Реферат: Описанные и вписанные окружности

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕСРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 106Вписанные и описанные окружности

Реферат составил:

учащийся 9акласса

Онещюк Игорь

Учитель:

Голенко Наталья

Сергеевна

— 2003 -

Содержание.

лист

1.Основныетеоремы об описанной и вписанной окружности……….

2.Правильные многоугольники………………………………………..

2.1. Теорема об окружности,описанной около правильного многоугольника.

2.2. Теорема об окружности, вписанной вправильный многоугольник………

2.3.<img src="/cache/referats/20594/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойокружности………………………………………

2.4. Решениезадач с применением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности…………………………………………………………………………

2.5. Площади правильныхмногоугольников…………………………………...

3. Построение правильных многоугольников…………………………

3.1. Способы построения правильныхмногоугольников………………………

3.2. Насколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля илинейки?………………………………………………………………...

4. Изистории….…………………………………………………………

4.1. 0вписанных углах. Гиппократ Хиосский…………………………………..

4.2. 0правильных многоугольник……………………………………………….

5.Софизмы……………………………………………………………….

6. Решение задач………………………………………………………...

ЛИТЕРАТУРА

1.Геометрия. Учебник для 7 –9 кл. ср.школы. / Л.С. Атанасян и др., М.: Просвещение, 1990.

<st1:metricconverter ProductID=«2. М» w:st=«on»>2. М</st1:metricconverter>.В. Ткачева «Домашняя математика », М.: Просвещение, 1994.

<st1:metricconverter ProductID=«3. Г» w:st=«on»>3. Г</st1:metricconverter>.И. Глейзер «История математики в школе, 7 – 8классы»,

М.: Просвещение, 1982.

4.А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. «Геометрия. Планиметрия. 7 – 9 классы»,

М.: Дрофа, 1995.

5.И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. «Наглядная геометрия»,

М.: МИРОС, КПЦ «Марта», 1992.

6.Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы.

Под ред. М.И. Сканави. Учебное пособие,1994.

1.

Основные теоремы обописанной и вписанной окружности.

Окружностьназывается описанной около многоугольника, если всевершины

многоугольникалежат на этой окружности, а многоугольник

называется вписаннымв эту окружность.

Окружность называетсявписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется

описаннымоколо этой окружности.

ТЕОРЕМА: В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольныйтреугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведемиз точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМсоответственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка О равноудалена от сторонтреугольника АВС, то ОК = ОL= ОМ. Поэтому окружность сцентром О радиуса ОК проходит через точки К, Lи М. Стороны треугольникаАВС касаются этой окружности в точках К, Lи М, так как ониперпендикулярны к радиусам ОК, ОLи ОМ. Значит, окружность сцентром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

Замечание. 1)Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогдацентр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадаетс точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию отточки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

2) В отличие от треугольника нево всякий четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например,прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямоугольник, неявляющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно “поместить”окружность, касающуюся трех его сторон, но нельзя “поместить” окружность так, чтобы она касалась всех четырехего сторон, т. е. нельзя вписать окружность.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороныобладают следующим замечательным свойством:

В любомописанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

AB+ CD= BC+ AD.

ТЕОРЕМА:Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС.Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонами проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершинтреугольника ABC, то OA= OB= OC. Следовательно, окружностьс центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит,является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

Замечание. 1) Отметим,что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле,допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центркаждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой Опересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равенрасстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружностисовпадают.

2) В отличие оттреугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом.

Если же околочетырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующимзамечательным свойством:

<img src="/cache/referats/20594/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1031">В любом вписанномчетырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Ð

A+ ÐC= ÐB+ ÐD

Верно обратное утверждение: Еслисумма противоположных углов четырехугольника

равна 1800, то около него можно описатьокружность.

2.Правильные многоугольники.

Выпуклыймногоугольник называется правильным многоугольником, если равнывсе его углы и все его стороны.

2.1. Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника.

ТЕОРЕМА:Около любого правильногомногоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть А1А2А3…Аn–правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов А1 и А2.

Соединим точку О отрезками состальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1=ОА2=…=ОАn.Так как Ð

А1=ÐА2, то Ð1=Ð3, поэтому треугольник А1А2Оравнобедренный, и, следовательно, ОА1=ОА2. Треугольники А1А2О и А3А2О равны по двум сторонам и углумежду ними (А1А2=А3А2, А2О– общая сторона и Ð3=Ð4), ÞОА3=ОА1.

Аналогично можно доказать,что ОА4=ОА2, ОА5=ОА3 и т.д.

Итак, ОА1=ОА2=…=ОАn,т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность сцентром О и радиусом ОА1является описанной около многоугольника.

Докажемтеперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь тривершины многоугольника, например А1, А2, А3.Так как через эти точки проходит только одна окружность, то околомногоугольника А1А2…Аnможно описать только однуокружность. Теорема доказана.

2.2. Теорема об окружности, вписанной в правильныймногоугольник.

ТЕОРЕМА: В любой правильный многоугольник можно вписатьокружность, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть А1А2…Аn– правильный многоугольник, О – центр описанной окружности. В ходедоказательства предыдущей теоремы мы установили, что r

ОА1А2 =… = rОАnА1,поэтому высоты этих треугольников, проведенные из вершины О, также равны: ОН1= ОН2 = … = ОНn. Отсюда следует, чтоокружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки Н1, Н2,…, Нnи касается сторон многоугольника в этих точках, т. е.эта окружность вписанная в данный правильный многоугольник.

Докажем теперь, что вписанная окружностьтолько одна.

Предположим, что наряду с окружностью сцентром О и радиусом ОН1 есть и другая окружность, вписанная вмногоугольник А1А2…Аn. Тогда ее центр О1равноудален от сторон многоугольника, т. е. точка О1 лежит на каждойиз биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой Опересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки Одо сторон многоугольника, т. е. равен ОН1. Таким образом, втораяокружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Следствие 1. Окружность, вписанная вправильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2. Центр окружности, описаннойоколо правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной втот же многоугольник.

Эту точку называют центромправильного многоугольника.

2.3.<img src="/cache/referats/20594/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> многоугольника, его стороны и радиусавписанной окружности.

Пусть S– площадь правильного n–угольника, аn– его сторона, Р – периметр,а, r и R– радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажемсначала, что

S= ½

Pr. (1)

В самом деле, соединим центр данногомногоугольника с его вершинами. Тогда многоугольник разобьется на nравныхтреугольников, площадь каждого из которых равна ½аnr( см.рис.п.2.2)

Следовательно,

S= n½anr= ½(nan) r= ½Pr.

Выведем далее следующие формулы:

an = 2R sin <img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> , (2) <img src="/cache/referats/20594/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

r= R<img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> . (3)

Для вывода этих формул воспользуемся рисунком. В прямоугольномтреугольнике А1Н1О

Ð

А1 = <img src="/cache/referats/20594/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1032"><img src="/cache/referats/20594/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1033">0= 900 — <img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1034">Следовательно,аn = 2А1Н1= 2Rcos ( 900 — <img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> ) = 2Rsin<img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> , а r = OH1 = Rsin ( 900 — <img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> ) = Rcos<img src="/cache/referats/20594/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> .

Полагая в формуле (2) n= 3, 4и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата иправильного шестиугольника:

а3= 2R sin <img src="/cache/referats/20594/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> = 2R sin 600= 2R ۰<img src="/cache/referats/20594/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> = R <img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> (4)

а4= 2R sin <img src="/cache/referats/20594/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> = 2R sin 450= 2R ۰ <img src="/cache/referats/20594/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> = R <img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> (5)

а6= 2Rsin <img src="/cache/referats/20594/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> = 2R sin 300= 2R ۰ <img src="/cache/referats/20594/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> = R; (6)

2.4. Решение задач сприменением формул для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиусавписанной окружности.

Дляиллюстрации применения данных формул (1) – (6), (п. 2.3.) можно решить задачи.

Задача № 1. Для квадрата со стороной а,вписанного в окружность радиуса R, заполнить таблицу(известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).

16<img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

3,5

Решение.

a4= 2R sin <img src="/cache/referats/20594/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> = 2R sin 450= 2R ۰ <img src="/cache/referats/20594/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> = R<img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

r = R cos <img src="/cache/referats/20594/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> = R cos 450= R<img src="/cache/referats/20594/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1058">

P =4a; S = a2 .

1) a4= R<img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> R = <img src="/cache/referats/20594/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> R = <img src="/cache/referats/20594/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> = <img src="/cache/referats/20594/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

r = <img src="/cache/referats/20594/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1063">۰<img src="/cache/referats/20594/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> = 3.

<img src="/cache/referats/20594/image054.gif" v:shapes="_x0000_s1032"> P = 4a = 4۰6 =24, S = a2 = 36.

2)

a4 = <img src="/cache/referats/20594/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1067"><img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> = 4,

P = 4۰4= 16, S = 16.

3)

r = 4۰<img src="/cache/referats/20594/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> = <img src="/cache/referats/20594/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

a4 = 4۰<img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> = <img src="/cache/referats/20594/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

P = 4۰<img src="/cache/referats/20594/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> = <img src="/cache/referats/20594/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> S = 32.

4)

a4 = 28: 4 =7,

R = <img src="/cache/referats/20594/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> = 3,5۰<img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1076">,<img src="/cache/referats/20594/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

r = 3,5<img src="/cache/referats/20594/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1078">۰<img src="/cache/referats/20594/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> = 3,5, <img src="/cache/referats/20594/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1080">

S = 49.

5)

a4 = 4, P = 16,

R= <img src="/cache/referats/20594/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> = <img src="/cache/referats/20594/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1082">,

r= <img src="/cache/referats/20594/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1083"><img src="/cache/referats/20594/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1084">=8.

Задача № 2. Для правильного треугольника состороной а, вписанной в окружность радиуса R, заполнить таблицу(известные данные в каждой строке выделены жирным шрифтом).

1,5

3<img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1085">

9<img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1086">

4<img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1092">

12<img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

12<img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1094">

Решение.

а3 = 2Rsin <img src="/cache/referats/20594/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> = 2R sin600= 2R۰ <img src="/cache/referats/20594/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> = R<img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1103">

r = R cos <img src="/cache/referats/20594/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1104">0= R۰<img src="/cache/referats/20594/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1105"> = <img src="/cache/referats/20594/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1106">

P = a + b + c = 3a,( т.к. а= b= c), S = <img src="/cache/referats/20594/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1107">

1) r = <img src="/cache/referats/20594/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1108"> = 1,5, a3 = <img src="/cache/referats/20594/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1109">

P = 3۰<img src="/cache/referats/20594/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> = <img src="/cache/referats/20594/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1111"><img src="/cache/referats/20594/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1112">

2) a3 = <img src="/cache/referats/20594/image103.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> = <img src="/cache/referats/20594/image105.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> = <img src="/cache/referats/20594/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1115">

R = <img src="/cache/referats/20594/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> = 2۰<img src="/cache/referats/20594/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1117"><img src="/cache/referats/20594/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> = 2۰<img src="/cache/referats/20594/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> = <img src="/cache/referats/20594/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1120"><img src="/cache/referats/20594/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1121">

P = <img src="/cache/referats/20594/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1128"><img src="/cache/referats/20594/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1129">

3) r = 2۰2 = 4, a3 = <img src="/cache/referats/20594/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1130">

P = 3۰<img src="/cache/referats/20594/image127.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> = <img src="/cache/referats/20594/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1132"><img src="/cache/referats/20594/image131.gif" v:shapes="_x0000_i1133"> = <img src="/cache/referats/20594/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1134">

4) R = <img src="/cache/referats/20594/image133.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> = <img src="/cache/referats/20594/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1136">

P = 3۰5 = 15, S = <img src="/cache/referats/20594/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1142">

5) a3 = 6: 3 = 2, S = <img src="/cache/referats/20594/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1143"> = <img src="/cache/referats/20594/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1144">

R = <img src="/cache/referats/20594/image145.gif" v:shapes="_x0000_i1145"> = <img src="/cache/referats/20594/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1146">

<img src="/cache/referats/20594/image147.gif" v:shapes="_x0000_s1047"> r= <img src="/cache/referats/20594/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1147">:<img src="/cache/referats/20594/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1148"> = <img src="/cache/referats/20594/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1149"><img src="/cache/referats/20594/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1150"> = <img src="/cache/referats/20594/image087.gif" v:shapes="_x0000_i1151"> .

Используя решенные задачи, можно составить таблицузависимости стороны, радиуса описанной окружности, радиуса вписанной окружностидля всех наиболее часто встречающихся правильных многоугольников.

Количество сторон

2R2

2.5 Площади правильныхмногоугольников.

В таблице приведены названия и формулы для площадей некоторых правильных многоугольников (a означает длину стороны), вычисленные по формуле (1)пункта 2.3.<table cellspacing=«1» cellpadding=«0» ">

НАЗВАНИЯ И ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Число

сторон

Название

многоугольника

Площадь

<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Правильные многогранники

29 Августа 2013