой. Но в Sуровень всех точек £n, а значит, они принадлежат pn, то есть lсодержит не более двух таких точек. Полученное противоречие и доказывает наше предложение.
Пример: Недезаргова проективная плоскость.
Пусть p0 состоит из четырех точек и не содержит ни одной прямой, П- свободная проективная плоскость порожденная p0.
В качестве следствия из предыдущего предложения получаем, что П бесконечно; следовательно,"прямая содержит бесконечно много точек. Значит можно выбрать четыре () О, А, В, С, "три из которых неколлинеарны, и затем А’на ОА, B' на ОВ, С’ на ОС так, что они образуют семь различных точек, причем A’,B’,C’ неколлинеарны. Тогда построим Р=АВÇА’В’, Q=ACÇA’C’, R=BCÇB’C’. Все 10 точек различны. Если теорема Дезарга была бы не верна на П, то P,Q,Rпринадлежали бы одной прямой, Þ10 () и 10 прямых образовали бы ограниченную конфигурацию; но тогда она должна была бы содержаться в p0, а p0 содержит всего лишь четыре точки.
Построили геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4 и не удовлетворяющую П5, тем самым показали, что П5 не является следствием П1-П4.
продолжение
--PAGE_BREAK--3.5. Принцип двойственности
Займемся изучением свойств проективной плоскости, вытекающих из аксиом П1-П4.
Предложение: Пусть П — проективная плоскость, П*- множество прямых плоскости П; назовем еще пучок прямых плоскости П прямой из П*.(здесь П*- это множество элементов из П, называемых прямыми; пучком прямых называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку- центр пучка). Тогда П* тоже является проективной плоскостью (назовем ее двойственной к П проективной плоскостью); при этом, если П удовлетворяет аксиоме П5, то и П* ей удовлетворяет.
Следствие (принцип двойственности).
Пусть S— некоторое утверждение, касающееся проективной плоскости П, которое может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5). Тогда «двойственное» утверждение S*, полученное из Sзаменой слов.
точка Ûпрямая
лежит на Ûпроходит через
коллинеарные Ûсходящиеся
точка пересечения двух прямых Ûпрямая, соединяющая две точки
и т.д., тоже может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5).
Определение: Полным четырехугольником называется конфигурация, состоящая из семи точек и шести прямых, полученных следующим образом: рассмотрим четыре точки А, В, С,D(такие, что любые три из них неколлинеарны), шесть соединяющих их прямых и три новые точки пересечения этих прямых.
<img width=«2» height=«2» src=«ref-1_297738734-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1193">(«противоположных сторон» полного четырехугольника) Р=АВÇСD, Q=АСÇВD, R=АDÇВС.
<img width=«413» height=«220» src=«ref-1_297738901-5226.coolpic» v:shapes="_x0000_s1199 _x0000_s1196 _x0000_s1198 _x0000_s1195 _x0000_s1197 _x0000_s1194">
Точки Р, Qи Rназываются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точки P,Qи Rмогут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано).
П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны.
Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7.
Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d(такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p,q,r.
<img width=«429» height=«183» src=«ref-1_297744127-5234.coolpic» v:shapes="_x0000_s1206 _x0000_s1204 _x0000_s1201 _x0000_s1205 _x0000_s1200 _x0000_s1203 _x0000_s1202">
Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, rназываются диагоналями полного четырехсторонника.
Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Þ, что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.
Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d— «стороны» полного четырехсторонника; предположим, что диагонали p, g, r— сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bÇd, B=cÇd, C=aÇb, D=aÇcколлинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо.
Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.
3.6. Гармонические четверки точек.
<img width=«297» height=«202» src=«ref-1_297749361-1721.coolpic» v:shapes="_x0000_s1207"><img width=«68» height=«210» src=«ref-1_297751082-1330.coolpic» v:shapes="_x0000_s1208"><img width=«164» height=«202» src=«ref-1_297752412-1655.coolpic» v:shapes="_x0000_s1209"><img width=«3» height=«230» src=«ref-1_297754067-191.coolpic» v:shapes="_x0000_s1210">Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А, В, С,Dназывается гармонической четверкой, если $полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYÇZW, B=XZÇYW), а С и Dпринадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например,CÎXW, DÎYZ).
<img width=«429» height=«196» src=«ref-1_297754258-2688.coolpic» v:shapes="_x0000_s1213 _x0000_s1212 _x0000_s1211">
Для гармонических точек А, В, С,Dмы введем обозначение H(АВ, СD). Из того, что точки А, В, С,Dобразующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных<img width=«2» height=«2» src=«ref-1_297738734-167.coolpic» v:shapes="_x0000_s1214"> точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7.
Предложение 1: Н(АВ, СD)óН(BA,CD)óH(AB,DC)óH(BA,DC)
Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и Dиграют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X,Y,Z,W, так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА, СD) ч.т.д.
Предложение 2: Пусть А, В, С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $точка D, такая, что Н(АВ, СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка Dединственная (Dназывается четвертой гармонической точкой для А, В, С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).
Предложение 3: Пусть А, В, С,D— гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C,D,A,B— тоже гармоническая четверка.
<img width=«504» height=«202» src=«ref-1_297757113-8498.coolpic» v:shapes="_x0000_s1224 _x0000_s1218 _x0000_s1217 _x0000_s1215 _x0000_s1223 _x0000_s1222 _x0000_s1221 _x0000_s1216 _x0000_s1220 _x0000_s1219 _x0000_s1225">
Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:
H(AB,CD)ÛH(BA,CD)ÛH(AB,DC)ÛH(BA,DC)
H(CD,AB)ÛH(DC,AB)ÛH(CD,BA)ÛH(DC,BA)
Доказательство: Пусть Н(АВ,CD) и пусть XYZW— полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.
Проведем DXи CZи обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWÇYZ=T. Тогда XTUZ— полный четырехугольник, а С и D— две его диагональные точки. Точка ВÎXZ, поэтому достаточно доказать, что TUпроходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD,AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZи YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D,Bи С, но эти точки коллинеарны Þпо П5*,XY, TU, WZсоединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.
Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А, В, С,Dобразуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда
(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1
3.7. Перспективные и проективные отображения.
Определение: Проективное отображение- это отображение прямой lна l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений.
Обозначение: l– l’ или АВС…-А’В’С’…
Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А, В, С,….соответственно в A',B',C',….
Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямых lи l' и является отображением на l'.
Определение: Перспективным отображением прямой lна прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ни l, ни l') называется отображение А®A', где для произвольной точки АÎlточка А' находится как ОАÇl'.
<img width=«68» height=«106» src=«ref-1_297765611-768.coolpic» v:shapes="_x0000_s1226"><img width=«11» height=«116» src=«ref-1_297766379-596.coolpic» v:shapes="_x0000_s1227"><img width=«144» height=«97» src=«ref-1_297766975-533.coolpic» v:shapes="_x0000_s1228"><img width=«69» height=«125» src=«ref-1_297767508-828.coolpic» v:shapes="_x0000_s1229">Обозначение l= l’ ("lпереводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками
<img width=«324» height=«50» src=«ref-1_297768336-772.coolpic» v:shapes="_x0000_s1230">lи l' и является отображением
<img width=«324» height=«39» src=«ref-1_297769108-418.coolpic» v:shapes="_x0000_s1231">lна l' и что отображение, обратное
перспективному отображению,
также является перспективным отображением. Если ()Х=lÇl', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеем l= l’ = l’’ и ABCY= A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l= lи l= lотображение lна l'’ было перспективным, то в точку lÇl’'=Yоно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.
<img width=«463» height=«232» src=«ref-1_297769526-7213.coolpic» v:shapes="_x0000_s1241 _x0000_s1242 _x0000_s1232 _x0000_s1240 _x0000_s1239 _x0000_s1238 _x0000_s1237 _x0000_s1236 _x0000_s1235 _x0000_s1234 _x0000_s1233">
Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). lобразует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.
Предложение 2: Пусть задана прямая lи пусть А, В, С и A',B',C'- две тройки ее различных точек. Тогда $проективное преобразование l, переводящее А, В, С в A',B',C'.
Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от lи не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A',B',C' прямой lв точки A’’,B’’,C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АÏl’ и А’’Ïl.
Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение lна l’, переводящее A,B,C, в A’’,B’’,C’’.
<img width=«457» height=«181» src=«ref-1_297776739-3524.coolpic» v:shapes="_x0000_s1247 _x0000_s1246 _x0000_s1245 _x0000_s1244 _x0000_s1243">
Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’,B’,C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые lи l’. Пусть А, В, С- три различные точки l, а A’,B’,C’-три различные точки l’, предположим что AÏl’ и A’Ïl. Требуется построить проективное отображение lна l’, переводящее А, В, С соответственно в A’,B’,C’. Проведем прямые AA’,AB’,AC’,A’B,A’Cи положим AB’ÇA’B=B’’, AC’ÇA’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l= l’’ = l’ переводит ABC= A’’B’’C’’ = A’B’C’.
<img width=«549» height=«203» src=«ref-1_297780263-6321.coolpic» v:shapes="_x0000_s1253 _x0000_s1254 _x0000_s1255 _x0000_s1250 _x0000_s1252 _x0000_s1251 _x0000_s1249 _x0000_s1248">
Таким образом, мы построили искомое проективное отображение lна l’ как композиция двух перспективных отображений.
Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.
3.8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.
Докажем “основную теорему”, которая утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три заданные точки в любые другие три заданные точки. Эта теорема не следует из аксиом П1-П5 и П7; поэтому нам предстоит дополнительно ввести аксиому Паппа П6.
Основная теорема(теорема о проективных преобразованиях прямой). Пусть задана прямая lи А, В, С;A’,B’,C’- две тройки различных точек этой прямой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование l, такое, что АВС — A’B’C’.
П6 (аксиома Паппа). Пусть lи l’-две различные прямые, А, В, С- три различные точки прямой l, отличные от Х=lÇl’и А’, В’, С’- три различные точки прямой l’, отличные от Х. Тогда точки P=AB’ÇA’B, Q=AC’ÇA’C, R=BC’ÇB’Cколлинеарны.
<img width=«472» height=«197» src=«ref-1_297786584-6995.coolpic» v:shapes="_x0000_s1262 _x0000_s1264 _x0000_s1263 _x0000_s1261 _x0000_s1256 _x0000_s1258 _x0000_s1259 _x0000_s1260 _x0000_s1257">
Предложение 1: Аксиома П6 влечет за собой двойственную аксиому Паппа П6*, то есть принцип двойственности применим и ко всем выводам из П6.
Предложение 2: На действительной проективной плоскости справедлива аксиома П6.
Лемма 1: Пусть l= m= n, где l¹n, предположим еще, что или:
а)прямые l, m, nпринадлежат одному пучку, или
б)точки O,Pи lÇnколлинеарны.
Тогда полученное проективное отображение l— nявляется перспективным (то есть $такая точка Q, что перспективное отображение l= nсовпадает с нашими проективными отображениями l— n).
Лемма 2: Пусть l= m= n,
Где l¹n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $прямая m’ и точки O’Înи P’Îl, такие, что l= m= nесть рассматриваемое проективное отображение lна n.
<img width=«405» height=«210» src=«ref-1_297793579-7982.coolpic» v:shapes="_x0000_s1265 _x0000_s1275 _x0000_s1267 _x0000_s1274 _x0000_s1273 _x0000_s1272 _x0000_s1271 _x0000_s1270 _x0000_s1269 _x0000_s1268 _x0000_s1266">
Доказательство: Пусть l, m, n, O,Pзаданы; пусть далее A,A’- две точки на lи AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и nобозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О, Р, lÇn=Xнеколлинеарны, то O’¹X, то есть O’Ïl. Проведем O’Aи O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в Dи D’.
Соответствующие стороны треугольников АBDи A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O,P,O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямая m1, содержащая Dи D’, проходит через точку Y=lÇm.
Следовательно, прямая m1 определена точками Dи Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l= m1 = n.
Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPÇlи найти новую прямую m’, такую, что l= m’= nдает исходное проективное отображение.
Лемма 3: Пусть lи l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l— l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений.
Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.
Доказательство: Для заданной прямой lи двух троек различных точек А, В, С и A’,B’,C’ этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямую l’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’,B’,C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’,B’,C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А, В, С на lA’,B’,C’ на l’ (все точки отличны от lÇl’) требуется показать, что $единственное проективное отображение, такое, что ABC— A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п.3.7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.
Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l— l’ переводит ABC= A’B’C’. Рассмотрим P=AB’ÇA’B; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lÇl’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q, Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.
<img width=«511» height=«168» src=«ref-1_297801561-6373.coolpic» v:shapes="_x0000_s1285 _x0000_s1276 _x0000_s1279 _x0000_s1277 _x0000_s1283 _x0000_s1280 _x0000_s1278 _x0000_s1282 _x0000_s1284 _x0000_s1281">
Но так как С может меняться, перспективное отображение l= l’ совпадает с проективным отображением l= l’’ = l’
Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l
’и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l= l’’ = l’ и ABC= A’’B’’C’’ = A’B’C’
<img width=«534» height=«213» src=«ref-1_297807934-10582.coolpic» v:shapes="_x0000_s1297 _x0000_s1298 _x0000_s1294 _x0000_s1293 _x0000_s1296 _x0000_s1295 _x0000_s1292 _x0000_s1291 _x0000_s1290 _x0000_s1289 _x0000_s1288 _x0000_s1287 _x0000_s1286"> <img width=«540» height=«2» src=«ref-1_297818516-172.coolpic» v:shapes="_x0000_s1299">
Применяя П6 к треугольникам АBRи A’B’R’, мы получаем, что Р=АB’ÇA’BÎl’’. Аналогично, применяя П6 к ACRи A’C’R’, мы получаем, что Q=AC’ÇA’CÎl’’. Таким образом, l’’ есть прямая, которая была использована в предложении 2 (п.3.7) для построения второго проективного отображения
l = l’’ = l’
Пусть теперь DÎl– произвольная точка; определим D’’=R’DÇl’’и D’=RD’’Çl’.
Из П6, применимой к треугольникам ADRи A’D’R’, следует, что AD’ÇA'D, A’’,D’’ коллинеарны, то есть AD’ÇA’DÎl’’. Но это означает, что также и проективное отображение предложения 2 переводит Dв D’. Следовательно, эти проективные отображений совпадают. ч.т.д.
Теорема 2:П5 следует из П6.
Доказательство: Пусть, О,A,B,C,A',B',C' удовлетворяют предложениям теоремы Дезарга (П5), построим P,Q,R. Для доказательства их коллинеарности нам придется трижды применить П6.
Шаг 1: Пусть A’C’ пересекает АВ в точке S. Затем применим П6 к прямым.
<img width=«11» height=«49» src=«ref-1_297818688-280.coolpic» v:shapes="_x0000_s1300"><img width=«11» height=«49» src=«ref-1_297818968-268.coolpic» v:shapes="_x0000_s1301"> О С C’
B SA и заключим отсюда, что точки T=OSÇBC, U=OAÇBC’, Qколлинеарны.
<img width=«11» height=«49» src=«ref-1_297819236-272.coolpic» v:shapes="_x0000_s1302"><img width=«12» height=«49» src=«ref-1_297819508-273.coolpic» v:shapes="_x0000_s1303">Шаг 2: Применим теперь П6 к тройкам O B B’
C’ A’ S
и заключим отсюда, что точки U,V=OSÇB’C’, Pколлинеарны.
<img width=«12» height=«49» src=«ref-1_297819781-281.coolpic» v:shapes="_x0000_s1304"><img width=«12» height=«49» src=«ref-1_297820062-281.coolpic» v:shapes="_x0000_s1305">Шаг 3: Применим, наконец, П6 к тройкам B C’ U
V T S
и заключим отсюда, что точки R, P=BSÇUV(шаг2),Q=C’SÇTU(шаг1) коллинеарны. ч.т.д.
<img width=«541» height=«428» src=«ref-1_297820343-14216.coolpic» v:shapes="_x0000_s1307 _x0000_s1318 _x0000_s1309 _x0000_s1319 _x0000_s1306 _x0000_s1310 _x0000_s1308 _x0000_s1317 _x0000_s1315 _x0000_s1316 _x0000_s1311 _x0000_s1314 _x0000_s1313 _x0000_s1312">
Следствие: (из основной теоремы). Проективное отображение l— l’, где l¹l’, есть перспективное отображение Ûточка пересечения X=lÇl’ переходит в себя.
Глава 4. Применение основных теорем к решению задач на евклидовой плоскости.
продолжение
--PAGE_BREAK--4.1. Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости.
В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.
Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости.
При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.
Теорема Менелая гласит:
Если точки X,Y,Zлежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1
Обратно, если это уравнение выполняется для точек X,Y,Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.
<img width=«220» height=«135» src=«ref-1_297834559-2001.coolpic» v:shapes="_x0000_s1322 _x0000_s1321 _x0000_s1326 _x0000_s1325"> <img width=«295» height=«130» src=«ref-1_297836560-2233.coolpic» v:shapes="_x0000_s1323 _x0000_s1320 _x0000_s1327 _x0000_s1324">
<img width=«2» height=«257» src=«ref-1_297838793-166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1328">Теорема Дезарга.
<img width=«457» height=«210» src=«ref-1_297838959-5374.coolpic» v:shapes="_x0000_s1337 _x0000_s1331 _x0000_s1335 _x0000_s1330 _x0000_s1329 _x0000_s1333 _x0000_s1336 _x0000_s1332 _x0000_s1334">
Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три () пересечения коллинеарны.
Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности () прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в () R,Q,P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек.
íQ,C’,A’ý, íR,B’,C’ý, íP,A’,B’ý
Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1
(BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1
Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1Þчто () Q,R,Pколлинеарны, теорема доказана.
4.2. Использование предложения Паппа на евклидовой плоскости.
Покажем использование предложения на евклидовой плоскости.
Теорема Паппа: Если А, С, В — три точки на одной прямой, а A’,C’,B’ — на другой, и если три прямые AB’,CA’,BC’ пересекают прямые A’B,C’A,B’Cсоответственно, то три точки пересечения P,Q,Rколлинеарны.
<img width=«549» height=«209» src=«ref-1_297844333-7459.coolpic» v:shapes="_x0000_s1339 _x0000_s1338 _x0000_s1340 _x0000_s1344 _x0000_s1343 _x0000_s1342 _x0000_s1341">
рис. 1
<img width=«239» height=«40» src=«ref-1_297851792-461.coolpic» v:shapes="_x0000_s1345"> <img width=«590» height=«14» src=«ref-1_297852253-300.coolpic» v:shapes="_x0000_s1346">
Доказательство: Эта теорема как и теорема Дезарга использует принадлежность точек прямым или прохождение прямых через точки, без измерения длин или углов и даже без какой-либо ссылки на порядок; в каждом множестве из трех коллинеарных точек безразлично, какая из них лежит между двумя другими. (рис. 1, рис. 2)
<img width=«381» height=«282» src=«ref-1_297852553-7863.coolpic» v:shapes="_x0000_s1349 _x0000_s1351 _x0000_s1350 _x0000_s1348 _x0000_s1347 _x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1352">
рис. 2
<img width=«257» height=«2» src=«ref-1_297860416-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1355">
<img width=«173» height=«191» src=«ref-1_297860577-1386.coolpic» v:shapes="_x0000_s1356"><img width=«447» height=«191» src=«ref-1_297861963-2751.coolpic» v:shapes="_x0000_s1357">При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая. Предположим, что три прямые AB’,CA’,BC’ образуют треугольник UVW.(рис. 3)
<img width=«456» height=«153» src=«ref-1_297864714-4205.coolpic» v:shapes="_x0000_s1362 _x0000_s1361 _x0000_s1360 _x0000_s1359 _x0000_s1358 _x0000_s1363">
рис. 3
<img width=«466» height=«2» src=«ref-1_297868919-169.coolpic» v:shapes="_x0000_s1364">
Применяя теорему Менелая к пяти тройкам точек
íP,A’,Bý, íA,Q,C’ý, íB’,C,Rý, íA,C,Вý, íB’,A’,C’ý,
лежащих на сторонах этого треугольника, мы получаем.
(VP/WP)*(WA’/UA’)*(UB/VB)=1 (VA/WA)*(WC/UC)*(UB/VB)=1
(VB’/WB’)*(WC/UC)*(UR/VR)=1 VB'/WB')*(WA'/UA')*(UC'/VC')=1
(VA/WA)*(WQ/UQ)*(UC’/VC’)=1
Разделив произведение первых трех соотношений на произведение последних двух, производя сокращение, мы получаем:
(VP/WP)*(WQ/UQ)*(UR/VR)=1
то есть P,Q,Rколлинеарны, теорема доказана.
Приложение
№1. Если два треугольника перспективны относительно точки и две пары соответствующих сторон параллельны, то и две оставшиеся стороны параллельны.
<img width=«106» height=«163» src=«ref-1_297869088-1200.coolpic» v:shapes="_x0000_s1365"><img width=«2» height=«154» src=«ref-1_297870288-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1366"><img width=«78» height=«154» src=«ref-1_297870453-815.coolpic» v:shapes="_x0000_s1367">Дано: треугольник PRQи треугольник P’R’Q’ перспективны относительно точки О. QR||Q’R’, PR||P’R’
Доказать что: QP||Q’P’
Доказательство:
<img width=«40» height=«20» src=«ref-1_297871268-256.coolpic» v:shapes="_x0000_s1368"><img width=«59» height=«30» src=«ref-1_297871524-315.coolpic» v:shapes="_x0000_s1369">Так как QR||Q’R’ и RP||R’P’, то
<img width=«164» height=«59» src=«ref-1_297871839-655.coolpic» v:shapes="_x0000_s1370 _x0000_s1372 _x0000_s1371"> <img width=«163» height=«12» src=«ref-1_297872494-329.coolpic» v:shapes="_x0000_s1373">
(OQ/OQ’)=(OR/OR’)=(OP/OP’) Þ(OQ/OQ’)=(OP/OP’) ÞQP||Q’P’
№2.Назовите два треугольника перспективных относительно:
<img width=«88» height=«126» src=«ref-1_297872823-919.coolpic» v:shapes="_x0000_s1374"><img width=«20» height=«107» src=«ref-1_297873742-594.coolpic» v:shapes="_x0000_s1375">а) точки Р
<img width=«277» height=«59» src=«ref-1_297874336-691.coolpic» v:shapes="_x0000_s1376"><img width=«12» height=«97» src=«ref-1_297875027-498.coolpic» v:shapes="_x0000_s1377"><img width=«107» height=«49» src=«ref-1_297875525-660.coolpic» v:shapes="_x0000_s1378"><img width=«68» height=«68» src=«ref-1_297876185-643.coolpic» v:shapes="_x0000_s1379">б) точки Р’
<img width=«49» height=«68» src=«ref-1_297876828-585.coolpic» v:shapes="_x0000_s1380">в) точки D
<img width=«324» height=«69» src=«ref-1_297877413-938.coolpic» v:shapes="_x0000_s1381 _x0000_s1382">
Ответы: а) треугольники ROQи EP’Fб) треугольники EFPи R’Q’O’ в) треугольники R’REи Q’QF.
<img width=«58» height=«97» src=«ref-1_297878351-631.coolpic» v:shapes="_x0000_s1383"><img width=«97» height=«97» src=«ref-1_297878982-527.coolpic» v:shapes="_x0000_s1384"><img width=«59» height=«97» src=«ref-1_297879509-623.coolpic» v:shapes="_x0000_s1385"><img width=«125» height=«97» src=«ref-1_297880132-860.coolpic» v:shapes="_x0000_s1386"><img width=«31» height=«97» src=«ref-1_297880992-600.coolpic» v:shapes="_x0000_s1387"><img width=«58» height=«97» src=«ref-1_297881592-639.coolpic» v:shapes="_x0000_s1388"><img width=«267» height=«2» src=«ref-1_297882231-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1389">№3.Если А, С, Е — три точки на одной прямой, B,D,F— на другой, и если прямые АВ и CDпараллельны прямым DEи FAсоответственно, то прямые EF||BC.
<img width=«267» height=«2» src=«ref-1_297882396-166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1390">
1) АС||BD. Рассмотрим параллелограмм ABDEи AFDCÞBD=AEи DF=AC. Произведем вычитание BD-DF=BF; AE-AC=CEÞBF=CEÞBCEF— параллелограмм ÞEF||BC.
<img width=«410» height=«146» src=«ref-1_297882562-4166.coolpic» v:shapes="_x0000_s1398 _x0000_s1395 _x0000_s1394 _x0000_s1393 _x0000_s1392 _x0000_s1397 _x0000_s1396 _x0000_s1391">
2)
3) ACÇBD=0, так как AB||EDи CD||FA, то (|OA|/|OB|)=(|OE|/|OD|) и (|OC|/|OD|)=(|OA|/|OF|) получаем |OB|*|OE|=|OA|*|OD|=|OC|*|OF| Þ
(|OE|/|OF|)=(|OC|/|OB|) ÞEF||CB.
№4.Пусть A,B,D,E,N,M— шесть точек, обладающих тем свойством, что прямые AE,DM,NBпересекаются в одной точке и прямые АМ,DB,NEпересекаются в одной точке. Что можно сказать о прямых AB,DE,NM?
<img width=«425» height=«153» src=«ref-1_297886728-4790.coolpic» v:shapes="_x0000_s1399 _x0000_s1407 _x0000_s1405 _x0000_s1403 _x0000_s1402 _x0000_s1401 _x0000_s1404 _x0000_s1400 _x0000_s1406">
Решение. Пусть AEÇDMÇNB=C, AMÇDBÇNE=Fобозначим () пересечения прямых АВ и DEчерез L. По теореме Паппа ()LÎMNÞABÇDEÇMN=L. Прямые AB,DE,NMпересекаются в одной точке.
№5.Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
AA’ÇBB’ÇCC’=S ?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1- дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
<img width=«333» height=«154» src=«ref-1_297891518-3950.coolpic» v:shapes="_x0000_s1410 _x0000_s1409 _x0000_s1408 _x0000_s1415 _x0000_s1414 _x0000_s1413 _x0000_s1412 _x0000_s1411"> <img width=«21» height=«88» src=«ref-1_297895468-433.coolpic» v:shapes="_x0000_s1416">
ABÇА1В1=P¥
BCÇВ1С1=Q¥
ACÇА1С1=R¥
<img width=«334» height=«2» src=«ref-1_297895901-170.coolpic» v:shapes="_x0000_s1417">
лежат на одной несобственной прямой S¥
по обратной теореме Дезарга прямые, проходящие через соответствующие вершины, пересекаются в одной точке S.
AA’ÇBB’ÇCC’=S.
<img width=«276» height=«182» src=«ref-1_297896071-1427.coolpic» v:shapes="_x0000_s1418"><img width=«248» height=«40» src=«ref-1_297897498-396.coolpic» v:shapes="_x0000_s1419"><img width=«69» height=«106» src=«ref-1_297897894-728.coolpic» v:shapes="_x0000_s1420">№6.В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
<img width=«343» height=«155» src=«ref-1_297898622-3203.coolpic» v:shapes="_x0000_s1427 _x0000_s1425 _x0000_s1422 _x0000_s1426 _x0000_s1424 _x0000_s1421 _x0000_s1423">
Решение: треугольники NCKи AMPдезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в ()-ах, лежащих на одной прямой Þ()F,D,B, то есть () пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.
продолжение
--PAGE_BREAK--№7.В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
<img width=«173» height=«116» src=«ref-1_297901825-628.coolpic» v:shapes="_x0000_s1428"><img width=«399» height=«116» src=«ref-1_297902453-795.coolpic» v:shapes="_x0000_s1429"><img width=«125» height=«59» src=«ref-1_297903248-587.coolpic» v:shapes="_x0000_s1430"><img width=«163» height=«59» src=«ref-1_297903835-648.coolpic» v:shapes="_x0000_s1431"><img width=«30» height=«116» src=«ref-1_297904483-627.coolpic» v:shapes="_x0000_s1432"><img width=«115» height=«116» src=«ref-1_297905110-540.coolpic» v:shapes="_x0000_s1433"><img width=«115» height=«116» src=«ref-1_297905110-540.coolpic» v:shapes="_x0000_s1434"><img width=«286» height=«2» src=«ref-1_297906190-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1435">Требуется доказать, что LNÇMKÇBDÇAC=S
Решение.
<img width=«343» height=«59» src=«ref-1_297906355-697.coolpic» v:shapes="_x0000_s1439 _x0000_s1438 _x0000_s1437 _x0000_s1436">
ACÇLNÇBD— треугольники ALD и СNB— дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга ÞACÇLNÇBD=S.
Треугольники DKCи BMA— дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга ÞMKÇBDÇAC=S
Получили ACÇBDÇMKÇLN=S.
Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
№8.В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие — смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что ANÇBPÇCM=S.
<img width=«99» height=«130» src=«ref-1_297907052-837.coolpic» v:shapes="_x0000_s1440"><img width=«28» height=«140» src=«ref-1_297907889-823.coolpic» v:shapes="_x0000_s1441"><img width=«151» height=«130» src=«ref-1_297908712-1241.coolpic» v:shapes="_x0000_s1442">Решение: Треугольники ABCи NPM— дезарговые треугольники.
<img width=«21» height=«87» src=«ref-1_297909953-434.coolpic» v:shapes="_x0000_s1443"> <img width=«248» height=«68» src=«ref-1_297910387-1660.coolpic» v:shapes="_x0000_s1448 _x0000_s1447 _x0000_s1446 _x0000_s1445 _x0000_s1444">
ABÇNP=Q¥
<img width=«248» height=«2» src=«ref-1_297912047-162.coolpic» v:shapes="_x0000_s1449">BCÇMP=R¥
ACÇNM=K¥
лежат на одной несобственной прямой P¥
по теореме обратной теореме Дезарга NAÇBPÇCM=S.
№9.В треугольнике АВС из его вершин проведены прямые, пересекающиеся в одной () S; A’=ASÇBC, B’=BSÇAC, C’=CSÇAB. Доказать, что точки BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ лежат на одной прямой.
<img width=«49» height=«201» src=«ref-1_297912209-1149.coolpic» v:shapes="_x0000_s1450"><img width=«97» height=«201» src=«ref-1_297913358-1215.coolpic» v:shapes="_x0000_s1451"><img width=«162» height=«211» src=«ref-1_297914573-1535.coolpic» v:shapes="_x0000_s1452">Решение.
<img width=«380» height=«162» src=«ref-1_297916108-4680.coolpic» v:shapes="_x0000_s1459 _x0000_s1458 _x0000_s1455 _x0000_s1454 _x0000_s1456 _x0000_s1453 _x0000_s1457">
Обозначим () пересечения сторон BCÇB’C’, ACÇA’C’, ABÇA’B’ соответственно P,R,Q. Рассмотрим треугольники АВС и А’В’С’ прямые проходящие через вершины этих треугольников пересекаются в () SÞ() пересечения соответствующих сторон P,R,Qлежат на одной прямой.
<img width=«51» height=«33» src=«ref-1_297920788-380.coolpic» v:shapes="_x0000_s1460"><img width=«51» height=«117» src=«ref-1_297921168-777.coolpic» v:shapes="_x0000_s1461"><img width=«4» height=«137» src=«ref-1_297921945-183.coolpic» v:shapes="_x0000_s1462"><img width=«40» height=«249» src=«ref-1_297922128-1261.coolpic» v:shapes="_x0000_s1463"><img width=«191» height=«210» src=«ref-1_297923389-1521.coolpic» v:shapes="_x0000_s1464"><img width=«49» height=«115» src=«ref-1_297924910-744.coolpic» v:shapes="_x0000_s1465"><img width=«2» height=«144» src=«ref-1_297925654-161.coolpic» v:shapes="_x0000_s1466"><img width=«438» height=«277» src=«ref-1_297925815-3180.coolpic» v:shapes="_x0000_s1467">№10.В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую.
<img width=«581» height=«168» src=«ref-1_297928995-5579.coolpic» v:shapes="_x0000_s1475 _x0000_s1472 _x0000_s1468 _x0000_s1473 _x0000_s1469 _x0000_s1470 _x0000_s1471 _x0000_s1474">
Точка А- дезаргова точка
Треугольники A’RP и SCB— дезарговы треугольники
A’®S SCÇA’R=C’
R®C SBÇA’P=B’
P®B CBÇRP=Q.
Точки C’,B’,QÎS— дезаргова прямая.
№11.Сформулировать в терминах евклидовой геометрии теорему Дезарга для случая:
1) ()S¥— несобственная (), дезаргова прямая S— собственная.
<img width=«523» height=«208» src=«ref-1_297934574-7491.coolpic» v:shapes="_x0000_s1481 _x0000_s1479 _x0000_s1480 _x0000_s1485 _x0000_s1477 _x0000_s1478 _x0000_s1482 _x0000_s1476 _x0000_s1483 _x0000_s1484">
Формулировка теоремы Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой.
2) ()Sсобственная, прямая S¥— несобственная.
Формулировка.
<img width=«74» height=«74» src=«ref-1_297942065-479.coolpic» v:shapes="_x0000_s1486"><img width=«74» height=«74» src=«ref-1_297942544-465.coolpic» v:shapes="_x0000_s1487"><img width=«2» height=«182» src=«ref-1_297943009-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1488"><img width=«2» height=«182» src=«ref-1_297943009-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1489"><img width=«2» height=«182» src=«ref-1_297943009-164.coolpic» v:shapes="_x0000_s1490"><img width=«135» height=«77» src=«ref-1_297943501-490.coolpic» v:shapes="_x0000_s1491"><img width=«21» height=«182» src=«ref-1_297943991-905.coolpic» v:shapes="_x0000_s1492"><img width=«153» height=«77» src=«ref-1_297944896-434.coolpic» v:shapes="_x0000_s1493">Если прямые, походящие через соответствующие вершины двух треугольников АВС и А’В’С’ пересекаются в одной точке и AB||A’B’, B’C||BC, то AC||A’C’.
<img width=«146» height=«2» src=«ref-1_297945330-159.coolpic» v:shapes="_x0000_s1494"> <img width=«286» height=«84» src=«ref-1_297945489-1662.coolpic» v:shapes="_x0000_s1497 _x0000_s1496 _x0000_s1495 _x0000_s1502 _x0000_s1501 _x0000_s1500"> <img width=«146» height=«74» src=«ref-1_297947151-515.coolpic» v:shapes="_x0000_s1503 _x0000_s1499 _x0000_s1498">
3) ()S¥— несобственная, прямая S¥— несобственная.
Формулировка.
Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух треугольников параллельны и AB||A’B’, BC||B’C’, то AC||A’C’.
№12.Прямая pлежит в плоскости треугольника АВС; К=ВСÇp, L=ACÇp, M=ABÇp, R=BLÇCM, S=CMÇAK, T=AKÇBL.
<img width=«146» height=«156» src=«ref-1_297947666-1158.coolpic» v:shapes="_x0000_s1504"><img width=«135» height=«201» src=«ref-1_297948824-847.coolpic» v:shapes="_x0000_s1505"><img width=«108» height=«194» src=«ref-1_297949671-1458.coolpic» v:shapes="_x0000_s1506"><img width=«258» height=«182» src=«ref-1_297951129-1624.coolpic» v:shapes="_x0000_s1507">Доказать, что прямые AR,BSи CTпересекаются в одной точке.
Требуется доказать, что ARÇBSÇCT=Q
<img width=«390» height=«126» src=«ref-1_297952753-4403.coolpic» v:shapes="_x0000_s1516 _x0000_s1513 _x0000_s1509 _x0000_s1512 _x0000_s1511 _x0000_s1508 _x0000_s1510 _x0000_s1515 _x0000_s1514">
Решение
<img width=«14» height=«74» src=«ref-1_297957156-372.coolpic» v:shapes="_x0000_s1517">Треугольники АВС и RST— дезарговы треугольники.
RSÇAB=M
TSÇBC=K () M,K,LÎз (по условию)
TRÇAC=L
Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга ARÇBSÇCT=Q.
<img width=«49» height=«248» src=«ref-1_297957528-1345.coolpic» v:shapes="_x0000_s1518">№13.Даны прямые aи b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана ()С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC.
<img width=«267» height=«135» src=«ref-1_297958873-722.coolpic» v:shapes="_x0000_s1519"><img width=«258» height=«248» src=«ref-1_297959595-1730.coolpic» v:shapes="_x0000_s1520"><img width=«220» height=«200» src=«ref-1_297961325-1550.coolpic» v:shapes="_x0000_s1521"><img width=«107» height=«200» src=«ref-1_297962875-1149.coolpic» v:shapes="_x0000_s1522"><img width=«21» height=«248» src=«ref-1_297964024-1137.coolpic» v:shapes="_x0000_s1523">Построение.
<img width=«333» height=«130» src=«ref-1_297965161-1248.coolpic» v:shapes="_x0000_s1527 _x0000_s1526 _x0000_s1524 _x0000_s1525">
Выбираем произвольно прямую s, () A,A’Îaи ()ВÎb.
1)ABÇs=P, 2)PA’Çb=B’, 3)ACÇs=R,
4)BCÇs=Q, 5)A’R, B’Q, 6)B’QÇA’R=C’,
7)CC’ искомая прямая.
Доказательство:
<img width=«14» height=«86» src=«ref-1_297966409-384.coolpic» v:shapes="_x0000_s1528">Треугольники АВС и А’В’С’ — дезарговы треугольники, прямая s— дезаргова прямая.
ABÇA’B’=P
ACÇA’C’=R Îs(по построению)
BCÇB’C’=Q
По обратной теореме Дезарга AA’ÇCC’ÇBB’=S.
№14.Даны две точки Pи Qи не проходящая через них прямая c. построить () PQÇC, не проводя PQ.
Анализ: Произвольно выбираем прямую s, ()Q1ÎC,Q
QQ1Q2— трехвершинник, построить РР1Р2 – трехвершинник,P1ÎC, PQÇP1Q1ÇP2Q2=S
<img width=«305» height=«249» src=«ref-1_297966793-1904.coolpic» v:shapes="_x0000_s1529"><img width=«277» height=«135» src=«ref-1_297968697-1230.coolpic» v:shapes="_x0000_s1530"><img width=«144» height=«286» src=«ref-1_297969927-1151.coolpic» v:shapes="_x0000_s1531">Обратная теорема Дезарга.
<img width=«126» height=«192» src=«ref-1_297971078-1348.coolpic» v:shapes="_x0000_s1532"><img width=«362» height=«68» src=«ref-1_297972426-949.coolpic» v:shapes="_x0000_s1533">Построение:
1) <img width=«49» height=«210» src=«ref-1_297973375-1190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1534"><img width=«2» height=«239» src=«ref-1_297974565-168.coolpic» v:shapes="_x0000_s1535">QQ1Çs=X
2) <img width=«134» height=«97» src=«ref-1_297974733-550.coolpic» v:shapes="_x0000_s1536">PXÇC=P1
3) Q1Q2Çs=Y
4) QQ2Çs=Z
5) <img width=«153» height=«2» src=«ref-1_297975283-160.coolpic» v:shapes="_x0000_s1537">YP1
6) ZPÇYP1=P2
7) P2Q2Çc=S ()S— искомая точка.
Доказательство:
Треугольники QQ1Q2и PP1P2— дезарговы.
<img width=«12» height=«87» src=«ref-1_297975443-343.coolpic» v:shapes="_x0000_s1538">QQ2ÇPP2=Z
QQ1ÇPP1=X ÎS(по построению).
Q1Q2ÇP1P2=Y
По обратной теореме Дезарга. PQÇP1Q1ÇP2Q2=SÞPQÇc=Sискомая точка.
продолжение
--PAGE_BREAK--