Реферат: Правильные многогранники

МУНИЦИПАЛЬНОЕОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯШКОЛА № 106

Правильные многогранники

<img src="/cache/referats/20611/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

                                                                                    Реферат составил:

                                                                                                   учащийся 11”Б” класса

                                                                                                   Онещюк  Игорь

                                                                                                     Николаевич

 

                                                                                     Учитель:

                                                                                      Онещюк Светлана

                                                                                                      Юрьевна

                                                                                                   

г. Ростов-на-Дону

2005

Содержание:

        Стр.

1.<span Times New Roman"">    

Введение…………………………………………………………………….3

2.<span Times New Roman"">    

О правильных многогранниках……………………………………………4

<span Times New Roman"">           

Формула Эйлера……………………………………………………..4

<span Times New Roman"">           

Доказательство существования пяти правильных многогранников……………………………………………………...5

<span Times New Roman"">           

Платоновы тела……………………………………………………...6

<span Times New Roman"">           

Теория Кеплера……………………………………………………...8

<span Times New Roman"">           

Задача о проверке космической теории Платоновых тел……….10

<span Times New Roman"">           

Современные гипотезы обустройства мира……………………...11

<span Times New Roman"">           

Связь многогранников с живой природой………………………..12

3.<span Times New Roman"">    

Заключение………………………………………………………………..15

4.<span Times New Roman"">    

Список литературы……………………………………………………….16

5.<span Times New Roman"">    

ПРИЛОЖЕНИЕ. Содержаниеслайдов………………………………….17

5.1. Слайд № 7.

5.2. Слайд № 8, 9.

5.3. Слайды № 10, 11.

5.4. Слайд № 12, 13.

5.5. Слайды № 14, 15.

5.6. Слайд № 16, 17.

5.7. Слайд № 19.

ВВЕДЕНИЕ.

Человек проявляет интерес к многогранникам напротяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка,играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтениемкниг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в видекристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощьюэлектронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появлениячеловека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобныхпирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков.Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Поэтомуэпиграфом к своей работе я выбрал слова Л. Кэрролла:

 

 Правильныхмногогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отрядсумел пробиться в самые глубины различных наук.

В реферате я  доказал существование только 5-ти правильныхмногогранников, вывел закономерность количества граней, вершин и ребер правильных многогранников (формулуЭйлера), рассмотрел  свойства телПлатона, их место в философской картине мира, разработанной мыслителемПлатоном. Меня заинтересовала модель Солнечной системы – «Космический кубок»Кеплера и я попытался доказать истинность гипотезы Кеплера с помощьюматематических выкладок.

                                                                   

2. О  правильных многогранниках.

2.1. Формула Эйлера (Слайд №18)

Изучая любые многогранники, естественнее всегоподсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мычисло указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты втаблице 1.

                                                                                                       Таблица 1

Правильный многогранник

Число

Граней

Вершин

Ребер

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

4

6

8

12

20

4

8

6

20

12

6

12

12

30

30

Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет лизакономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот встолбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), а потом намеченнаязакономерность «провалилась» (8 + 2 <img src="/cache/referats/20611/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">  <img src="/cache/referats/20611/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

  Мысравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двухстолбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицусвоих подсчетов (см. табл. 2).

Таблица № 2

Правильный

многогранник

Число

Граней и вершин (Г + В)

Ребер (Р)

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

4 + 4 = 8

6 + 8 = 14

8 + 6 = 14

12 + 20 = 32

20 + 12 = 32

6

12

12

30

30

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершинравна числу ребер, увеличенному на 2»:   Г + В = Р +2.

Итак, получена формула, которая была подмечена ужеДекартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с техпор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

2.2.Доказательство существования пяти правильных многогранников.

Зададимся  вопросом о том, сколько правильных многогранников существует?

Предположим, что правильный многогранник имеет

 Гграней, из которых каждая есть правильный n-угольник,

 укаждой вершины сходятся k ребер,

 всего в многограннике В вершин и Р ребер,

причем n<img src="/cache/referats/20611/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">  сторон,

            и k<img src="/cache/referats/20611/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

Считая ребра по граням, получим: n <img src="/cache/referats/20611/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> Г = 2Р.

Каждое ребропринадлежит двум граням, значит, в произведении

 n<img src="/cache/referats/20611/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> Г число Р удвоено.

Считая ребра по вершинам, получим: k<img src="/cache/referats/20611/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

<img src="/cache/referats/20611/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> или <img src="/cache/referats/20611/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

По условию <img src="/cache/referats/20611/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/20611/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1036">n= 4 и k= 4, то  <img src="/cache/referats/20611/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> тогда <img src="/cache/referats/20611/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> и <img src="/cache/referats/20611/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> Прикидкой можно проверить, что и другиезначения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству  (*).  Значит,либо k = 3, либо n = 3.

Пусть n= 3,тогда равенство  (*) примет вид:

<img src="/cache/referats/20611/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> или <img src="/cache/referats/20611/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

Поскольку   <img src="/cache/referats/20611/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> <img src="/cache/referats/20611/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1043">    <img src="/cache/referats/20611/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1044">  может приниматьзначения <img src="/cache/referats/20611/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1045">  <img src="/cache/referats/20611/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1046">  <img src="/cache/referats/20611/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

 т.е. k =  3, 4, 5.

Если k = 3, n = 3, то   P = 6,   Г = <img src="/cache/referats/20611/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1048">    В = <img src="/cache/referats/20611/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1049">    — это тетраэдр (см.табл. 1).

Если k = 4, n = 3, то Р = 12,  Г =<img src="/cache/referats/20611/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1050"><img src="/cache/referats/20611/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1051">                                                                — это           октаэдр.

Если k = 5, n = 3, то  Р = 30,  Г = <img src="/cache/referats/20611/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> В = <img src="/cache/referats/20611/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1053">                                                                   — это икосаэдр.

Пусть теперь k = 3, тогдаравенство (*) примет вид:

<img src="/cache/referats/20611/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1054">   <img src="/cache/referats/20611/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

Отсюда следует, что n можетпринимать значения 3, 4, 5.

Случай n = 3 разобран.

Остаются два случая:

n = 4 при k = 3,тогда  <img src="/cache/referats/20611/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> Г = <img src="/cache/referats/20611/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/20611/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1058">                                                                — это куб.

n = 5 при k = 3, тогда  <img src="/cache/referats/20611/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> Г = 12, В =30                                                                 — это додекаэдр.

 Мы  доказали,что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников.Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида,причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течениенескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этойблизостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым сновейшими в то время открытиями в области стереометрии.

2.3. Платоновы тела. ( Слайд № 4)

                                                                        

Правильные многогранникиназываются Платоновыми телами, они занимают видное место в философской картинемира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Итак, правильныхмногогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля)было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре,которые можно было бы сопоставить со стихиями.

Какими соображениямируководствовался при этом Платон? Прежде всего тем, что некоторые элементы, какон считал, могли перейти друг в друга. Преобразование одних многогранников вдругие могли быть осуществлены путем перестройки их внутренней структуры. Нодля этого в данных телах нужно было найти такие структурные элементы, которыебыли бы для них общими. Из внешнего вида правильных многогранников явствует,что грани трех многогранников — тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют формуравностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника – куб и додекаэдр –построены: первый — из квадратов, а второй — из правильных пятиугольников,поэтому они не могут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные тритела. Это значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра,октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами илидодекаэдрами, но эта четвертая стихия не сможет переходить в три других, авсегда будет оставаться сама собой. Платон решил, что такой стихией может быть только земля и чтомельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру,октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно огонь, воздух и вода.

 

<img src="/cache/referats/20611/image064.jpg" v:shapes="_x0000_i1060">

          Тетраэдр     (огонь)

     Куб

(земля)

    Октаэдр   (воздух)

   Додекаэдр

(модель

     Вселенной)

  Икосаэдр (вода)

 

 

Что касается пятогомногогранника – додекаэдра, то он остается не у дел. По поводу него Платонограничивается в «Тимее» замечанием, что «его бог определил для Вселенной иприбегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал».

Возникает вопрос «какимисоображениями руководствовался Платон, приписывая частицам огня форму тетраэдра,частицам земли – форму куба и т.д.?». Здесь он учитываетчувственно-воспринимаемые свойства соответствующих стихий. Огонь – наиболееподвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела(сжигая или расплавляя, или испаряя их); при соприкосновении с ним мыиспытываем чувство боли, как если бы мы укололись или порезались.

Какие частицы могли быобусловить все эти свойства и действия? Очевидно, наиболее подвижные и легкиечастицы, и притом обладающие режущими гранями и колющими углами. Из четырехмногогранников, о которых может идти речь, в наибольшей степени удовлетворяеттетраэдр. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и долженбыть в согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом исеменем огня, наоборот, земля выступает в нашем опыте как самая неподвижная иустойчивая из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должныиметь самые устойчивые основания. Из всех четырех тел этим свойством вмаксимальной мере обладает куб. Поэтому мы не нарушим правдоподобия, еслиприпишем частицам земли кубическую форму. Аналогичным образом с двумя прочимистихиями мы соотнесем частицы, обладающие промежуточными свойствами. Икосаэдр,как самый обтекаемый, представляет частичку воды, октаэдр – частицу воздуха.

Пятый многогранник –додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал весь мир и почиталсяглавнейшим.

Мы видим, каким образомпринцип правдоподобия сочетается у Платона с использованием данныхповседневного опыта. Любопытно, что Платон почти не касается других, чистоспекулятивных, мотивов (например, связанных с теорией пропорций), которые играли решающую роль в построении егокосмологической концепции и которые могли оказать влияние и на некоторыеаспекты его теории строения вещества.

Правда,  сам Тимей, выступающий в данном случае вкачестве профессора, читающего лекцию об устройстве мира, является, по всемданным, представителем пифагорейской школы. Однако до сих пор не ясно,существовал ли Тимей как историческая личность или же был фиктивным персонажем,придуманным Платоном для того, чтобы не делать автором космологических ифизических теорий его обычного героя – Сократа, ибо это слишком не вязалось быс образом последнего.

Платон «правдоподобно»систематизировал картину мира. Это была одна из первых попыток ввести в наукусаму идею систематизации, которая оказалась очень плодотворной. Она помоглаотделить одни области знаний от других, сделав научные исследования болеецеленаправленными.

2.4. Теория Кеплера (Слайд № 5, 6).

А теперь от Древней Грецииперейдем  к Европе XYI– XYIIвв., где жили творил замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер ИоганнКеплер (1571-1630).

<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/20611/image066.jpg" v:shapes="_x0000_i1062">

Кеплер действительно выступалв науке как астроном, математик и фантазер. Если бы в нем не было хотя быодного из названных качеств, то он не смог бы достичь таких высот в науке.

На основе обобщения данных,полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительноСолнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном изфокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящейчерез центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом-вектором,изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнцаотносятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Но это были только гипотезы,пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения ИсаакНьютон (1643-1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказаласвою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многиенебесные явления.

Но представим себя на местеКеплера. Перед ним различные таблицы–столбики цифр. Это результаты наблюдений –как его собственных, так и великих предшественников-астрономов. В этом моревычислительной работы человек хочет найти некоторую закономерность. Чтоподдерживает его в таком грандиозном замысле? Во-первых, вера в гармонию, уверенностьв том, что мироздание устроено закономерно, а значит, законы его устройстваможно обнаружить. А во-вторых, фантазия в сочетании с терпением и честностью. Всамом деле, ну надо же от чего-то оттолкнуться! Искомые законы надо сначалапридумать в собственной голове, а потом проверять их наблюдениями.

Сначала Кеплера соблазниламысль о том, что существует всего пять правильных многогранников и всего шесть(как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс,Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениямсделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небеснымителами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными вних Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центрывписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, вкотором располагается Солнце.

<img src="/cache/referats/20611/image068.jpg" v:shapes="_x0000_s1030">

Кеплер выполнил огромнуювычислительную работу, чтобы подтвердить свои предположения. В 1596 году онвыпустил книгу, в которой они были изложены. Согласно этим предположениям, всферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбитыЮпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферыорбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписываетсясфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфераорбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписываетсясфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космическогокубка» Кеплера.

2.5. Задача о проверке космической теории Платоновыхтел.

Можно проверить  самим космическую теорию Платоновых тел.Рассмотрим  задачу:

«Средние радиусы орбиты Сатурна и Юпитера равнысоответственно Rс= 1, 427·109 км и Rю= 0,788 · 109  км. Найдите отношение радиусов орбитуказанных  планет и сравните найденноеотношение с отношением радиусов описанной около куба и вписанной в него сфер».

Решение.

Согласно гипотезе Кеплера эти отношения должны бытьравны. Итак, из наблюдений имеем:

<img src="/cache/referats/20611/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1063"><img src="/cache/referats/20611/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

Согласно гипотезе в сферу орбиты Сатурна вписан куб,пусть его ребро равно а. Тогда радиус вписанной окружности равен половинедиагонали вписанного куба, т.е. <img src="/cache/referats/20611/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> но <img src="/cache/referats/20611/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> и тогда <img src="/cache/referats/20611/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1067">r. Он равен половине ребра куба,т.е. <img src="/cache/referats/20611/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/20611/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1069">

Как видим, расхождение между теоретическим отношением R: r  и наблюдаемым Rс: Rю не так уж и велико,менее 0,1. А для космических масштабов оно вроде бы и допустимо. Эти «почтисовпадения» и заставляли Кеплера долго держаться за теорию платоновых тел,поскольку легко было заподозрить ошибку в наблюдениях.

Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверялданные коллег, но, наконец, нашел в себе силы отказаться от заманчивойгипотезы. Однако ее следы просматриваются в третьем законе Кеплера, гдеговорится о кубах средних расстояний от Солнца.

Каким образом они моглипоявиться в сознании человека, если бы он не рассуждал об объемепространственных тел? Ведь именно объем, как мы знаем, выражается кубамилинейных размеров тел. Но это тоже гипотеза, гипотеза о том, как были найденызаконы Кеплера. У нас нет возможности ее проверить, но мы твердо знаем одно:без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не можетсуществовать наука.

 2.6.Современные гипотезы обустройства мира (Слайд №23).

Итак, Платон, Кеплер, Пифагорсвязывали правильные многоугольники с гармоничным устройством мира. А известныли вам современные гипотезы обустройства мира?

 Идеи Пифагора, Платона,Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и внаше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которуювысказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В.Макаров и В. Морозов.

Они считают, что ядро Землиимеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие наразвитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, аточнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровуюструктуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступаютпроекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра идодекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровойсетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами,обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторыенепонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций:Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точкахнаблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находитсяозеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно,определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильныемногогранники занимают важное место.

<img src="/cache/referats/20611/image082.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">

5.7. Связь многогранников с живой природой (Слайд №20, 21, 22).

Рассуждая об устройстве мира,нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природеправильные многогранники?

 

1.<span Times New Roman"">    

Правильные многогранники встречаются и в живойприроде. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra)по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине ислужат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить:из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся  зубцы, делающие иглу еще более эффективнойпри защите.

Чем же вызвана такаяприродная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранниковс тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшейплощади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолеватьдавление водной толщи.

<img src="/cache/referats/20611/image084.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1068">

2. Интересно,  что икосаэдр оказался в центре  внимания биологов в их спорах относительноформы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалосьраньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники,направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус.Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

3. Правильные многогранники –самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением томуслужит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, безкоторой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде,служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

<img src="/cache/referats/20611/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

4. При производстве алюминияпользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристаллкоторых имеет форму правильного октаэдра.

5. Получение серной кислоты,железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют формудодекаэдра.

6.В разных химическихреакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) –вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

7. Последний правильныймногогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для созданияполупроводников первого поколения.

<img src="/cache/referats/20611/image087.jpg" hspace=«10» vspace=«10» v:shapes="_x0000_i1071">

Итак, благодаря правильныммногогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрическихфигур, но и пути познанияприродной гармонии.

 

Заключение.

 В ходе работы над рефератом я  изучил правильные многогранники, рассмотрелих модели, выделил  и систематизировал свойствакаждого из многогранников. Кроме этого я узнал, что правильные многогранники сдревних времен привлекали внимание ученых, строителей, архитекторов и многихдругих. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников.Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своихфилософских сочинениях о существе мира. Подробно описал свойства правильных многогранниковдревнегреческий ученый Платон. Правильным многогранникам посвящена последняя XIIIкнига знаменитых «Начал» Евклида. Кмногогранникам  обращались и в болеепозднее время. Это видно из научных трудов Иоганна Кеплера.

Я решил выполнить презентацию,используя знания, полученные на уроках математики и информатики. Мне хотелосьсоздать такую презентацию, чтобы ее можно было использовать  на уроках геометрии.  Весь материал реферата не имеет смыслаотражать в слайдах, поэтому я выбрал, на мой взгляд, самое важное. Для большейнаглядности использовал рисунки, фотографии, таблицы.

Работа мною выполнена в 2-хвариантах: печатном и электронном, предусмотрена возможность показа презентации«Правильные многогранники» при помощи мультимедийной установки.

<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">

Помимо специальнойлитературы я использовал возможности INTERNET.

Презентация создана спомощью программы MicrosoftPowerPoint,содержит 23 слайда.

Литература.

1. Учебник. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцеви др. Геометрия, 10-11    

      классы. 

2.<span Times New Roman"">     

Пособие для поступающих в вузы.Кутасов А.Д., ПиголкинаТ.С. и др… М., «Наука», 1985.

3.<span Times New Roman"">     

Информатика: Лабораторный практикум. Создание текстовыхдокументов в текстовом редакторе MicrosoftWord2000/ Авт.-сост. В.Н. Голубцов, А.К.Козырев и др., Саратов:Лицей, 2003.

4.<span Times New Roman"">     

Сборник конкурсных задач по математике для поступающих ввузы под ред. Сканави М.И., Санкт-Петербург, 1994.

     5.     Интернет –сайты.  

     6.     Гросман С.,Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.

     7.     Курант Р., РоббинсГ.  Что такое математика? М., 1967.

     8.     Кованцов Н.И.Математика и романтика. Киев, 1976.

     9.     Кокстер Г.С.М.Введение в геометрию. М., 1966.

    10.    Смирнова И.М. Вмире многогранников. М., 1990.

    11.  ШарыгинИ.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

    12.  Энциклопедическийсловарь юного математика.М., 1989.

<img src="/cache/referats/20611/image089.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> 

ПРИЛОЖЕНИЕ

5.1. Определение правильногомногогранника (Слайд № 7).

Многогранник называется правильным, если:

     онвыпуклый,

     все его грани- равные правильные многоугольники,

     в каждойвершине сходится одинаковое число граней,

     все егодвухгранные углы равны.

5.2. Тетраэдр иего свойства(Слайд № 8, 9).

                    <img src="/cache/referats/20611/image091.gif" v:shapes="_x0000_s1036">                

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

 Каждая его вершина является вершиной трехтреугольников.

n<span Times New Roman""> 

Таким образом,

тетраэдр имеет

4 грани,

4 вершины

и 6 ребер.

<img src="/cache/referats/20611/image093.gif" v:shapes="_x0000_s1033">

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image095.jpg" v:shapes="_x0000_s1039">

 

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image097.jpg" v:shapes="_x0000_s1040">

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image099.jpg" v:shapes="_x0000_s1041">

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image101.jpg" v:shapes="_x0000_s1042">

5.4. Гексаэдр иего свойства(Слайд № 10, 11).

<img src="/cache/referats/20611/image103.gif" v:shapes="_x0000_s1037">

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

 Каждая его вершина является вершиной трехквадратов.

n<span Times New Roman""> 

 Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270градусов.

Таким образом,куб имеет

6 граней,

8 вершин

12 ребер.

<img src="/cache/referats/20611/image105.jpg" v:shapes="_x0000_s1038">

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image107.jpg" v:shapes="_x0000_s1043">

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image109.jpg" v:shapes="_x0000_s1044">

n<span Times New Roman""> 

S = 6a²

n<span Times New Roman""> 

V = a³

5.5. Октаэдр иего свойства(Слайд № 12, 13).

<img src="/cache/referats/20611/image111.gif" v:shapes="_x0000_s1045">

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

 Сумма плоских углов при каждой вершине равна240 градусов.

Таким образом,

октаэдр имеет

8 граней,

6 вершин

12 ребер.

<img src="/cache/referats/20611/image113.gif" v:shapes="_x0000_s1046">

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image115.jpg" v:shapes="_x0000_s1049">

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image117.jpg" v:shapes="_x0000_s1050">

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image119.jpg" v:shapes="_x0000_s1051">

n<span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/20611/image121.jpg" v:shapes="_x0000_s1052">

5.6. Икосаэдр иего свойства(Слайд № 14, 15).

<img src="/cache/referats/20611/image123.gif" v:shapes="_x0000_s1053">

n<span Times New Roman""> 

n<span Times New Roman""> 

еще рефераты
Еще работы по математике