Реферат: Методические рекомендации по организации и защите курсовой работы по дисциплине для специальности «Математические методы»

Федеральное государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Омский промышленно-экономический колледж»

Методические рекомендации

по организации и защите курсовой работы

по дисциплине

для специальности

«Математические методы»

2203 Программное обеспечение

вычислительной техники и

автоматизированных систем

2008

ОДОБРЕНО

Предметной (цикловой)

комиссией

Председатель

______________Москалёв Г. Н.

Составитель: Н. А. Белгородцева

Составлено в соответствии

с рекомендациями по организации

выполнения и защиты курсовой

работы в образовательных учреждениях СПО

Преподаватель Омского

промышленно-экономического

колледжа

Введение

Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине «Математические методы» для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем состоят из пояснительной записки, общих рекомендаций, порядка выполнения и структуры курсовой работы, требований к содержанию и оформлению курсовой работы, приложений, в которых содержатся примеры оформления курсовой работы.

Содержание:

1. Пояснительная записка 4

2. Порядок выполнения курсовой работы 5

3. Структура курсовой работы 5

4. Тематика курсовых работ 7

5. Содержание основной части курсовой работы (по темам) 9

6. Требования к оформлению курсовой работы 50

7. Порядок защиты курсовой работы по дисциплине 52

«Математические методы»

8. Список литературы для написания курсовой работы 53

9. Приложения 55

Пояснительная записка

Методические указания по выполнению курсовой работы составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математические методы» для специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем. Курсовая работа занимает важное место при изучении дисциплины «Математические методы».

Целью её выполнения является:

— систематизация и закрепление полученных знаний и практических умений;

— углубление теоретических знаний в соответствии с заданной темой;

— формирование умения применять теоретические знания при решении поставленных задач;

— формирование умений использовать справочную литературу;

— развитие творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

— подготовка к итоговой государственной аттестации.

В результате выполнения курсовой работы студент должен:

знать:

— методы решения задач;

уметь:

— работать с научной литературой;

— строить математическую модель;

— выбирать метод решения задач;

— использовать программный продукт при решении задач.

Методические указания предназначены для оказания помощи студентам в организации работы по написанию курсовой работы.

Методические указания снабжены подробным планом раскрытия теоретического материала по каждой теме и примерами задач, требующих обязательного решения.

Формой отчётности при выполнении является план-график выполнения курсовой работы.

Порядок выполнения курсовой работы

Студенты выполняют курсовую работу по утверждённой теме в соответствии с заданием и планом-графиком.

План-график выполнения курсовой работы содержит сведения об этапах, результатах, сроках выполнения задания, отметки руководителя курсового проекта о выполнении объёмов работ (дата, подпись). Образец плана-графика приведён в приложении 2.

Структура курсовой работы

2.1. Структурными элементами курсовой работы являются: титульный лист, задание, оглавление, введение, основная часть, заключение, список литературы, приложения.

2.2. Титульный лист курсовой работы должен содержать следующие сведения:

— полное наименование учебного заведения, отделение;

— название темы курсовой работы;

— название вида документа;

— сведения об исполнителе (ФИО студента, номер группы, подпись), сведения о преподавателе (руководителе) (ФИО, подпись);

— сведения о допуске курсового проекта к защите (дата допуска);

— наименование места и года выполнения.

Образец титульного листа приведён в приложении 3.

2.4. В задании указывают:

— тему курсового проекта;

— перечень основных вопросов, подлежащих изучению и разработке;

— срок сдачи курсового проекта.

Образец задания приведён в приложении 1.

2.5. Оглавление должно содержать перечень структурных элементов курсового проекта с указанием номеров страниц, с которых начинается их местоположение в тексте, в том числе:

— введение;

— обзор литературы;

— главы, параграфы, пункты;

— заключение;

— список литературы;

— приложения.

2.6. Текст введения должен кратко раскрывать актуальность и значение темы.

2.7. Основная часть должна содержать обзор литературы по изучаемому вопросу, развёрнутые ответы на поставленные вопросы, подробное решение предложенных задач, а также дополнительные сведения.

2.8. В заключении должны быть приведены выводы о положительных и отрицательных моментах, которые были подмечены при изучении поставленного вопроса, о сильных и слабых сторонах рассматриваемых методов решения задач.

2.9. Список литературы должен содержать библиографический перечень источников (включая и Интернет-ресурсы), информация из которых использовалась при выполнении курсовой работы.

2.10. В случае необходимости в курсовую работу допускается включать приложения. Приложения должны содержать дополнительную информацию по изучаемой предметной области, не вошедшую в основную часть.

Тематика курсовых работ

1. Исторический обзор экономико-математических методов и моделей

2. Классификация экономико-математических методов и моделей

3. Линейное программирование (Постановка задачи линейного программирования; Экономическая интерпретация задач линейного программирования; Проверка сбалансированности планов; Требования совместности условий)

4. Линейное программирование (Графический метод решения задач линейного программирования; Идея симплекс-метода; Двойственные задачи линейного программирования; Устойчивость оптимизационного решения)

5. Специальные задачи линейного программирования (Целочисленное программирование; Метод ветвей и границ; Задача выбора вариантов)

6. Специальные задачи линейного программирования (Дискретное программирование; Методы решения дискретных задач; Параметрическое программирование)

7. Специальные задачи линейного программирования (Дробно-линейное программирование; Блочное программирование)

8. Оптимизация на графах (Элементы теории графов; Задача коммивояжёра; Транспортная задача)

9. Оптимизация на графах (Оптимизация сетевого графика; Задача о максимальном потоке; Задача о кратчайшем пути)

10. Комбинаторные задачи

11. Нелинейное программирование

12. Динамическое программирование (Постановка задач динамического программирования; Обобщённая схема задачи распределения ресурсов; Задачи динамического программирования)

13. Динамическое программирование (Балансирование производственных мощностей и программы предприятия; Задачи о правилах остановки)

14. Элементы теории вероятностей

15. Стохастическое программирование

16. Управление в условиях неопределённости

17. Оценка риска в «играх с природой»

18. Теория игр

19. Основные понятия теории очередей

20. Система с отказами

21. Теория очередей (Система с неограниченной длиной очереди; Система с постоянным временем обслуживания)

22. Теория очередей (Система с ограниченной длиной очереди; Система с ограниченным потоком требований; Двухфазная система)

23. Общие сведения о QSB

24. Решение задач линейного программирования в QSB

25. Решение задач в QSB (Решение задач целочисленного программирования; Решение транспортной задачи)

26. Решение задач в QSB (Решение задачи о назначениях; Решение сетевых задач (NET))

27. Решение сетевых задач ( CPM )

28. Решение задач в QSB (Решение задач динамического программирования; Решение вероятностных моделей)

29. Решение задач линейного программирования в Excel

30. Решение задач в Excel

Студент имеет право предложить собственную тему курсовой работы при условии обоснованности её разработки.

Содержание основной части курсового проекта (по темам)

1. Исторический обзор экономико-математических методов и моделей

Рассмотреть вопросы:

— описание Евклидом способов построения наибольшего и наименьшего из отрезков, соединяющих данную точку с окружностью, а также способов нахождения среди параллелограммов с заданным параметром параллелограмма максимальной площади;

— математика в Древнем Вавилоне и Древнем Египте как наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира, а также как система практических навыков, крайне важных для работы государственных чиновников;

— акцентирование внимания в «Диалогах» Архимеда на необходимость нематематических следствий как «очередного шага» после математических выводов;

— одна из первых попыток экономико-математического моделирования механизма движения финансов, предпринятая во Франции врачом и экономистом Франсуа Кенэ;

— введение Карлом Марксом алгебраических формул с помощью таблиц Кенэ и его мечта «вывести главные законы кризисов»;

— книга французского математика Антуана Курно «Исследование математических принципов теории богатства», выпущенная в 1838 г.;

— статистическая модель системы экономического равновесия, введённая в 1874 г. Швейцарским экономистом Л. Вальрасом, и модель распределения доходов населения, предложенная итальянским экономистом В. Парето.

— «задача о землекопе» — одна из первых задач, решенных на основе математического подхода, сформулированная Фредериком Тейлором в 1885 г.;

— описание в 1911 г. русским экономистом И. Дмитриевым балансовых соотношений «продукты-ресурсы» с помощью линейных алгебраических выражений;

— идея о составлении плана как результата решения оптимизационной задачи, сформулированная в 1920-х гг. С. Г. Струмилиным;

— необходимость плавного изменения показателей, согласованности элементов системы, кратчайшего пути к цели, как требования к плану, отмеченные В. А. Базаровым;

— основы экономико-математических моделей «затраты-выпуск» для межотраслевых связей, введённые в 1930-х гг. профессором Массачусетсткого технологического института В. Леонтьевым;

— задача: как наилучшим образом распределить работу восьми станков фанерного треста при условии, что известна производительность каждого станка по каждому из пяти видов обрабатываемых материалов, поставленная в 1938 г перед двадцатипятилетним профессором ЛГУ Л. В. Канторовичем;

— исторически общая задача линейного программирования, поставленная в 1947 г. Дж. Данцигом и М. Вудом в департаменте ВВС США;

— транспортная задача, сформулированная в 1941 г. Хичкоком и независимо от него Купмансом в 1947 г., задача о диете, сформулированная Стиглером в 1945 г.;

— успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ «Seac » в 1952 г. в Национальном бюро стандартов;

— интенсификация исследований в трудах Гасса, Баранкина и Дорфмана (квадратичное программирование), Беллмана и Дрейфуса (нелинейное программирование);

— значительные работы в 1950-1960-х гг. в области экономико-математического моделирования в России: «Экономический расчёт наилучшего исследования ресурсов» Л. В. Канторовича (1959), «Применение математических методов в вопросах анализа грузопотоков» Л. В. Канторовича, М. К. Гавурина (1949), работы В. В. Новожилова по оптимальному планированию народного хозяйства.

— создание в 1960 г. академиком В. С. Немчиновым при Новосибирском отделении АН СССР лаборатории экономико-математического моделирования, организация в Киеве института кибернетики, возглавляемой академиком В. М. Глушковым;

— объяснить, в каком случае существуют задачи математического программирования;

— объяснить, в каком случае не возникает проблемы поиска допустимого решения.

2. Классификация экономико-математических методов и моделей

План:

А) Этапы принятия решений

Б) Классификация задач оптимизации

В данном пункте плана рассмотреть вопросы:

— в каком случае применяют волевой выбор;

— в чём заключается критериальный выбор;

— какой вариант называют оптимальным, какую задачу называют задачей оптимизации;

— что такое целевая функция;

— к чему сводится решение задачи оптимизации;

— какие данные называют детерминированными;

— какие данные называют случайными величинами;

— что предполагает оценка максимин;

— на что ориентирует оценка минимакс;

— что такое непрерывные величины;

— что такое дискретные, или целочисленные величины;

— какие зависимости называют линейными;

— какие зависимости называют нелинейными;

В) Классификация экономико-математических методов

В данном пункте плана рассмотреть вопросы:

— что такое задача линейного программирования;

— что такое задача нелинейного программирования;

— что такое задача выпуклого программирования;

— что такое задача квадратичного программирования;

— что такое задача целочисленного программирования;

— что такое задача параметрического программирования;

— что такое задача динамического программирования;

— что такое задача стохастического программирования;

3. Линейное программирование

План:

А) Постановка задачи линейного программирования

В данном пункте плана рассмотреть вопросы:

— задачи распределения ресурсов;

— что такое задачи линейного программирования;

— что содержит каждая задача линейного программирования;

Б) Экономическая интерпретация задач линейного программирования

В данном пункте плана составить математические модели задачи и найти оптимальные решения.

Требуется определить план выпуска четырёх видов продукции А, В, С, D, для изготовления которых используются ресурсы трёх видов: трудовые, материальные, финансовые. Количество каждого i -го вида ресурса для производства каждого j - го вида продукции называют нормой расхода и обозначают aij. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают bi (табл.).

Ресурсы (i )	Вид продукции (j )	Запас ресурса (bi )
А	В	С	D
Удельный расход ресурсов (aij )
Трудовые	6	4	2	1	800
Материальные	7	9	11	5	2000
Финансовые	3	4	5	6	12000
Граница нижняя	1	-	3	-	-
Граница верхняя	12	2	-	-	-
План	х1	х2	х3	х4	-

Пусть для продукции видов А, В, С, D прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составит соответственно 5, 6, 7 и 8 денежных единиц, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 3000 денежных единиц.

Пусть F – ресурсы, R – результат их применения. При заданных зависимостях результата и потребных ресурсов от количества выпускаемой продукции R = R ( xj ), F = F ( xj ) сформулировать две постановки распределения ресурсов. Для каждой постановки найти своё оптимальное решение. Сделать важные для эффективного менеджмента предприятия выводы.

В) Проверка сбалансированности планов

В данном пункте плана показать, как можно обеспечить условие сбалансированности на примере первой постановки задачи из пункта Б плана. Только теперь в связи с изменением рыночной ситуации продукцию А необходимо выпускать в количестве не менее 15, В – не менее 5, С – не менее 2 единиц. Изделия D с производства снимаются как не пользующиеся спросом. Взамен планируется запустить технологически подобные, но более совершенные изделия S, на которые потенциальные потребители могут предъявить, по пессимистическим оценкам, платёжеспособный спрос в объёме 500 единиц. Это позволяет предприятию планировать получение прибыли в размере не менее 5000 денежных единиц.

Новое условие задачи представлено в таблице

Ресурсы (i )	Вид продукции (j )	Запас ресурса (bi )
А	В	С	S
Удельный расход ресурсов (aij )
Прибыль на единицу продукции	5	6	7	8	-
Трудовые	6	4	2	3	800
Материальные	7	9	11	5	2000
Финансовые	3	4	5	6	12000
Граница нижняя	15	5	2	500	-
Граница верхняя	-	-	-	-	-
План	х1	х2	х3	х4	-

Для обеспечения условия сбалансированности нужно:

— убедиться, что данная задача не имеет решения, так как она не сбалансирована по ресурсам;

— поскольку задача оказалась несбалансированной, то составить модель с учётом возможной нехватки ресурсов, введя переменные d 1 , d 2 , d 3 – количество ресурсов каждого вида, необходимое дополнительно для выполнения скорректированного плана производства;

— решить задачу и проверить, какие di = 0, т. е. выяснить, каких дополнительных ресурсов i -го вида не потребуется.

Из проведённого анализа сделать выводы.

Г) Требования совместности условий

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— число неизвестных меньше, чем число уравнений;

— сделать вывод, в каком случае система не имеет решения и является несовместной;

— число неизвестных равно числу уравнений;

— сделать вывод, в каком случае система имеет одно решение;

— для каких уравнений справедливо рассмотренное выше наличие или отсутствие решений при различных соотношениях числа переменных и числа уравнений;

— число неизвестных больше числа уравнений;

— сделать вывод, в каком случае система имеет бесчисленное множество решений.

4. Линейное программирование

План:

А) Графический метод решения задач линейного программирования

В данном пункте плана разобрать вопросы:

— уравнение прямой в отрезках;

— область допустимых решений;

— координаты каких точек являются решением системы неравенств;

— выяснить, любая ли система линейных неравенств имеет допустимые решения;

— плоскость в трёхмерном пространстве, полупространство, многогранник;

— начиная с какого количества переменных невозможна геометрическая интерпретация системы неравенств;

— геометрическая интерпретация оптимального решения;

— суть графического метода решения задач линейного программирования;

Б) Идея симплекс-метода

В данном пункте плана решить следующую задачу.

Оптимизировать план производства с целью получения максимальной прибыли (табл.)

Ресурсы	Норма расхода ресурсов	Запас ресурса
П1	П2	П3	П4
Трудовые	1	1	1	1	16
Сырьё	6	5	4	3	110
Оборудование	4	6	10	13	100
Прибыль	60	70	120	130	-
План	х1	х2	х3	Х4	-

Разобрать следующие вопросы:

— какой элемент выбирается в индексной строке при отыскании максимума, и какой – при отыскании минимума;

— на что делятся компоненты вектора свободных членов;

— какое отношение выбирается из полученных;

— какая вектор-строка является ключевой и что с ней происходит;

— где находится разрешающий элемент;

— в каком случае полученное решение является допустимым;

— в каком случае полученное решение является оптимальным, что это значит;

В) Двойственные задачи линейного программирования

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— какую задачу можно сопоставить с любой задачей линейного программирования;

— согласно чему составляется двойственная задача по отношению к прямой задаче;

— что можно сказать о решении и о нахождении решения двойственных задач, чему равны значения целевых функций этих задач;

— какую обычно решаю задачу для нахождения решения двойственных задач;

Решить задачу .

Для производства изделий А, В, С используются три различных вида ресурсов. Каждый из видов ресурсов может быть использован в количестве, соответственно не большем 180, 210, 244 ед. Известны затраты каждого из видов ресурсов на ед. продукции и цена ед. продукции каждого вида (табл.).

Определить план производства, при котором обеспечивается максимальный доход, и оценить дефицитность каждого вида ресурсов, используемых для производства продукции.

Оценки, приписываемые каждому виду ресурсов, должны быть такими, чтобы оценка всех используемых ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов на производство единицы продукции каждого вида – не меньше цены единицы продукции каждого вида.

Составить и решить прямую и двойственную задачи. Сделать выводы.

Вид ресурса	Норма расхода ресурса на единицу продукции
А	В	С
1	4	2	1
2	3	1	3
3	1	2	5
Цена продукции	10	14	12

Ответить на вопросы:

— что определяют двойственные оценки;

— что показывает величина двойственной оценки;

Г) Устойчивость оптимизационного решения

5. Специальные задачи линейного программирования

План:

А) Целочисленное программирование

В данном пункте плана рассмотреть следующие вопросы:

— формулирование в Древней Греции Диофантом (II-III вв.) уравнения, в котором искомые переменные целые;

— какие задачи называют задачами целочисленного программирования;

— какую задачу называют целочисленной задачей линейного программирования, а какую – целочисленной задачей нелинейного программирования;

— привести примеры задач целочисленного или дискретного программирования;

— в каком случае задачу называют полностью целочисленной, а в каком – частично целочисленной;

— методы отсечений и методы возврата, метод ветвей и границ;

Б) Метод ветвей и границ

В данном пункте плана рассмотреть следующие вопросы:

— какая задача называется непрерывной;

— методом ветвей и границ решить задачу:

После получения нецелочисленного решения составить две новые задачи с различными граничными условиями.

В) Задача выбора вариантов

В данном пункте плана рассмотреть следующие вопросы:

— какие переменные называют булевыми, в честь кого они получили такое название;

— составить математическую модель и решить задачу выбора вариантов :

Для получения результата в виде максимально возможной прибыли необходимы два вида ресурсов: материальные и трудовые. Возможны четыре варианта расхода ресурсов и получения прибыли (табл.)

Требуется выбрать, какие варианты принять для реализации при условии, чтобы общее число принятых вариантов не превышало трёх ().

Показатели	Варианты	Наличие
1	2	3	4
Прибыль, д. е./ед.	65	80	90	210	-
Материальные ресурсы	200	180	240	250	800
Трудовые ресурсы	10	15	22	28	50

6. Специальные задачи линейного программирования

План:

А) Дискретное программирование

В данном пункте плана решить задачу :

Мебельная фабрика выпускает диваны, кресла и стулья. Требуется определить, сколько можно изготовить спинок диванов, подлокотников кресел и ножек стульев при известном удельном расходе ресурсов (табл.), чтобы доход был максимальным.

Показатели	Изделия	Наличие ресурса
спинка дивана	подлокотники кресла	Ножка стула
Цена, д. е./ед.	20	6	8	-
Древесина	10	5	3	206
Трудозатраты	2	7	4	100
Спрос	10	8	12	-
х1	х2	х3	bi

Причём выпуск спинок дивана может принимать любое значение, подлокотники изготавливаются парами, т. е. их количество должно быть кратно двум, а количество ножек стульев – четырём.

Б) Методы решения дискретных задач

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— как решаются задачи дискретного программирования методом ветвей и границ;

— решить систему методом сплошного перебора:

— какую последовательность действий предполагает метод фильтрующего ограничения;

— что такое фильтр;

— какой фильтр называют адаптивным;

В) Параметрическое программирование

В данном пункте разобрать следующие вопросы:

— какие задачи называют задачами параметрического программирования;

— решить задачу :

Пусть предприятие изготавливает два вида продукции А и В, для которых использует три вида ресурсов. Известны нормы расхода и запасы каждого вида (см. табл.).

Из анализа спроса установлено, что цена единицы продукции для изделия А может изменяться от 2 до 12 руб., а для изделия В – от 13 до 3 руб., причём эти изменения определяются соотношениями c 1 = 2 + t , c 2 = 13 – t , где

Требуется для каждого из возможных значений цены каждого вида изделий найти такой план их производства, при котором обеспечивается максимальная выручка.

Ресурсы	Удельный расход ресурсов на изделие	Наличие ресурсов
А	В
1	4	1	16
2	2	2	22
3	6	3	36
Цена изделия	2 + t	13 — t	-

7. Специальные задачи линейного программирования

А) Дробно-линейное программирование

В данном пункте плана решить следующие задачи:

1. Пусть для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. Известны затраты времени и других ресурсов на производство единицы изделия каждого вида (табл.).

Тип оборудования	Нормы времени	Ограничения по фонду времени ра- боты оборудования
А	В	верхний	нижний
I	2	8	26	-
II	1	1	-	4
III	12	3	39	-
Затраты на производство	2	3	-	-

Требуется определить, сколько изделий каждого вида необходимо изготовить, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной.

Здесь х3, х4, x 5 – фиктивные переменные, преобразующие неравенства в равенства.

Б) Блочное программирование.

8. Оптимизация на графах

План:

А) Элементы теории графов

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— что такое граф;

— какой граф описывает блок-схему (или структурограмму) технической системы;

— что такое граф-дерево;

— что такое сеть;

— что показывает структура (топология) сети;

— какую вершину сети называют источником, а какую – стоком;

— какие характеристики могут иметь дуги;

Б) Задача коммивояжёра

В данном пункте плана решить задачу:

Пусть имеются пять пунктов, соединённых между собой дорогами так, что из любого пункта можно проехать в любой другой пункт (рис.). Известно время перевозки из пункта i в пункт j (табл.).

Требуется найти такой маршрут, начинающийся в данном пункте, проходящий через все пункты и заканчивающийся в пункте выезда, чтобы его продолжительность была наименьшей.

Из пункта i	В пункт j
1	2	3	4	5
1	10	25	25	10
2	1	10	15	2
3	8	9	20	10
4	14	10	24	15
5	10	8	25	27

В) Транспортная задача

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— какая задача называется транспортной;

— какая модель называется открытой;

— какие этапы включает алгоритм решения задачи методом потенциалов;

— решить задачу:

Пусть имеется 3 поставщика и 4 потребителя. Запасы продукта у поставщиков, спрос потребителей и транспортные расходы на доставку единицы продукта от i -го поставщика к j -му

потребителю заданы (табл.).

— какая модель называется закрытой;

Поставщик	Потребитель	Запас
1	2	3	4
1	3	5	6	2	170
2	6	4	7	5	250
3	5	4	6	5	180
Спрос	150	230	160	60	600

Требуется составить такой план перевозки, чтобы обеспечить минимум общей суммы транспортных расходов.

Начальный план перевозок определить с помощью метода северо-западного угла.

9. Оптимизация на графах

План:

А) Оптимизация сетевого графика

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— что за методы CPM и PERT и когда они были разработаны;

— в каком году и для чего появился CPM ;

— в каком году и для чего появился PERT ;

— алгоритм методов CPM и PERT ;

— в чём состоит главное различие этих методов;

— какие временные оценки используются в PERT ;

— что в сетевом графике соответствует дуге, а что вершине;

— начальное событие, конечное событие;

— путь;

— критический путь;

— резерв;

— что должен чётко знать и особо контролировать руководитель;

— первая постановка задачи оптимизации;

— вторая постановка задачи оптимизации;

Б) Задача о максимальном потоке

В данном пункте плана определить максимальный поток в сети (рис.):

Решение задачи проводить с помощью программы «Сетевое моделирование (NET )».

В) Задача о кратчайшем пути

В данном пункте плана определить кратчайшее расстояние в сети (смотри рис. выше) между первым и пятым пунктами.

Решение задачи проводить с помощью программы «Сетевое моделирование (NET )».

10. Комбинаторные задачи

План:

А) Задача о назначениях

В данном пункте плана сформулировать задачу о назначениях в общем виде;

Б) Венгерский метод

В данном пункте плана рассмотреть следующие вопросы:

— идея венгерского метода;

— решить задачу данным методом:

Пусть для монтажа четырёх объектов (п = 4 ) требуется четыре крана (п = 4 ). Известно время монтажа каждым i - м краном каждого j -го объекта (табл.).

Код крана (i )	Затраты времени на монтаж по объектам (cij )	di
1	2	3	4
1	3	7	5	8	3
2	2	4	4	5	2
3	4	7	2	8	2
4	9	7	3	8	3

Необходимо так распределить краны по объектам, чтобы суммарное время монтажа всех объектов было минимально.

При решении задачи использовать алгоритм:

Шаг 1. Получение нулей в каждой строке.

Шаг 2. Поиск оптимального решения.

Шаг 3. Поиск минимального набора строк и столбцов, содержащих нули.

Шаг 4. Перестановка некоторых нулей.

11. Нелинейное программирование

План:

А) Классификация и общая постановка задач нелинейного программирования

В данном пункте плана рассмотреть вопрос:

— какие задачи называются задачами нелинейного программирования;

Б) Метод множителей Лагранжа

В данном пункте плана рассмотреть следующие вопросы:

— множители Лагранжа, функция Лагранжа;

— решить задачу методом Лагранжа:

Известен рыночный спрос на определённое изделие в количестве 180 штук. Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве х1 изделий первым предприятием его затраты составят руб… а при изготовлении х2 изделий вторым предприятием они составляют руб.

Определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальны.

В) Метод кусочно-линейной аппроксимации

В данном пункте плана решить задачу нелинейного программирования методом кусочно-линейной аппроксимации:

12. Динамическое программирование

План:

А) Постановка задач динамического программирования

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— что такое задачи динамического программирования (ДП), примеры таких задач;

— решить задачу ДП:

Пусть установлены возможные варианты транспортной сети из маршрутов, соединяющих исходный пункт 1 с конечным пунктом 10. Все 10 пунктов можно отнести к пяти зонам (этапам). На линиях, соединяющих пункты, поставлено время проезда между соседними пунктами (рис.).

Требуется выбрать путь от начального пункта до конечного с минимальным временем.

— суть принцип оптимальности;

— откуда надо начинать анализ вариантов;

— какое решение определяется на первом цикле решения задач ДП;

— какое решение определяется во втором цикле, как оно находится (на примере предложенной выше задачи);

Б) Обобщённая схема задачи распределения ресурсов

В данном пункте плана рассмотреть вопрос:

— принцип оптимальности Беллмана;

В) Задачи динамического программирования

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— основное функциональное уравнение Беллмана, его суть;

— каким свойством обладает оптимальное поведение (управление);

13. Динамическое программирование

План:

А) Балансирование производственных мощностей и программы предприятия

В данном пункте плана решить следующую задачу:

Пусть известны возможные значения эффективности (например, прирост прибыли, выпуск продукции и др.) на каждом из четырёх предприятий отрасли в результате расширения действующих мощностей (табл.).

Капитало- вложения (х ), д. е.	Прирост выпуска продукции i -го предприятия gi (x), д. е./год
1	2	3	4
50	25	30	36	28
100	60	70	64	56
150	100	90	95	110
200	140	122	130	142

Требуется составить план распределения ограниченных капиталовложений по этим предприятиям (К = 200 д. е.), максимизирующий общий прирост выпуска при заданной номенклатуре и структуре отраслевого плана производства продукции.

Б) Задачи о правилах остановки

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— задача о разборчивой невесте;

— марковская цепь;

— в чём состоит оптимальная стратегия решения задачи о правилах остановки при больших N;

— в чём состоит оптимальная стратегия решения задачи о правилах остановки при малых N;

— формулировка общей задачи об оптимальной остановке марковской цепи;

— решить задачу о бросании монеты при неограниченном капитале;

14. Элементы теории вероятностей

Разобрать вопросы:

— утверждение Джероламо Кардано (1506-1576) – итальянского математика, философа и врача, с именем которого связывают формулу решения неполного кубического уравнения, создание кардана и гироскопа, о том, что во время осады Трои (ок. 1260 г. до н. э.) для развлечения томящихся от скуки воинов некто Галамед изобрёл игральные кости в виде кубиков с числом точек на каждой стороне от 1 до 6;

— от какого арабского слова произошло слово азарт, что оно означает;

— одно из первых исследований по теории вероятностей, принадлежащее итальянцу Николо Тарталье (ок. 1499-1557), называемое «Общее правило данного автора, найденное в первый день поста 1523 г. в Вероне, чтобы уметь найти, сколькими способами можно варьировать положение какого угодно количества костей при их метании»;

— нормальный закон распределения вероятностей (впервые описан в книге Муавра «Учение о случаях» в XVIII в., затем у Гаусса через 100 лет, и этот закон назвали его именем), играющий исключительно важную роль в описании случайных явлений;

— кто впервые назвал науку Теория вероятностей именно так;

— что такое событие;

— что такое достоверное событие, привести примеры;

— что такое невозможное событие, привести примеры;

— что такое возможное событие, привести примеры;

— что такое вероятность;

— для чего используют понятие частоты;

— какие события называют несовместными;

— какие числа называют случайными величинами;

— что такое реализация;

— что характеризует математическое ожидание и как оно вычисляется;

— что характеризует дисперсия и как она вычисляется;

— что показывает коэффициент вариабельности и как он вычисляется;

— решить задачу:

Пусть наличие некоторого i -го ресурса в каждом квартале bi – случайная величина. Реализация этой случайной величины – фактический объём ресурса в каждом квартале (по отчёту прошлого года и трёх кварталов текущего) (табл.).

Квартал	I	II	III	IV	I	II	III
bi	90	100	105	111	89	95	110

Определить математическое ожидание случайной величины bi, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариабельности;

— что показывает закон распределения случайной величины;

— между чем устанавливает связь закон распределения случайной величины;

— какие задачи решают с помощью нормального закона распределения;

— сколько форм представления имеет нормальный закон распределения, назвать их и изобразить графически;

15. Стохастическое программирование

План:

А) Понятие о стохастическом программировании

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— какие задачи относятся к задачам стохастического программирования;

— суть стохастической М-постановки целевой функции;

— вид целевой функции при Р-постановке, что обозначает maxL при максимизации целевой функции, что обозначает minL при минимизации целевой функции;

— как можно записать задачу СТП при М-постановке для случая, когда вероятностные ограничения представлены в виде ;

— как можно записать задачу СТП при Р-постановке в случае максимизации и в случае минимизации целевой функции для случая, когда вероятностные ограничения представлены в виде ;

Б) Детерминированная постановка задач стохастического программирования

В) Решение задач СТП

В данном пункте плана рассмотреть следующие вопросы:

— какая функция называется сепарабельной;

— каким методом можно найти приближённое решение задачи нелинейного программирования, если целевая функция и функции в системе ограничений сепарабельные;

— рассмотреть задачу распределения двух видов ресурсов для выпуска двух наименований изделий:

где aij , bi , cj – случайные.

16. Управление в условиях неопределённости

Разобрать вопросы:

— чем занимается математическая теория игр;

— что такое конфликтные ситуации;

— что такое игра;

— как условно можно выразить результат игры;

— какая игра называется игрой с нулевой суммой;

— как представляется развитие игры во времени;

— что такое случайный ход;

— что такое сознательный ход;

— для чего нужна платёжная матрица, чему в ней соответствуют строки и столбцы, что означают элементы матрицы;

— цель теории игр;

— какая стратегия является предпочтительной для первого игрока А;

— что такое цена игры;

— как находится минимаксный выигрыш;

— в каком случае цена игры называется чистой, как её ещё называют по-другому;

— разрешить следующую конфликтную ситуацию:

Конструктор получил задание разработать определённое новое изделие. В результате исследований он определил три возможных варианта изделия V1, V2, V3, каждый из которых может быть реализован каким-либо из трёх техпроцессов Т1, Т2, Т3 .

Если первый вариант конструкции V1 реализуется по первой технологии Т1, то внешний вид изделия оказывается наилучшим и оценивается экспертами в 9 баллов, а при реализации по второй технологии – в 6 баллов, по третьей – в 5 баллов и т. д. (табл.).

Конструкция	Технология
Т1	Т2	Т3
V1	9	6	5	5 (Т3 )
V2	8	7	7	7 (Т2 или Т3 )
V3	7	5	8	5 (Т2 )
	9	7	8

Конфликтная ситуация возникает из-за того, что затраты на реализацию каждого конструкторско-технологического решения (варианта) не одинаковы. Для простоты полагаем, что затраты пропорциональны внешнему виду (чем выше балл, тем больше затраты).

Конструктор должен представить только один вариант, конечно, самый красивый. Но он понимает, что тогда найдутся сторонники самого дешёвого варианта (экономисты). Поэтому его задача – выбрать оптимальный вариант по внешнему виду и стоимости.

— в каком случае применяют смешанные стратегии, как называется такая тактика;

— что такое смешанная стратегия данного игрока;

— как находится цена игры при смешанных стратегиях;

— найти решение игры, заданной матрицей

17. Оценка риска в «играх с природой»

Разобрать вопросы:

— какие ситуации называют играми с природой;

— как по платёжной матрице можно оценить возможные исходы: минимальный выигрыш и максимальный проигрыш;

— какой показатель называют риском;

— максимальный критерий Вальда;

— критерий пессимизма-оптимизма Гурвица;

— критерий минимаксного риска Сэвиджа;

— определить наиболее выигрышную политику продаж, если известна матрица условных вероятностей Pij продажи старых товаров С1, С2, С3 при наличии новых товаров Н1, Н2, Н3 (табл.).

Старые

товары

Новые товары

Н1

Н2

Н3

С1

0,6

0,3

0,1

С2

0,2

0,7

0,1

С3

0,1

0,4

0,5

При принятии решения:

1) вычислить показатели риска;

2) проанализировать критерий по известным вероятностным состояниям «природы»;

3) проанализировать критерий пессимизма-оптимизма Гурвица;

4) проанализировать критерий минимаксного риска Сэвиджа.

18. Теория игр

План:

А) Геометрическая интерпретация игровых задач

В данном пункте плана решить задачи:

1) Решить игру, заданную матрицей

;

В1 В2

2) Решить игру, заданную матрицей

3) Решить игру, заданную матрицей

;

4) Пусть предприятие планирует производство на массовый рынок нового изделия. Спрос на это изделие не может быть точно определён. Однако можно предположить, что его величина будет характеризоваться тремя возможными состояниями (I, II, III). С учётом этих состояний анализируются три возможных варианта (модификации) конструкции изделия (А, Б, В), каждый из которых требует своих затрат и обеспечивает различный эффект (цену, прибыль).

Прибыль, которую получит предприятие при данном объёме производства и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей:

I II III

Требуется выбрать такой вариант изделия, величина предложения которого обеспечит среднюю прибыль при любом уровне спроса;

5) Предприятие планирует производство двух изделий А, Б с неопределённым спросом, предполагаемый уровень которого характеризуется двумя состояниями I, II. В зависимости от этих состояний прибыль предприятия различна и определяется платёжной матрицей

Определить объёмы производства каждого изделия, при котором предприятию гарантируется средняя величина прибыли при любом состоянии спроса.

Б) Сведение задач теории игр к задачам линейного программирования

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— для матричной игры записать пару двойственных задач, и по их решению найти решение игры:

— сделать вывод о наличии оптимальной стратегии любой матричной игры и о наличии решений задач линейного программирования;

— для пары двойственных задач записать матричную игру:

19. Основные понятия теории очередей

Рассмотреть вопросы:

— что происходит в системах массового обслуживания;

— труды датского учёного А. К. Эрланга (1878-1929) в области проектирования и эксплуатации телефонных станций, оказавшие особое влияние на начальное развитие теории очередей, исследующей системы массового обслуживания;

— куда поступает требование на обслуживание;

— в каком случае требование выполняется;

— что происходит, если все каналы заняты;

— чем характеризуется входной поток требований;

— методы решения каких задач теории очередей в настоящее время наиболее теоретически разработаны и удобны в практических приложениях;

— какими тремя свойствами обладает простейший поток событий;

— что описывает дисциплина очереди;

— правила постановки в очередь: FIFO и LIFO ;

— чем характеризуется механизм обслуживания;

— каким законом обычно описывается время обслуживания требований в системе, что этот закон означает;

— системы с отказами;

— системы с ожиданием;

— системы с ожиданием и ограниченной длиной очереди;

— системы с ограниченным временем ожидания;

— системы с ограниченным потоком требований;

— одноканальные и многоканальные системы;

— однофазные и многофазные системы.

20. Система с отказами

Решить задачи :

1) Фирма имеет п = 4 телефонных диспетчеров. Среднее число вызовов в течение часа составляет Среднее время телефонного разговора Тобс = 2 минуты. Определить степень загрузки диспетчеров и вероятность отказа в обслуживании.

2) Определить оптимальное число аппаратов автоматического контроля качества деталей. Если очередная деталь, двигающаяся по конвейеру, застаёт все контролирующие аппараты занятыми, то она проходит на отгрузку без контроля. Цена аппарата 10000., эксплуатационные расходы на содержание работающего аппарата 200 руб./сутки, а простаивающего – 100 руб./сутки. Потери потребителя от возможного получения бракованной детали – 20 руб. Время контроля одной штуки проката распределено по экспоненциальному закону с параметром . Поток деталей является простейшим с параметром .

3) Для повышения качества проката после стана установлены две машины зачистки поверхности металла. Если очередная штука проката застаёт зачистные машины занятыми, то она проходит на отгрузку без зачистки. Это позволяет не останавливать предшествующий технологический поток и давать максимальное количество проката. Однако зачистка поверхности даёт возможность повысить цену на 5 руб./шт.

Требуется оценить работу системы, если цена зачистной машины 10000 руб., затраты на зачистку 0,5 руб./ч, затраты на один час простоя машины 0,2 руб., годовой фонд работы машины 6000 ч, время зачистки одной штуки проката распределено по экспоненциальному закону с параметром , поток проката простейший с параметром .

Рассмотреть возможность установки третьей зачистной машины.

4. Определить оптимальное число ячеек в нагревательном отделении обжимного цеха. Будем считать, что слитки поступают по одному и ёмкость ячейки один слиток. Если очередной слиток застаёт все ячейки занятыми, то он отправляется на склад холодных слитков. В последующем нагрев этого слитка требует дополнительных затрат 40 руб. Цена одной ячейки 100 руб., затраты на обслуживание ячейки при работе 2 руб./ч и при простое – 1 руб./ч, годовой фонд работы ячейки 6000 ч.

Сделать анализ влияния числа ячеек на экономическую оценку работы нагревательного отделения, если поток слитков является простейшим с параметром 30 шт./ч, а время нахождения слитка в ячейке распределено по экспоненциальному закону с параметром 1 шт./ч.

21. Теория очередей

План:

А) Система с неограниченной длиной очереди

В данном пункте плана решить следующие задачи:

1) Пусть фирма по ремонту аппаратуры имеет п = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт аппаратов. Общее число аппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь, каждый аппарат в зависимости от характера неисправности также требует случайного времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьёзности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. Статистика показала, что в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать аппарата.

Требуется оценить характеристики работы фирмы по ремонту аппаратуры.

2) Механик из мастерской может обслуживать 3 автомобиля за 1 час. Клиенты появляются по 2 человека в час. Требуется оценить параметры одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием и неограниченной длиной очереди.

Как изменятся параметры системы, если в мастерской будет два механика, зарплата каждого из них 7 руб./ч, а затраты клиента 10 руб./ч.

3) Определить оптимальное число причалов промышленного речного порта, принимающего сыпучие материалы. Поток поступления барж простейший с параметром 0,5 шт./сутки. Время разгрузки одной баржи подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром 0,5 шт./сутки. Цена оборудования одного причала 100000 руб., текущие затраты на содержание работающего причала 400 руб./сутки, а простаивающего – 200 руб./сутки, приведённые затраты на содержание груженой баржи 1000 руб./сутки. Если груз с момента прибытия ожидает более двух суток, то условия его разгрузки усложняются и связаны с дополнительными затратами в 600 руб.

4) Определить оптимальное число станков в мастерской, если цена одного станка 20000 руб., среднее время обработки одного комплекта деталей 4 ч, текущие затраты на обслуживание работающего станка 5 руб./ч, а неработающего – 3 руб./ч, содержание запаса деталей 0,2 руб./ч на один комплект, среднее число деталей, поступающих в обработку 2 комплекта/ч.

Статистический анализ показал, что поток комплектов деталей является простейшим, а время обработки распределено по экспоненциальному закону.

5) На заводе имеется 5 испытательных стендов готовых изделий. Статистическим обследованием установлено, что поток готовых изделий – пуассоновский с параметром 5 шт./ч, а время испытания – случайное и распределено по показательному закону с параметром 4 шт./ч. Если все стенды заняты, то изделия ожидают испытаний в порядке очереди. Ограничений на длину очереди нет.

Требуется оценить работу системы, если цена одного стенда 2000 руб., текущие расходы на обслуживание работающего стенда 30, а стоящего 20 руб./сутки, приведенные затраты на содержание ожидающих изделий 10 руб./сутки.

Рассмотреть целесообразность сокращения числа стендов.

Б) Система с постоянным временем обслуживания

В данном пункте плана решить задачу :

Грузовики ожидают разгрузки на складе 15 мин. Простой грузовика в очереди обходится в 60 руб./ч. Покупка нового автопогрузчика позволит сократить процесс разгрузки до 5 мин (автомобилей в час). В среднем на складе пребывает автомобилей в час. Затраты на амортизацию нового погрузчика составляют 3 руб. на разгрузку. Оценить параметры системы.

22. Теория очередей

План:

А) Система с ограниченной длиной очереди

В данном пункте плана решить следующие задачи :

1) Фирма занимается срочной доставкой грузов и имеет п = 5 машин, работающих круглосуточно. В среднем в час поступает заявка. Среднее время перевозки грузов Тобс =1 ч. Если количество заказов, ожидающих обслуживания, становится равным т = 10, то фирма прекращает приём заявок до тех пор, пока очередь не уменьшится.

Требуется оценить характеристики работы фирмы.

2) В отделении нагрева металла в цехе крупной ковки часть нагревательных печей работают в режиме копильников. Если очередной поступивший слиток застаёт занятыми все нагревательные печи, то он помещается в копильники, где обеспечивается поддержание температуры металла. Если занятыми окажутся и копильники, то слиток отправляется на склад. В последующем его нагрев потребует дополнительных затрат в размере 100 руб. Поступающий поток слитков – пуассоновский с параметром 10 шт./сутки. Время нагрева слитка перед ковкой распределено по показательному закону с параметром 1 шт./сутки. В цехе имеется 10 нагревательных печей.

Требуется определить оптимальное число копильников, если цена нагревательной печи 100000 руб., текущие затраты на обслуживание работающей печи – 50 руб./сутки, а стоящей – 30 руб./сутки, приведённые затраты на содержание слитков в копильниках – 60 руб./сутки, годовой фонд времени работы отделения нагрева – 6000 ч.

Б) Система с ограниченным потоком требований

В данном пункте плана рассмотреть модель таможенного брокера ;

В) Двухфазная система

В данном пункте плана решить задачу:

Участок технологического процесса включает прокатный стан и агрегат резки. На стан поступает поток заготовок, который можно считать пуассоновским с параметром 60 шт./ч; перед станом и перед агрегатом резки допускается образование очереди заготовок, ожидающих обработки. Длина заготовок меняется, что приводит к изменению времени их обработки на агрегатах. Статистический анализ показал, что время занятости стана и агрегата резки характеризуется экспоненциальным законом распределения с параметрами 120 шт./ч и 75 шт./ч соответственно.

Требуется оценить работу участка, если цена стана 1 млн руб., агрегата резки – 200000 руб., текущие затраты на обслуживание работающего и стоящего агрегата на стане 200 руб./ч и 120 руб./ч, а на агрегате резки – 25 руб./ч и 5 руб./ч соответственно. Затраты на содержание запаса металла 0,5 руб./шт.Í ч.

Рассмотреть влияние производительности агрегата резки на экономическую оценку работы участка.

23. Общие сведения о QSB

Рассмотреть вопросы:

— что такое QSB;

— как производится запуск QSB;

— что появляется на экране после запуска QSB;

— какие задачи решает линейное программирование;

— какой алгоритм реализует целочисленное программирование;

— какие задачи решает транспортная задача;

— для чего предназначена задача о назначениях;

— какие алгоритмы содержит сетевое моделирование ( NET )$

— что определяет сетевое моделирование (СРМ);

— что анализирует сетевое моделирование ( PERT );

— какие задачи решает динамическое программирование;

— что определяет управление запасами;

— что анализирует теория очередей (расписаний);

— какой метод использует имитационное моделирование и для чего;

— какой анализ обеспечивают вероятностные модели;

— что позволяют найти марковские модели;

— что вычисляет экстраполяция тенденций;

— определение типа принтера;

— для чего служит выход из QSB ;

— что нужно сделать для выбора пункта меню;

— при работе с какими пунктами на экране появляется функциональное меню;

24. Решение задач линейного программирования в QSB

В данном вопросе нужно:

— решить задачу линейного программирования с помощью QSB:

Для решения задачи:

1) Выберите опцию Линейное программирование в главном меню системы;

2) В функциональном меню выберите опцию 2 – Ввод новой задачи ;

3) Наберите имя задачи, длиной не более 6 символов, например prim 1, и нажмите Enter . При нажатии Enter без ввода имени автоматически происходит возврат в функциональное меню.

4) При ответах на вопросы переходить от предыдущей строки к последующей нужно по нажатию Enter, обратный переход – по нажатию клавиши Backspace. Если при вводе не было ошибок, то по окончании нажмите клавишу Spacebar (пробел); для корректировки введённой информации – любую другую клавишу;

5) После заполнения шаблона в функциональном меню выберите опцию 6 – Запись задачи на диск ;

6) Наберите имя файла (например, такое же, как и имя задачи, т. е. prim 1 ) и нажмите Enter . Для просмотра существующих файлов введите имя диска и нажмите Enter . При нажатии Enter без ввода имени файла осуществляется автоматический возврат в функциональное меню. Если файл с набранным именем уже существует, то требуется подтверждение о замене его содержимого (Y ) или об отмене записи задачи (N ): «Этот файл уже существует. Заменить его (Y / N)?» Введите Y или N и нажмите Enter .

7) В появившемся функциональном меню выберите опцию 3 – Чтение задачи с диска .

8) В появившемся запросе наберите имя файла prim 1 и нажмите Enter . Для просмотра существующих файлов введите имя диска и нажмите Enter . При нажатии Enter без ввода имени файла осуществляется автоматический возврат в функциональное меню.

9) В функциональном меню выберите опцию 4 – Просмотр / Печать исходных анных.

10) Убедитесь, что принтер готов к работе, введите символ Y (если распечатка не требуется, то — символ N ) и нажмите Enter . Если задача большая, то перемещение к следующей странице осуществляется нажатием клавиши /, к предыдущей странице – Esc . Для выхода в функциональное меню нажмите клавишу Spacebar после окончания просмотра.

11) В функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи.

12) В меню опции выберите опцию 4 – Решение и просмотр всех таблиц.

Деление на ноль в последней колонке симплексной таблицы обозначается символом Inf .

13) После получения оптимального решения в появившемся меню выберите опцию 2 – Просмотр решения и анализ чувствительности.

— внесите изменения в ограничения задачи и решите её:

Для этого:

1) В функциональном меню выберите опцию 7 – Изменение задачи;

2) В появившемся меню выберите опцию 2 – Изменение ограничения;

3) В ответ на запрос нажмите Enter, таким образом все изменения будут производиться в текущей задаче;

4) Наберите на клавиатуре номер ограничения (например, 3) и нажмите Enter .

5) После корректировки в появившемся меню выберите опцию 8 – Возврат в функциональное меню.

6) После решения задачи для окончания работы в функциональном меню выберите опцию – Выход из QSB .

25. Решение задач в QSB

План:

А) Решение задач целочисленного программирования

В данном пункте плана решить задачу целочисленного программирования с помощью QSB:

Показатели	Изделия	Наличие ресурса
спинка дивана	подлокотники кресла	Ножка стула
Цена, д. е./ед.	20	6	8	-
Древесина	10	5	3	206
Трудозатраты	2	7	4	100
Спрос	10	8	12	-
х1	х2	х3	bi

Для решения задачи:

1) Выберите опцию 2 – Целочисленное программирование в главном меню системы;

2) В функциональном меню выберите опцию 2 – Ввод новой задачи, введите название задачи (например, prim 1 ), ответьте на вопросы о задаче. По окончании нажмите клавишу Spacebar ;

3) В появившемся шаблоне переход к следующей позиции осуществляется нажатием Enter, обратный переход – клавишей Backspace. Если при вводе не было ошибок, то по окончании нажмите клавишу Spacebar; для корректировки введённой информации – любую другую клавишу;

4) После ответа на все вопросы нужно нажать клавишу Spacebar, и на экране появится шаблон ЭММ (целевая функция и ограничения) со свободными позициями для ввода коэффициентов;

5) После заполнения шаблона нажать клавишу Spacebar, и на экране появится функциональное меню;

6) В функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи;

7) В появившемся меню опции выбрать опцию 2 – Решение и просмотр всех итераций.

В последней строке таблиц выдаётся: либо текущее нецелочисленное значение целевой функции (ZL ), либо сообщение «ветвь не имеет допустимого решения»;

8) В меню способов представления полученного решения задачи выберите опцию 1 – Просмотр итогового решения.

Б) Решение транспортной задачи

В данном пункте плана решить задачу с помощью QSB:

Требуется составить такой план прикрепления трёх потребителей к трём поставщикам, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной. Тарифы перевозки единицы продукции от поставщиков к потребителям, объёмы предложения поставщиков и спроса потребителей заданы в таблице.

Поставщики	Тарифы перевозок	Предложение поставщиков
1	2	3
1	7	6	4	120
2	3	8	5	100
3	2	3	7	80
Спрос потребителей	90	90	120

Для решения задачи:

1) Выберите опцию 3 – Транспортная задача в главном меню системы;

3) После нажатия клавиши Spacebar на экране появится шаблон для ввода стоимости перевозок (или прибыли от перевозок);

4) После ввода нажмите клавишу Spacebar, и на экране появится функциональное меню;

5) В функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи;

6) В меню опции Решение выберите опцию 2 – Решение и просмотр всех таблиц;

7) В меню способов представления полученного решения выберите опцию 1 – Просмотр итогового решения.

26. Решение задач в QSB

План:

А) Решение задачи о назначениях

В данном пункте плана решить следующую задачу о назначениях с помощью QSB:

Канди- даты	Затраты времени по работам
1	2	3	4
1	3	7	5	8
2	2	4	4	5
3	4	7	2	8
4	9	7	3	8

Необходимо так распределить краны по объектам, чтобы суммарное время монтажа всех объектов было минимально.

Для решения задачи:

1) Выберите опцию 4 – Задача о назначениях в главном меню системы;

2) В функциональном меню выберите опцию 2 – Ввод новой задачи, введите название задачи (например, prim 1 ), ответьте на вопросы о задаче. Варианты ответов: целевая функция на минимум, 4 кандидата, 4 работы, используйте заданные обозначения кандидатов (О1, О2, …, Оп – от object ) и работ (Т1, Т2, …, Тп – от tasks ). По окончании нажмите клавишу Spacebar .

3) После заполнения шаблона нажмите Spacebar, и на экране появится функциональное меню.

4) В функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи.

5) В меню опции Решение выберите опцию 2 – решение и просмотр всех таблиц.

6) В меню способов представления поученного решения задачи выберите опцию 1 – Просмотр итогового решения.

Б) Решение сетевых задач ( NET )

В данном пункте плана решить следующую сетевую задачу с помощью QSB :

Пусть имеются пять пунктов, соединённых меду собой дорогами так, что из любого пункта можно проехать в любой другой пункт (табл.) Известно расстояние от пункта i до пункта j .

Из пункта i	Расстояние до пункта j
1	2	3	4	5
1	10	25	25	10
2	1	10	15	2
3	8	9	20	10
4	14	10	24	15
5	10	8	25	27

Требуется найти кратчайший маршрут от пункта 1 до любого другого пункта.

Для решения задачи:

1) Выберите опцию 5 – Сетевое моделирование ( NET ) в главном меню системы;

3) После заполнения шаблона нажмите клавишу Spacebar, и на экране появится функциональное меню;

4) В функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи;

5) В меню опции Решение выберите опцию 2 – Решение без просмотра по шагам;

6) Выйдите в функциональное меню и выберите опцию 7 – Изменение задачи;

7) Введите цифру 2, нажмите Enter и решите задачу о максимальном потоке.

27. Решение сетевых задач ( CPM )

В данном вопросе:

— решить сетевую задачу с помощью QSB:

Рассчитать параметры сети и оптимизировать сетевой график, если известны время выполнения (продолжительность) и стоимость работ в нормальных и экстремальных условиях (см. табл.).

Код работы	Время	Стоимость	Код работы	Время	Стоимость
норм.	крит.	норм.	норм.	норм.	крит.	норм.	норм.
1-2	5	3	2000	2500	4-5	5	5	3000	3000
1-3	4	4	3000	3000	4-7	4	3	3000	3700
1-4	8	7	4000	5000	5-6	9	6	700	1600
2-3	3	2	1200	1500	5-7	11	7	1500	2000
2-6	7	5	2000	3000	6-8	8	6	600	1500
3-5	3	3	8000	8000	7-8	10	9	1000	1050

Для решения задачи:

1) Выберите опцию 6 – Сетевое моделирование ( CPM ) в главном меню системы;

2) В функциональном меню выберите опцию 2 – Ввод новой задачи, введите название задачи (например, prim 1 ), ответьте на вопрос о количестве работ в задаче (12 работ). По окончании нажмите клавишу Spacebar ;

3) После заполнения шаблона нажмите клавишу Spacebar, на экране появится функциональное меню;

4) В функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи;

5) В меню опции Решение выберите опцию 2 – Решение с показом результатов и нажмите Enter ;

6) После возврата в меню Решение выберите опцию 4 – критический анализ. При выполнении критического анализа исходные данные будут уничтожены. Перед выполнением каждого шага анализа выдаётся запрос: «Сократить время, увеличив стоимость (Y / N )?». Каждый раз отвечайте Y, пока не появится сообщение: «Анализ выполнен».

— объяснить, для чего предусмотрена программа Сетевое моделирование ( PERT )

28. Решение задач в QSB

План:

А) Решение задач динамического программирования

В данном пункте плана решить сетевую задачу с помощью QSB:

Требуется выбрать путь от начального пункта до конечного с минимальным временем.

Для решения задачи:

— Выберите опцию 8 – Динамическое программирование в главном меню системы;

— В функциональном меню выберите опцию 2 – Ввод новой задачи, введите название задачи (например, prim 2 ), ответьте на вопрос о количестве этапов в задаче (4 этапа);

— После ввода данных в функциональном меню выберите опцию 2 – Решение с показом результатов;

Б) Решение вероятностных моделей

В данном пункте плана решить вероятностную модель с помощью QSB:

Выполнить анализ платёжной матрицы

Апостериорные вероятности (0,2; 0,3; 0,5).

Для анализа:

— Выберите опцию С – Вероятностные модели в главном меню системы;

— В функциональном меню выберите опцию2 – Ввод новой задачи, введите название задачи (например, prim 3 ), ответьте на вопросы;

— После ввода данных в функциональном меню выберите опцию 5 – Решение задачи;

— В результате решения должны получить значения следующих критериев: Maximin , Maximax , Minimax , ожидаемое значение, ожидаемое значение по принципу недостаточного основания, ожидаемые потери.

29. Решение задач линейного программирования в Excel

Разобрать вопросы:

— какая процедура используется в Excel для решения задач линейного программирования;

— что нужно сначала сделать для решения задачи;

— как можно пользоваться таблицей Excel для получения оптимального плана;

— какая процедура позволяет автоматизировать перебор различных вариантов допустимых планов;

— что нужно сделать для вызова процедуры Поиск решения;

— что нужно сделать, если в Сервисе отсутствует Поиск решения ;

— как проверить после выхода из Надстроек, установлен или нет Поиск решения;

— что нужно сделать, если в Надстройках нет Поиска решения;

— что появляется на экране при входе в Поиск решения;

— какое поле должно первоначально являться активным;

— если хотим максимизировать выручку, то в каком положении должен быть переключатель Равной ;

— если бы в задаче требовалось найти решение для заранее заданного значения целевой ячейки, то, в какое положение следовало бы установить переключатель Равной ;

— что нужно сделать после щелчка в поле Изменяя ячейки ;

— как следует вводить ячейки плана, если они оказываются несмежными;

— как разделяются адреса несмежных ячеек в поле Изменяя ячейки ;

— какую кнопку нужно нажать для ввода данных в окно Ограничения ;

— какое диалоговое окно возникает при этом на экране;

— что можно вводить в поле Ссылка на ячейку ;

— что можно вводить в поле Ограничение ;

— какую кнопку нужно нажать, если потребуются дополнительные ограничения;

— в каком диалоговом окне можно увидеть результаты проведённых действий;

— для чего нужна кнопка Параметры ;

— чему соответствует флажок Неотрицательные значения;

— что позволяет сделать флажок Линейная модель ;

— что нужно сделать после настройки параметров поиска решения;

— в каком окне можно прочесть итоговое сообщение;

— что можно сделать после прочтения итогового сообщения;

— что нужно сделать для получения Отчётов ;

— какие типы отчётов предусмотрены;

— что появится на листе Excel, если после прочтения итогового сообщения нажать ОК;

— где появляются листы с отчётами;

— из скольких блоков данных состоит Отчёт по результатам ;

— какие блоки представлены в Отчёте по устойчивости ;

— какие блоки в Отчёте по пределам.

30. Решение задач в Excel

План:

А) Решение задач целочисленного программирования

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— что нужно сделать для ввода требований целочисленности;

— какое окно при этом возникнет на экране;

— что нужно сделать в этом окне;

— какое окно нужно вызвать, чтобы дать установку на показ результатов всех итераций;

— что появится на экране после того, как дана такая установка;

— какие действия нужно повторять до появления диалогового окна Результат поиска решения, чтобы при этом сохранялись результаты всех итераций;

— какой отчёт возможен для целочисленных задач;

— через какую команду можно получить сводный отчёт по всем итерациям;

— что нужно выбрать в диалоговом окне Отчёт по сценарию ;

— что появится в книге в результате данного выбора.

Б) Решение задач нелинейного программирования

В данном пункте плана разобрать следующие вопросы:

— что нужно сделать после вызова процедуры Поиск решения ;

— какой флажок не нужно ставить в диалоговом окне Параметры поиска;

— что появится на экране после команды Выполнить.

Требования к оформлению курсового проекта

Общие требования

Курсовая работа должна быть отпечатана на ПЭВМ с использованием одного из текстовых редакторов, с соблюдением 1,5 интервала, без произвольного сокращения слов. Оформляется на одной стороне листа белой бумаги формата А4 (297Í210 мм) и брошюруется в специальные папки или оформляется переплётом. Для изображения таблиц и рисунков допускается использование листов формата А3 (297Í420 мм), а также альбомной ориентации листов формата А4.

Поля должны оставляться по всем четырём сторонам листа. Размер левого поля – 35 мм, правого – 10 мм, размер верхнего и нижнего полей – 20 мм. Величина абзацного отступа (красной строки) равна 10 мм. Заголовки глав и параграфов отделяются от текста сверху и снизу одной пустой строкой.

При оформлении работы допустимо использовать только шрифт Times New Roman. Шрифт должен быть чётким, цвет шрифта – чёрный. Заголовки глав должны быть оформлены с использованием шрифта размера 16 в полужирном начертании. При оформлении основного текста должен использоваться шрифт размера 14 в основном начертании, термины могут быть выделены курсивом.

При первом упоминании в тексте иностранных фирм или малоизвестных фамилий, их необходимо привести как в русской транскрипции, та и на языке оригинала (в скобках).

Каждый раздел курсовой работы должен начинаться с нового листа.

Ориентировочный объём курсовой работы составляет 25-30 листов (с учётом приложений).

Рубрикация курсовой работы, нумерация страниц, содержание (оглавление)

Текст разделов (глав) работы может подразделяться на подразделы (параграфы) и пункты.

Разделы (главы) должны быть пронумерованы арабскими цифрами в пределах всей работы. После номера раздела (главы) ставится точка.

Подразделы (параграфы) следует нумеровать арабскими цифрами в пределах каждого раздела (главы). Номер подраздела (параграфа) должен состоять из номера раздела (главы) и номера подраздела (параграфа), разделённых точкой. В конце номера подраздела также ставят точку.

Пункты нумеруются арабскими цифрами в пределах каждого подраздела (параграфа). Номер пункта должен состоять из номера раздела (главы), номера подраздела (параграфа) и номера пункта, разделённых точками. В конце номера пункта ставят точку.

Расстояние между заголовками и последующим текстом должно быть равно трём межстрочным интервалам.

Нумерация страниц курсовой работы должна быть сквозной. Номер страницы должен указываться в правом верхнем углу листа. На странице 1 (титульный лист) номер страницы не должен указываться. Для нумерации должны использоваться арабские цифры.

Если в курсовой работе содержатся рисунки и таблицы, которые располагаются на отдельных страницах, их необходимо включать в общую нумерацию.

Содержание (оглавление) должно включать перечень заголовков разделов (глав), подразделов (параграфов) и приложений с указанием номеров страниц, с которых начинается их изложение.

Все иллюстрации, схемы, чертежи и пр. именуются рисунками. Рисунки нумеруются последовательно в пределах раздела (главы) арабскими цифрами. Номер рисунка должен состоять из номера раздела и порядкового номера рисунка, разделённых точкой. При ссылке на рисунок следует указывать его полный номер.

Рисунки размещаются сразу после ссылки на них в тексте курсовой работы. Каждый рисунок должен сопровождаться подписью. Подпись печатают под рисунком в одну строчку с номером. Надписи на рисунках выполняют единообразно по размеру на протяжении всей работы.

Цифровой материал, помещенный в курсовую работу, рекомендуется оформлять в виде таблиц. Каждая таблица должна иметь содержательный заголовок. Заголовок помещают под словом «Таблица» и заголовок начинают с прописной буквы. Подчёркивать заголовок не следует. Таблицу следует помещать после первого упоминания о ней в тексте. Переноса таблицы на следующую страницу следует избегать.

Таблицы должны быть пронумерованы в пределах раздела (главы) арабскими цифрами. Над правым верхним углом таблицы помещают надпись «Таблица» с указанием порядкового номера таблицы. Номер таблицы состоит из номера раздела и порядкового номера таблицы, разделённых точкой. При ссылке на таблицу указывают её полный номер. Если в работе имеется только одна таблица, нумеровать её не следует.

Оформление списка литературы

Список литературы должен быть оформлен в соответствии с ГОСТ 7.1-84

Оформление приложения

Приложения размещаются непосредственно перед списком литературы. Приложения нумеруются арабскими цифрами по порядку, начиная с 1. Каждое приложение должно иметь название. Каждое приложение начинается с нового листа. Если в работе имеются два или более приложений, их необходимо пронумеровать последовательно арабскими цифрами без знака «№».

Порядок защиты курсового проекта

После завершения работы над курсовым проектом студент предоставляет работу научному руководителю на рецензирование. В рамках рецензирования делается вывод о готовности студента к защите курсовой работы. Критериями оценки курсовой работы являются:

· степень разработки темы;

· полнота охвата научной литературы;

· творческий подход к написанию курсовой работы;

· правильность и научная обоснованность выводов;

· аккуратное и правильное оформление курсовой работы.

Рецензия на курсовую работу включает:

· заключение о соответствии курсовой работы заявленной теме;

· оценку качества выполнения курсовой работы;

· оценку полноты разработки поставленных вопросов, теоретической и практической значимости курсовой работы;

Шаблон рецензии представлен в приложении 5.

При выявлении серьёзных отклонений от предъявленных требований к курсовой работе, студенту предлагается устранить недостатки или выбрать другую тему работы.

К защите курсовая работа представляется в сброшюрованном (сшитом) виде. Последовательность брошюровки материала: обложка, задание на курсовое проектирование, титульный лист, рецензия, оглавление, введение, основная часть, заключение, список литературы, приложения. Брошюровку курсовой работы может заменить файловая папка.

В рамках защиты курсовой работы студент выступает с докладом, в котором освещает рассмотренные им вопросы, основные теоретические сведения по ним, а также представляет решённые задачи. Продолжительность доклада 5-10 мин.

Защищённые работы студентам не возвращаются; данные работы хранятся в колледже.

Курсовая работа оценивается по пятибальной системе. Студенты, не сдавшие курсовые работы, или получившие на защите неудовлетворительные оценки, не допускаются к очередным экзаменам. Студентам, получившим неудовлетворительную оценку по курсовой работе, предоставляется право выбора новой темы курсовой работы или, по решению преподавателя, доработка прежней темы и определяется новый срок для её выполнения.

Список литературы для написания курсовой работы

1. «Алгоритмы: построение и анализ» / Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. – М: Наука, 1987

2. «Алгоритмы решения экономических задач» / Романовский И. В. – М, 1977

3. «Высшая математика. Математическое программирование» / Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. – Минск: Высшая школа, 1999

4. «Задачи и методы стохастического программирования» / Юдин Д. Б. – М, 1979

5. «Исследование операций в экономике»: Учебное пособие для вузов / Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н.: под ред. проф. Кремера Н. Ш. – М.: ЮНИТИ, 2004

6. «Историко-математические исследования» / Юшкевич А. П. – М. 1948

7. «Линейное и нелинейное программирование» под общей редакцией профессора Ляшенко И. Н., Киев – 1975

8. «Математические методы и модели в коммерческой деятельности»: Учебник, 2-е изд., перераб. и дополн. / Фомин Г. П. – М: Финансы и статистика, 2005

9. «Математические методы и модели в управлении» / Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г. – М: Дело, 2002

10. «Математические методы и модели для менеджмента» / Глухов В. В., Медников М. Б., Коробко С. Д. Второе издание, испр. и дополн., СПб: издательство «Лань», 2005

11. «Математические методы и модели исследования операций»: Учебное пособие / Кутузов А. Л. – издательство СПб ГПУ, 2005

12. «Математические методы моделирования экономических систем» / Бережная Е. В., Бережной В. И. Учебное пособие, 2-е изд., перераб. и дополн. – М: Финансы и статистика, 2005

13. «Математические методы: Учебник» / Партика Т. Л., Попов И. И. – М: ФОРУМ: ИНФРА, 2005

14. «Математическое программирование» / Костевич Л., издательство «Новое знание», 2003

15. «Методы стохастического программирования» / Ермольев Ю. М. – М. 1976

16. «Microsoft Excel в подлиннике» / Бабак В. Ф. – Бишкек, ИИМОП, 2000

17. «Microsoft Excel 2000 в подлиннике» / БХВ – Санкт-Петербург, 1999

18. «Microsoft Office 97» / Эд Ботт, БИНОМ – Москва, 1998

19. «Основы математики и её приложение в экономическом образовании» / Красс М. С., Чупрынов Б. П., Издательство «Демо», Москва — 2002

20. «Прикладные задачи динамического программирования» / Беллман Р., Дрейфус С. – М: Наука, 1965

21. «Применение программы “Поиск решения ” Microsoft Excel для решения задач по курсу “Детали машин и основы конструирования”» / Шубин С. И. – Хабаровск; издательство ДВГУПС, 2005

22 «Пути и лабиринты: очерки из истории математики» / Даан-Дальмедино – М: 1988

23 «Стохастические модели и методы в экономическом планировании» / рмольев Ю. М., Ястремский А. И. – М: 1979

24. «Франсуа Кенэ» / Дроздов В. В. – М: Экономика, 1988

25. «Экономико-математические методы и модели», Омск, 2005

26. «Экономико-математические модели и методы: сборник научных трудов» / Воронеж: Издательство ВГУ, 1989

27. «Экономико-математическое моделирование: практическое пособие по решению задач» / Мадера А. Г. – М: ИЭУП, 2004

28. «Справка по QSB» / Их Лонг Ченг (Yih-Long Chang) и Роберт С. Салливан (Robert S. Sullivan), 1990

29. «Линейное программирование» / презентация, Мощевикин А. Л., 2004 (http://clims/Karelia.ru/~alexmou/tpr/tpr_03_integer_programming.ppt);

30. «Развитие алгоритмов внутренних точек и их приложение к системе неравенств» / диссертация, Филатов А. Ю., 2001 (http://polnolunie.baikal.ru/me/glava0.doc)

31. «Экономико-математическое моделирование»: Учебное пособие / Сидин Э. Ф., Электронный вариант (http://cityref/ru/referats/Konse/zip);

32. Кусмагамбетов С. М. (http://www.iomas.vsan.ru/uch_prov/el_uzdan/solver/lp_excel.htm)

33. Интернет сайты: www.5ka.ru; www.referat.na5.ru: www.referat.ru; www.bankreferatov.ru

Приложение 1

ГОУ СПО «Омский государственный промышленно-экономический колледж»

Отделение информационных технологий

Задание для курсовой работы

студента _______________________

(ФИО, группа)

1. Тема курсовой работы: «Комбинаторные задачи»

утверждена на заседании цикловой комиссии

протокол №______от «___»____________200__г.

Срок сдачи курсового проекта________________

Перечень вопросов, подлежащих исследованию или разработке:

а) Актуальность и значимость темы

б) Задача о назначениях

в) Венгерский метод

г) Другие алгоритмы решения задачи о назначениях

Руководитель курсовой работы___________________Подпись, дата

Зав. отделением ___________________Подпись, дата

Задание принял к исполнению ___________________Подпись, дата

Приложение 2

План-график выполнения курсовой работы

Студент________________________________________________________________

(ФИО, группа)

Тема курсовой работы__________________________________________________

_______________________________________________________________________

утверждена на заседании цикловой комиссии от ____________ протокол №______

Этапы

работы

Сроки

выполнения

Вид

отчётности

Отметка о

выполнении

Дата__________________ Подпись студента_______________

Дата__________________ Подпись руководителя___________

Приложение 3

Федеральное государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Омский промышленно-экономический колледж»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математические методы»

Тема:_________________________________________________

Выполнил:

_____________________________

(Фамилия и инициалы студента,

курс, группа )

Руководитель

____________________________

(Фамилия и инициалы преподавателя )

Оценка:________________

Дата защиты:___________

2008

Приложение 4

Содержание

Введение 3

Обзор литературы 5

1. Задача о назначениях 8

2. Венгерский метод 10

2.1 Идея венгерского метода 10

2.2 Решение задач венгерским методом 13

2.2.1 Решение задач на минимум затрат 13

2.2.2 Решение задач на максимум прибыли 16

2.2.3 Решение неквадратной матрицы 19

Заключение 21

Список используемой литературы 23

Приложение 5

Федеральное государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Омский промышленно-экономический колледж»

РЕЦЕНЗИЯ №____

На курсовую работу

студента______________________________________________гр._______________

________________________________________________________по

_______________________________________________________________________

наименование дисциплины

на тему________________________________________________________________

«_____»__________________20____г.

Рецензент_________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Скачать реферат

еще рефераты

Еще работы по остальным рефератам

Реферат по остальным рефератам

Методические рекомендации к лабораторной работе по курсу «Средства и методы управления качеством» для студентов специальности 220501. 65 «Управление качеством» Бийск

16 Ноября 2015

Реферат по остальным рефератам

Методические рекомендации по организации самостоятельной работы

16 Ноября 2015

Реферат по остальным рефератам

Методические рекомендации для педагогов и специалистов образовательных учреждений

16 Ноября 2015

Реферат по остальным рефератам

Методические рекомендации по расчету технологических карт и оптимизации технологических уровней растениеводства на основе применения информационных технологий киров 2008

16 Ноября 2015