Реферат: Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель содержание

УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ


СОДЕРЖАНИЕ



ВВЕДЕНИЕ 2

1. Уравнение в полных дифференциалах. 3

2. Интегрирующий множитель. 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 8

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 10



ВВЕДЕНИЕ


Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины.

Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и, особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных1.

Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).


^ 1. Уравнение в полных дифференциалах.

Пусть уравнение вида f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая дифференцируемая функция F(t, x), что


dF(t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt    ((t, x) О D(f) = D(g)).


Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:


(t, x) = C    (t, x  D1).


Доказательство.  Пусть функции t = (s), x = (s) определены на некотором промежутке J  R. Тот факт, что пара (, ) есть решение уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C эквивалентен тождеству


[f(t, x)dx + g(t, x)dt]|t = , dt = ds, x = , dx = ds 0,


которое, в свою очередь эквивалентно тождеству


[d(t, x)]|t = , dt = ds, x = , dx = ds 0.


Последнее в точности означает, что

d[(t, x)]|t = , x =   0  и  ,   D1,

или, что, то же,

[(s), (s)]  C  и  ,   D1.


Таким образом, f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C

 (t, x) = C    (t, x  D1).

Для уравнения с разделяющимися переменными f(x)dx – g(t)dt = 0 существует функция (t, x) = F(x) – G(t), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах.

Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах2. Пусть в уравнении


f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0


функции fi(x) = fi(x1, ..., xn) непрерывны вместе со своими частными производными fi/xk (i  k) на декартовом произведении интервалов J1 × J2×... × Jn = D.

Тогда левая часть уравнения f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0 будет полным дифференциалом некоторой функции (x) в том и только том случае, если

i



xk

=

k



xi

   (i, k = 1, 2, ..., n;  i  k; x  D).


При этом функция  находится по формуле

(x) =

n

k = 1



xk

x0k

f(x1, ..., xk–1, , x0k+1, ..., x0n)  d


(x0k  Jk — произвольные фиксированные точки), а полный интеграл уравнения f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0 можно записать в виде:


(x) = C    (x  D1).


В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными


f1(x1)dx1 + f2(x2)dx2 + ... + fn(xn)dxn = 0,


если функции fk: Jk  R непрерывны; полный интеграл имеет вид


F1(x1) + F2(x2) + ... + Fn(xn) = 0,


где Fk –первообразная fk (k = 1, ..., n).

^ 2. Интегрирующий множитель.

Итак, если для уравнения f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C условие полного дифференциала (необходимый признак уравнения в полных дифференциалах:

f



t

 = 

g



x

   ((t, x)  J1×J2).


не выполнено, то иногда удается найти функцию  = (t, x), такую, что для уравнения

 · f(t, x)dx +  · g(t, x)dt = 0


оно уже выполнено. В этом случае функция  называется интегрирующим множителем. Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t.

Если, например, считать, что  зависит только от x, то


 · f



t

= 

f



t

=

 · g



x

=  + 

g



x

,


и аналог условия

f



t

 = 

g



x

   ((t, x)  J1×J2).



для  · f(t, x)dx +  · g(t, x)dt = 0 выглядит так:


 =









f



t

 – 

g



x





/

g





· .


Если выражение в квадратных скобках не зависит от t, то

 =









f



t

 – 

g



x





/

g





· .


есть линейное однородное уравнение относительно  = (x); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для f(t, x)dx + g(t,x)dt = 0, F(t, x) = C .

Аналогично ищется интегрирующий множитель, зависящий только от t.

Найдем интегрирующий множитель  = (x) для уравнения


(3t2/x2 – 1)dt + (3 – 2t/x)dx = 0




(оно получено почленным делением уравнения (3t2 – x2)dt + (3x2 – 2tx)dx = 0 на x2, поэтому мы заранее знаем, что интегрирующий множитель  = x2 существует). Выпишем для уравнения (3t2/x2 – 1)dt + (3 – 2t/x)dx = 0, умноженного почленно на , условие полного дифференциала:


 · (3 – 2t/x)



t

=  ·





–

2



x





;




 · (3t2/x2 – 1)



x

= (3t2/x2 – 1) +  ·





–

6t2



x3





;

,

 =









–

2



x

+

6t2



x3





/

(3t2/x2 – 1)





·  =

2



x

.



Поскольку выражение в квадратных скобках оказалось не зависящим от t, искомый интегрирующий множитель существует и находится из уравнения:







=

2dx



x

;    = Cx2.


В частности, мы получили уже известный нам заранее интегрирующий множитель  = x2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений3.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.

Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Если в дифференциальном уравнении




функции М (х, у) и N (x, y) удовлетворяют условию такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Смысл названия объясняется тем, что при этом существует функция U (x, y) такая, что




Тогда из уравнения



следует, что




что является общим интегралом исходного уравнения. Таким образом, задача сводится к отысканию функции U. Ее можно найти в виде:



любые числа, входящие в область определения функций М и N, а – произвольная постоянная.

Интегрирующий множитель, множитель, после умножения на который левая часть дифференциального уравнения



обращается в полный дифференциал (дифференциальное исчисление) некоторой функции V(x, y). T. о., если

Если множитель мю (x,y) известен, то задача интегрирования уравнения (*) сводится к квадратурам, т. к. остаётся найти функцию U(x, y) по её полному дифференциалу4.

В нашем реферате мы рассмотрели уравнение в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.
^ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ



Берман Г.Н Сборник задач по курсу математического анализа.  М.: Наука, 2005.  384с.

Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.

Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 2002.

Бугров Я.С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 2003.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2001, ч. I, II.

Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича.  М.: Наука, 2001.  416 с.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 2002.

Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с.

Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения:примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 2003. – 383 с.

1 Бибиков Ю.Р. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 2002. – 304 с.


2 Задачи и упражнения по математическому анализу / Под ред. Б.П. Демидовича.  М.: Наука, 2001.  416 с.


3 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1999. – 332 с.


4 Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М., Высш. школа, 2001.