Реферат: Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Реферат по математическомуанализу
на тему:
«Кривизна плоской кривой.Эволюта и эвольвента».
Выполнил: студент МГТУ им. Баумана
группа Э2 –11
Тимофеев Дмитрий
Преподаватель:
Москва2004.
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">Введение
Для более полного представления окривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функциискалярного аргумента.
Определение 1. Если каждому значению независимогопеременного t<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î
T<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">ÍR, называемого далеескалярным аргументом, поставить всоответствие единственный вектор r(t),то r(t) называют вектор-функциейскалярного аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называютрадиус-векторм.Пусть в геометрическом(трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyzсортонормированным базисом i,j, k. Тогда представление
r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k
является разложениемрадиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей областьюопределения T<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Í
R, называемые координатнымифункциями вектор-функции r(t).Понятие кривойВведём теперь термин «кривой».Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывнойна отрезке [a,b]. Пусть втрёхмерном пространстве R3задана прямоугольная декартова системакоординат Oxyzс ртонормированным базисом {i, j, k}.
Определение 2.Множество Г<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">Ì
R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, t<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывнойкривой, или просто кривой, а аргумент t — параметром кривой.При фиксированном значении t = t0<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î
[a, b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтомуодна и та же кривая может иметь как векторное так и координатное представлениеГ= {r <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î
R3 : r = r(t), t<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î[a, b] },Г= {(x; y; z) <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î
R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),t<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î[a, b] }Заданную таким образом кривуюназывают годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривуюописывает в простарнстве конец вектора при изменении параметра t.
Кривую можно также представитькак линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну изкоординат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравненийостальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать
Г = {(x; y; z) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î
R3: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î[c, d] }.Одной и той же точке кривой могутсоответствовать различные значения параметра t. Такие точки кривой называют еёкратными точками. Начальной и конечной точками кривой называются точки срадиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечнаяточка кривой совпадает с её начальной точкой, то кривую называют замкнутой.Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек при t<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î
(a, b) называют простым замкнутым контуром.Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскостиназывают плоской.
Если эта плоскость выбрана закоординатную плоскость xOy,то координатное представление плоской кривой Г имеет вид:
Г= {(x; y; z) <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î
R3 : x = x(t), y = y(t), z =z(t), t<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î[a, b] }.причём равенство z=0 обычно опускают ипишут
Г= {(x; y) <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î
R2 : x = x(t), y = y(t), t<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î[a, b] }..
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой скоординатным представлением Г = {(x; y)<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Î
R2 : x = x, y = f(x), x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Î[c, d] }.В этом случае роль параметравыполняет аргумент x.Плоская кривая является годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.
Кривизна плоской кривой.
Длина дуги иеё производная.
В введении были рассмотреныпонятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгоеопределение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данномпункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.
Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой наинтервале (a,b).Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, …, Mi-1, Mi…, Mn-1, M.
Соединив взятые точки отрезками,получим ломаную линию M0M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этойломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому стремитсядлина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1 Mi, если этотпредел существует и не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M.<img src="/cache/referats/19139/image002.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1038">
Найдём выражение дифференциаладуги.
Пусть имеется на плоскостикривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированнаяточка кривой. Обозначим через sдлину дуги M0M (рис.<img src="/cache/referats/19139/image004.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т.е. s естьфункция x.Найдём производную sпо x.
Дадим x приращение <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D
x. Тогда дуга s получит приращение <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Ds = дл. <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">ÈMM1. Пусть <img src="/cache/referats/19139/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> — хорда, стягивающаяэту дугу. Для того чтобы найти <img src="/cache/referats/19139/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> поступим следующим образом:Из <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
MM1Q находим <img src="/cache/referats/19139/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">Dx)2+(<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">Dy)2. Умножим и разделим левую часть на<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Ds2:<img src="/cache/referats/19139/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1028">
Разделим все члены равенства на <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
x2:<img src="/cache/referats/19139/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1029">
Найдём предел левой и правойчастей при <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">D
x<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®0.Учитывая, что <img src="/cache/referats/19139/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> и <img src="/cache/referats/19139/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> получим <img src="/cache/referats/19139/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1032">Для дифференциала дугиполучим следующее выражение:
<img src="/cache/referats/19139/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> или <img src="/cache/referats/19139/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1034">
Мы получили выражение дифференциаладуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и втом случае, когда кривая задана параметрически:
<img src="/cache/referats/19139/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> <img src="/cache/referats/19139/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1036">
и выражение принимает вид: <img src="/cache/referats/19139/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1037">
КривизнаПервая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление.Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этойлинии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутостиили искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая непересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведёмкасательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначимчерез <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a
угол, образованный этими касательными, или –точнее — угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В(рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол смежности внекоторой степени даёт представление о степени изогнутости дуги. У двух дуг,имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой угол смежности больше (рис.5,4).<img src="/cache/referats/19139/image030.jpg" v:shapes="_x0000_i1038"> <img src="/cache/referats/19139/image032.jpg" v:shapes="_x0000_i1039">
Полной характеристикойизогнутости кривой будет отношение угла смежности к длинесоответствующей дуги.
Определение 4. Средней кривизной Кср дуги <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">È
АВназывается отношение соответствующего угла смежности <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a к длине дуги:<img src="/cache/referats/19139/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
Для одной и той же кривой средняякривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, длякривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равнасредней кривизне дуги А1В1, хотя длиныэтих дуг равны между собой.<img src="/cache/referats/19139/image036.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1034">
Отметим, что вблизи различных точек криваяискривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривлённостиданной линии в непосредственной близости к данной точке А, введёмпонятие кривизны в данной точке.
Определение5. Кривизной Калиниив данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ,когда длина этой дуги стремится к нулю:
<img src="/cache/referats/19139/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1041">
Вычисление кривизныВыведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любойеё точке M(x, y). При этом будем предполагать,что кривая задана в декартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторуюпроизводную.
Проведём касательные к кривой в точках M и M1с абсциссами x и x+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D
x и обозначим через <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j и <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j углы наклона этих касательных (рис.7).<img src="/cache/referats/19139/image040.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1035">Длину дуги <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">È
M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначимчерез s; тогда <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Ds = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">ÈM0M1 - <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">ÈM0M, а<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Ds<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">½= <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">ÈMM1. Как видно из (рис. 7), уголсмежности, соответствующий дуге <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">ÈMM1 равен абсолютной величине разности углов <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j и <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j+<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j,то есть равен <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">½<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">D<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½.Согласно определениюсредней кривизны кривой на участке <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">È
MM1 имеем <img src="/cache/referats/19139/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1042">Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти пределполученного выражения при условии, что длина дуги <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">È
MM1 стремитсяк нулю: <img src="/cache/referats/19139/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1043">Так как величины <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j
и s зависят от x, то, следовательно, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что этафункция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда<img src="/cache/referats/19139/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> <img src="/cache/referats/19139/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
Для вычисления <img src="/cache/referats/19139/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> воспользуемся формулойдифференцирования функции, заданной параметрически: <img src="/cache/referats/19139/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
Чтобы выразить производную <img src="/cache/referats/19139/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> через функцию y=f(x), заметим, что <img src="/cache/referats/19139/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> и, следовательно <img src="/cache/referats/19139/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
Дифференцируя по x последнееравенство, получаем <img src="/cache/referats/19139/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1051">.
И так как <img src="/cache/referats/19139/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1052">
<img src="/cache/referats/19139/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> и окончательно, таккак <img src="/cache/referats/19139/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1054">
<img src="/cache/referats/19139/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1055">
Следовательно, в любой точке кривой, где существует инепрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.
Пусть кривая заданапараметрически: x=<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j
(t), y=<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y(t). Тогда<img src="/cache/referats/19139/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> <img src="/cache/referats/19139/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1057">
Подставляя полученные выражения вформулу 3, получаем
<img src="/cache/referats/19139/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1058">.
Вычислениекривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.
Пусть кривая задана уравнениемвида <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">r
= f(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q).Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r cos<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q, y = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">r sin<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q.Если в эти формулы подставитьвместо <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">r
его выражение через <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">q, то есть f(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">q), то получимx = f(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q
) cos <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q, y = f(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q) sin <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">qПоследние уравнения можнорассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">q
.Тогда<img src="/cache/referats/19139/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1059">, <img src="/cache/referats/19139/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1060">
<img src="/cache/referats/19139/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> , <img src="/cache/referats/19139/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
Подставляя последние выражения вформулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярныхкоординатах:
<img src="/cache/referats/19139/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1063">
<img src="/cache/referats/19139/image083.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1036">
Радиус и круг кривизныОпределение 7. Величина R, обратная кривизне К линиив данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии врассматриваемой точке: R = 1/K, или
<img src="/cache/referats/19139/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1064">
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ),направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС,равный радиусу Rкривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центромв точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизныданной кривой в точке М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точкекривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы,определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая заданауравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a
и <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b центра кривизны, соответствующего этойточке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:<img src="/cache/referats/19139/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1065"><img src="/cache/referats/19139/image089.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1037">
Так как точка C(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">a
, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">b) лежит на нормали, то её координаты должныудовлетворять уравнению <img src="/cache/referats/19139/image091.gif" v:shapes="_x0000_i1066">Далее, точка C(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a
, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b) находится от точки М на расстоянии,равном радиусу кривизны R:<img src="/cache/referats/19139/image093.gif" v:shapes="_x0000_i1067">
Решив совместно уравнения * определим <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a
, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b:<img src="/cache/referats/19139/image095.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> <img src="/cache/referats/19139/image097.gif" v:shapes="_x0000_i1069">
<img src="/cache/referats/19139/image099.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> <img src="/cache/referats/19139/image101.gif" v:shapes="_x0000_i1071">
и так как <img src="/cache/referats/19139/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> то
<img src="/cache/referats/19139/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> <img src="/cache/referats/19139/image107.gif" v:shapes="_x0000_i1074">
Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дуетбрать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!<0. Если y!!>0, то в этой точке кривая вогнута и,следовательно, <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">b
>y (рис. 9) и поэтомуследует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½y!!<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">½=y!!,формулы координат центра запишем в следующем виде:<img src="/cache/referats/19139/image109.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> <img src="/cache/referats/19139/image111.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> (1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и вслучае y!!<0.
Параметрическое задание кривойЕсли кривая задана параметрически: x = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j
(t), y = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y(t), то координаты центра кривизны можнополучить из формул *, подставляя в нихвместо y!и y!!их выражения через параметр:<img src="/cache/referats/19139/image113.gif" v:shapes="_x0000_i1077"> <img src="/cache/referats/19139/image115.gif" v:shapes="_x0000_i1078">
Тогда
<img src="/cache/referats/19139/image117.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> <img src="/cache/referats/19139/image119.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> (2)
Эволюта и эвольвентаЕсли в точке M1(x, y)данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполнеопределённый центр кривизны C1(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">a
, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">b). Совокупность всех центров кривизны данной линииобразует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению кпервой.По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентойили инволютой (или развёрткой). Дадим определение.
Определение 8. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L1, а сама линия L относительно своей эволютыназывается эвольвентой.
Если данная кривая определяется уравнением y=f(x), то уравнения (1)можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этихуравнений параметр x, получим непосредственнуюзависимость между текущими координатами эволюты <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a
и <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b.Если же кривая задана параметрически x = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j(t), y = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y(t), то уравнеия (2) даютпараметрические уравнеия эволюты.Свойства эволютыТеорема 1. Нормаль к данной кривой являетсякасательной к её эволюте.
Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте,определяемой параметрическими уравнениями (1), равен <img src="/cache/referats/19139/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> В силу уравнений(1)
<img src="/cache/referats/19139/image123.gif" v:shapes="_x0000_i1082">
<img src="/cache/referats/19139/image125.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> (4)
Получаем соотношение
<img src="/cache/referats/19139/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1084">
Но y! есть угловойкоэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому изполученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующейточке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательнойк эволюте.
Теорема 2. Если нанекотором участке M1M2 кривойрадиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты наданном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращениюрадиуса кривизны данной кривой.
Доказательство.
Так как <img src="/cache/referats/19139/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> где ds — дифференциал длины дуги эволюты; отсюда
<img src="/cache/referats/19139/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1086">
Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим
<img src="/cache/referats/19139/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> (4)
Так как <img src="/cache/referats/19139/image135.gif" v:shapes="_x0000_i1088">, то <img src="/cache/referats/19139/image137.gif" v:shapes="_x0000_i1089">.
Дифференцируя по x обе части этогоравенства, получим после соответствующих преобразований
<img src="/cache/referats/19139/image139.gif" v:shapes="_x0000_i1090">
Деля обе части равенства на <img src="/cache/referats/19139/image141.gif" v:shapes="_x0000_i1091">, получим
<img src="/cache/referats/19139/image143.gif" v:shapes="_x0000_i1092">
Возведём в квадрат полученноеравенство:
<img src="/cache/referats/19139/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> (5), и сравниваяравенства (4), (5) находим
<img src="/cache/referats/19139/image147.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> , откуда <img src="/cache/referats/19139/image149.gif" v:shapes="_x0000_i1095">
По условию <img src="/cache/referats/19139/image151.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> не меняет знак (R только возрастает илитолько убывает), следовательно, и <img src="/cache/referats/19139/image153.gif" v:shapes="_x0000_i1097"> не меняет знак. Пустьдля определённости <img src="/cache/referats/19139/image155.gif" v:shapes="_x0000_i1098"><img src="/cache/referats/19139/image157.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><img src="/cache/referats/19139/image159.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1039"> Следовательно, <img src="/cache/referats/19139/image161.gif" v:shapes="_x0000_i1100">
Пусть точка M1 имеет абсциссу x1, а M2 – абсциссу x2.
Применим теорему Коши кфункциям s(x) и R(x) на отрезке [x1, x2]:
<img src="/cache/referats/19139/image163.gif" v:shapes="_x0000_i1101">
Где <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol; mso-symbol-font-family:Symbol">x
— число, заключённое между x1 и x2 .Введёмобозначения(рис. ): S(x2) = s2, s(x1)= s1, R(x2)=R2, R(x1)=R1
Тогда <img src="/cache/referats/19139/image165.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> Но это значит, что <img src="/cache/referats/19139/image167.gif" v:shapes="_x0000_i1103">
Доказательство при возрастаниирадиуса кривизны аналогично.
Если кривая задана параметрически,то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.
Укажем без доказательства приёмыприближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.
1). Каждая нормаль к эвольвентеявляется касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалейэвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей кэвольвенте L, тоогибающая их линия и будет эволютой L! (рис.11 ).<img src="/cache/referats/19139/image169.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1040">
2). Если гибкую нерастяжимуюнить, обтягивающую заданную выпуклую линию L! развёртывать, сохраняяпостоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещёразвёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольженияпрямой линии по данной линии L!;Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L!. Отсюда следует, чтоданная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любаяданная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.
следует, что данная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любаяданная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.
<img src="/cache/referats/19139/image171.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1041">В качестве заключения рассмотримприменение эвольвенты в технике.
В технике эвольвенту окружностиприменяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковыеповерхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осямивращения, проходящими через точки O1 и O2 (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линияконтакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит черезточку К. Тогда в точке К нормали КМ1 и КМ2 к эвольвентам Э1 и Э2будут лежать на отрезке М1М2 общей касательной кокружностям радиусов R1и R2соответственно (эти окружности по отношению к эвольвентам являются эволютами).При вращении колёс точка К перемещается вдоль отрезка М1М2(новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) дотех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления.Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникаетзацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещаетсявдоль отрезка М1М2.
Если угловая скорость <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w
2ведущего колеса постоянна, то постоянна и скорость <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w2R2 движенияточки К по линии, называемой линией зацепления. Но тогда постоянна иугловая скорость <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">w1=<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">w2R2/R1ведомогоколеса. Таким образом, эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращенияведомого колеса и постоянство передаточного отношения <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w1/<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">w2= R2/R1 зубчатой передачи.Кроме того, некоторые изменения межосевого расстояния O1O2, вызванные неизбежнымипогрешностями при установке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение,если эти погрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могутвойти в зацепление.Эвольвентное зацеплениепредложено математиком Л. Эилером.
<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">Примеры
1. Найдёмкривизну параболы y = x2 в любой её точке.
Имеем: <img src="/cache/referats/19139/image173.gif" v:shapes="_x0