Реферат: работа студента 417 группы Башевого К. В

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова

Физический факультет

Кафедра Физики Полимеров и Кристаллов

Курсовая работа студента 417 группы Башевого К.В.

Компьютерное моделирование процесса ультраметрической диффузии

научные руководители:

доцент Иванов В.А.

д.ф.-м.н. Аветисов В.А.

Заведующий кафедрой:

профессор Хохлов А.Р.

Москва, 2006

1. Введение

1.1. Актуальность проблемы

Ультраметрическая диффузия есть модельное описание динамики системы, энергетические состояния которой представлены многомерной сильно пересеченной поверхностью с большим числом локальных минимумов и седловых точек. В современной литературе такие системы часто называют «сложными системами», а соответствующие энергетические поверхности – многомерными сильно пересеченными энергетическими ландшафтами.

Развитие теоретических и компьютерных методов исследования динамики на сильно пересеченных ландшафтах стало особенно актуальным после того, как язык энергетических ландшафтов стал использоваться в изучении динамических и релаксационных процессов в неупорядоченных конденсированных средах, макромолекулярных структурах и биополимерах.

Сложность и трудоемкость подобных исследований обусловлена многомерностью и чрезвычайной изрезанностью энергетического ландшафта, что затрудняет применение вычислительных средств и, в конечном итоге, приводит к не прозрачным результатам. Использование теоретических моделей, в частности, модели ульраметрической диффузии, дает только качественную оценку поведения сложной системы, однако такая оценка служит естественным ориентиром в детальных исследованиях с применением методов компьютерного моделирования.

К настоящему времени показано, что модели ультраметрической диффузии могут быть использованы при описании конформационной динамики белковой макромолекулы и могут оказаться полезными для объяснения некоторых экспериментально наблюдаемых явлений, в частности, кинетики связывания СО миоглобином и явлении аномальной спектральной диффузии в белках в широкой области температур 0.1-300 К.

1.2. Цель работы

Целью курсовой работы являлась проверка теоретических моделей ультраметрических случайных процессов двух типов с помощью компьютерного эксперимента. В моделях первого типа, «частица» случайно блуждает в ультраметрическом пространстве, а время является обычной вещественной переменной. Такой случайный процесс называется ультраметрической диффузией. В моделях второго типа, «частица» случайно блуждает в пространстве с обычной (евклидовой) метрикой, а ультраметричность отражена во временной последовательности, на которой происходят случайные изменения положения «частицы». Такая временная последовательность вводится с помощью временных интервалов между моментами изменения случайной величины, длительность и статистика появления которых непосредственно связана с ультраметрической диффузией.

1.3. Основы теоретической модели ультраметрической диффузии

Теоретическая модель, которая исследуется в настоящей работе, была разработана научной группой В.А.Аветисова и состоит из двух взаимосвязанных частей. Первая часть – это случайное блуждание на прямой с дискретно заданными положениями блуждающей частицы. От обычной одномерной диффузии наша модель отличается тем, что смещение частицы происходит в моменты времени (тоже дискретные) разделенные различными временными промежутками. Вторая часть данной модели представляет собой генератор тех самых моментов времени, в которые осуществляется случайное смещение блуждающей частицы. В эти моменты времени с равной вероятностью осуществляется случайное смещение блуждающей частицы на единичное расстояние в положительном или отрицательном направлении оси x .

Проводилось моделирование двух вариантов одномерного случайного блуждания с ультраметричной временной последовательностью: «модель с задержками» и «модель активных бассейнов». В модели с задержками, временные интервалы между двумя последовательными смещениями блуждающей частицы определялись временами ожидания и их вероятностным распределением взятыми для «прыжков» другой, виртуальной «частицы», блуждающей в ультраметрическом пространстве.

В модели активных бассейнов изменения положения блуждающей частицы происходили только в те моменты времени, когда виртуальная «частица», блуждающая на ультраметрической решетке, попадала в определенные, наперед «помеченные» узлы.

2. Обзор литературы

Понятие ультраметрического пространства было введено в начале XX-го века вместе с понятием метрического пространства. Дело в том, что наряду с вещественными числами, в математике были уже введены и, так называемые, р-адические числа. Это было сделано Куртом Хенселем (Kurt Hensel) в1897, и именно р-адические числа требовали введения специального ультраметрического пространства.

В физической литературе термин «ультраметричность» появился относительно недавно, в 1979 году (Parisi, 1980), в связи с описанием фазовых переходов в неупорядоченных конденсированных системах в терминах спонтанного нарушения симметрии. Важным толчком к развитию таких представлений стало исследование спиновых стекол, а открытие ультраметрической структуры состояний спинового стекла было неожиданностью. Спиновые стекла оказались наиболее богатой моделью для исследований в этой области. Эти системы обладают каскадом фазовых переходов (и, следовательно, иерархическим типом организации при низких температурах), который никогда ранее в физике не наблюдался.

Одна из самых современных моделей ультраметрической диффузии разработана и описана в статье В.А. Аветисова [1]. Она позволила наиболее полно исследовать класс точно решаемых задач ультраметрической диффузии и использовать такие задачи для описания реальной кинетики связывания CO миоглобином. Более ранние исследования задачи об ультраметрической диффузии были ограничены лишь несколькими частными моделями иерархического типа. Они проводились в середине восьмидесятых годов и опубликованы в работах Огиельского и Штейна [7], Паладина [8], Гроссмана [4]. Следует также отметить работу Киркпатрика [5], в которой был разработан, так называемый, «метод вынужденного спуска», позволявший достаточно быстро «отыскивать нужное состояние» на сложном энергетическом ландшафте. Все эти работы дали толчок также и в решении ряда проблем биологии и химии.

3. Основная часть

3.1. Постановка задачи

Наша основная задача состоит в следующем. Пусть задана иерархия активационных барьеров с заданной зависимостью высоты барьеров от уровня иерархии. Также, задаем масштабный параметр для высоты барьеров α и выбираем модель (с задержками или случайных бассейнов). Требуется промоделировать процесс случайного блуждания с временными задержками и определить следующие характеристики процесса: зависимости среднего квадрата смещения частицы от времени при статистике временных задержек заданной генератором ультраметрической диффузии выбранного типа, распределение вероятности преодоления барьера i-того уровня в ультраметрическом генераторе, распределение времен задержек между моментами смещения блуждающей частицы. Также, проверить правильность поведения модели по сравнению с предсказаниями теории и выявить основные закономерности для такого случайного процесса.

3.2. Теория моделирования ультраметрических процессов

Для реализации вышеупомянутой второй части нашей модели, прежде всего, был построен генератор ультраметрического случайного блуждания. Он задается ультраметрической решеткой с иерархически вложенными друг в друга бассейнами состояний и матрицей вероятностей переходов между соответствующими бассейнами. На рис.1 показан отрезок прямой, на котором точками показаны дискретные состояния, в которых может находиться система. Эти состояния представляют собой конечные узлы некоторого древообразного графа с параметром ветвления p (на рисунке 1 этот параметр выбран равным p =2 ). Чтобы попасть из одной состояния в другое, система должна «подняться» сначала до той точки ветвления, откуда возможен «спуск» в новое состояние, а потом спуститься именно в одно из состояний, достижимых после преодоления точки ветвления. Можно переформулировать описание такого процесса на языке энергетических барьеров. Под состояниями системы понимаются квазиравновесные конфигурации, отвечающие минимумам энергетического ландшафта сложной системы. Каждое состояние отделено от любого другого состояния некоторым энергетическим барьером. Барьеры представляют собой иерархическую систему. Обозначим уровень иерархии барьера g, его высоту Hγ , а максимальный уровень иерархии r =γ max (см. рис.1). Сопоставим каждому состоянию индекс i , i =1,…, pγ . Множество состояний, каждому из которых можно приписать такой индекс i , назовем бассейном Bγ . Поделим Bγ на p взаимно непересекающихся подмножеств (бассейнов) Bγ -1 ( a 1 ) , каждый из которых включает pγ -1 состояний, . Вероятность переходов, связанных с преодолением барьера Hγ , обозначим через qγ . Поделим каждый бассейн Bγ -1 ( a 1 ) на p меньших бассейнов Bγ -2 ( a 1 a 2 ) , a2 =1, …, p , включающих в себя pγ -2 состояний, . Величину активационных барьеров между различными бассейнами уровня γ – 1 примем равной H γ -1 . При этом вероятность перехода между любыми двумя состояниями и из различных бассейнов Bγ -2 есть q γ -1 (зависит от H γ -1 ) для a 1 = a | 1 , и q γ (зависит от H γ ) для a 1 ≠ a | 1 .Данная процедура деления бассейнов продолжается до уровня, на котором бассейны B 1 ( a 1 a 2 … aγ ) включают по одному состоянию.

Пусть в момент времени t система находится в точке x (определенный узел ультраметрической решетки). Случайным образом выбирается уровень иерархии g и с вероятностью реализуется переход через барьер g-ого уровня из точки в соответствующий бассейн состояний. Затем равновероятно выбирается любая точка , принадлежащая данному бассейну. Эта точка считается той точкой, в которую осуществился переход из начальной точки за единицу времени.

Моделирование производилось для систем с r = γ max =20 уровнями иерархии и 220 числом состояний. Были исследованы три основных типа генераторов ультраметрической диффузии (три типа зависимости высоты барьеров от уровня иерархии): линейный, логарифмический и экспоненциальный.

Далее, проводилось моделирование двух вариантов одномерного случайного блуждания с ультраметричной временной последовательностью: модель с задержками и модель активных бассейнов. В модели с задержками временные интервалы определялись временами ожидания и статистикой прыжков между бассейнами состояний при ультраметрической диффузии. В данной задаче время задержки определялось какpγ .

В модели активных бассейнов изменения случайной величины происходили только в те моменты времени, когда «изображающая точка», блуждающая на ультраметрической решетке, попадала в определенные, наперед заданные узлы. В данной задаче эти узлы случайным образом распределялись по одному внутри каждого бассейна (одна точка в бассейн B 1 , следующая – вB 2 и т.д.).

3.3. Задача спектральной диффузии и ее приложения

Спектральная диффузия используется для исследования свойств белков и других высокомолекулярных соединений и заключается в следующем. Пусть зафиксирован спектр поглощения молекулы белка (рис. 6а). Интенсивность той или иной частоты определяется наличием соответствующей конформации молекулы. Затем с помощью лазерного импульса некоторая конформация удаляется. Поэтому в спектре образуется провал в окрестности некоторой частоты, который называется дыркой (рис. 6б). Однако со временем эта дырка начинает расплываться, постепенно возвращаясь в первоначальное состояние. В эксперименте (в том числе и в компьютерном) исследуется величина дисперсии такого расплывания. При этом в эксперименте наблюдается аномальный закон дисперсии, что нельзя объяснить в терминах обычной диффузии.

Задача температурного цикла заключается наблюдении сразу за двумя дырками, одна из которых замораживается на некоторое время. В некоторый момент времени температура резко повышается и в этот же момент выжигается вторая дырка. Особенностью этой задачи является характерная задержка в эволюции дисперсии после повышения температуры, которая невозможна при описании процессом обычной диффузии.

Задача старения заключается в том, что в течение определенного времени ультраметрический процесс идет, но частица не двигается. По истечении этого времени запускается и второй процесс. При увеличении времени задержки на одинаковую величину в эксперименте наблюдались эквидистантные параллельные прямые.

3.4. Основные результаты

Характеристики случайных процессов, полученные в ходе компьютерного эксперимента, подтверждают поведение, предсказываемое аналитическими решениями и экспериментальными данными, изучен процесс выхода системы на различные режимы поведения в широком диапазоне изменения параметра высоты барьеровα .

1) На рис. 2 представлены графики зависимости среднего квадрата смещения частицы от времени в двойном логарифмическом масштабе для модели активных бассейнов. Наклон прямых в рабочем режиме лежит в пределах от 0,25 до 0,30. Этот результат наблюдается в многочисленных экспериментах по спектральной диффузии. Таким образом, теория ультраметрической диффузии дает правильное поведение системы в широком диапазоне температур на основании экспериментальных данных.

2) На рис. 3а показано распределение времен возврата частицы в начальную точку. Это решение так называемой задачи о распределении времен первого возврата. Аналогичные зависимости, которые показаны на рис. 3б, получены аналитически.

3) Разработанная в данной работе программа позволяет моделировать и изучать различные режимы, реализованные в исследованиях аномальной спектральной диффузии – режимы температурного цикла и старения. На рис. 4 показаны результаты компьютерного моделирования и экспериментальные данные в исследованиях по старению. Эквидистантность и параллельность прямых на начальном этапе и их дальнейшая сходимость позволяют говорить о том, что данные компьютерного эксперимента подтверждают предсказания теории ультраметрической диффузии и соответствуют эксперименту.

4) Результаты моделирования режима температурного цикла представлены на рис. 5. «Замораживание» роста дисперсии на начальной стадии аномальной спектральной диффузии является характерной особенностью при режиме температурного цикла. Именно такое поведение наблюдается и в эксперименте. Это наблюдение позволяет предположить, что ультраметрическая диффузия является более адекватной моделью динамики белковой макромолекулы, чем модель, основанная на обычной диффузии.

Из экспериментальных данных для модели с задержками следует зависимость между коэффициентом наклона прямолинейного участка распределения (Coef ) от значения параметра α :

Подписи к рисункам:

Рис. 1. Схематическое изображение иерархического «дерева» состояний системы (точки на прямой) и барьеров между ними, определение бассейнов состояний и вероятностей переходов между ними.

Рис. 2. Графики зависимости среднего квадрата смещения частицы от времени в двойном логарифмическом масштабе

а б

Рис. 3. Распределение времен возврата: результаты моделирования (N=20) (а) и аналитическое решение (б)

а б

Рис. 4. Результаты моделирования процесса старения (а) и данные эксперимента (б)

Рис. 5. Результаты моделирования процесса температурного цикла

4. Выводы

1. В курсовой работе, согласно поставленной цели и выбранным задачам, разработан метод компьютерного моделирования процесса ультраметрической диффузии.

2. Проведено моделирование на трех основных типах генераторов ультраметрической диффузии: линейном, логарифмическом и экспоненциальном, использованы две модели одномерного случайного блуждания с ультраметричной временной последовательностью: модель с задержками и модель активных бассейнов.

3. Процесс моделирования проводился в рамках требований задач спектральной диффузии (задачи температурного цикла, старения, развития дисперсии), результаты сравнивались с аналитическими решениями и экспериментальными данными.

4. Полученные результаты дают правильное поведение системы в рамках предсказаний теории и соответствуют экспериментальным данным.

Приведенные выше результаты позволяют сделать о том, что в работе было успешно проведено компьютерное моделирование процесса ультраметрической диффузии, которое позволяет говорить о верности теоретической модели в ее приложении к задачам спектральной диффузии.

5. Литература

[1] V.A. Avetisov, A.H. Bikulov, S.V. Kozyrev, V.A. Osipov. “p-adic models of ultrametric diffusion constrained by hierarchical energy landscapes”, J. Phys. A:Math. Gen. 35 (2001) p.177

[2] R. Rammal, G. Toulouse, M.A. Virasoro, “Ultrametricity for physicists”, Reviews of Modern Physics, Vol. 58, No. 3, July 1986

[3] Alexander, S., J. Bernasconi, W. R. Schneider, and R. Orbach, 1981, Rev. Mod. Phys. 53, 175.

[4] Grossman, S., F. Wegner, and K. H. Hoffmann, 1985, J. Phys. Lett. (Paris) 46, L575.

[5] Kirkpatrick, S., C. D. Gelatt, Jr., and M. P. Vecchi, 1983, Science 220, 671.

[6] Mezard, M., G. Parisi, and M. A. Virasoro, 1985, J. Phys. (Paris) Lett. 46, L217.

[7] Ogielski, A. T., and D. L. Stein, 1985, Phys. Rev. Lett., 55, 1634.

[8] Paladin, G., M. Mezard, and C. De Dominicis, 1985, J. Phys. (Paris) Lett. 46, L985.