Реферат: Правительство Российской Федерации Государственный университет Высшая школа экономики Факультет Бизнес-информатики Отделение Прикладной математики и информатики программа дисциплины

Правительство Российской Федерации

Государственный университет - Высшая школа экономики
Факультет Бизнес-информатики
Отделение Прикладной математики и информатики


Программа дисциплины


Численные методы

для IV курса отделения Прикладной математики и информатики


Автор программы: И.Л. Кривцун

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры
Математические и статистические высшей математики методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав. кафедрой

__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________

«_____» __________________ 20 г. «____»_____________________ 20 г


Москва


^ Тематический план учебной дисциплины

№

Название темы

Всего
часов

Аудиторные часы

Самост.
работа

лекции

семинары

1

Элементы теории погрешностей

8

2

2

4

2

Приближенные методы поиска корней алгебраических многочленов

16

2

2

12

3

Общая задача интерполирования и аппроксимация функций

22

6

4

12

4

Вычислительные основы линейной алгебры

34

6

8

20

6

Разностные схемы

28

6

6

16




Итого

108

22

22

64



Формы контроля знаний студентов:

текущий контроль: контрольная работа в компьютерном классе во 2-м модуле:

итоговый контроль: зачет в конце 3-го модуля.


Итоговая оценка по учебной дисциплине определяется на основе оценок за следующие виды работ:

контрольная работа в компьютерном классе,

зачет.


Оценки за контрольную работу , и зачетную работу ставятся в десятибалльной шкале. Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом определяется на основе всех этих оценок по формуле

.

Оценки за все виды работ и итоговая оценка округляются до целого числа баллов; при этом учитываются выполнения домашних работ и активность студента на практических занятиях.

Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу:

0  ОИ  3 – неудовлетворительно, 4  ОИ  5 – удовлетворительно,

6  ОИ  7– хорошо, 8  ОИ  10 – отлично.


Содержание программы
Тема 1. Элементы теории погрешностей. Общие сведения об источниках погрешностей, их классификация. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Понятие о погрешности машинных вычислений. Значащая цифра, число верных знаков. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа. Погрешности суммы, разности, произведения и частного. Число верных знаков произведения и частного. Общая формула для погрешности. Обратная задача теории погрешностей.


Базовые учебники

^ Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций (с использованием MATLAB). СПб.: «БХВ-Петербург», 2004 (лекция 1).

Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1968 г. (гл. I).

Дополнительная литература

^ Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 1).


Тема 2. Приближенные методы поиска корней алгебраических многочленов Отделение корней при решении уравнений с одной неизвестной. Общая формула оценки погрешностей приближенного корня. Простейшие способы решения уравнений: метод половинного деления, пропорциональных частей, Ньютона-Рафсона, комбинированный; скорость сходимости, оценки возникающих погрешностей. Метод Ньютона для случая комплексных корней. Метод итераций как пример применения принципа сжимающих отображений в метрическом пространстве. Преобразование уравнения к итерационному виду. Оценки погрешностей метода итераций. Границы действительных корней алгебраических уравнений; теорема Лагранжа; метод знакопеременных сумм. Число действительных корней полинома.



Базовые учебники

^ Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 2).

Деминович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1968 г. (гл. IV-V).
Дополнительная литература

^ Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций (с использованием MATLAB). СПб.: «БХВ-Петер­бург», 2004 (лекция 2).


Тема 3. Общая задача интерполирования и аппроксимация функций.
Постановка общей задачи интерполирования. Частный случай базисной системы степенных функций с целым неотрицательным показателем. Полином Эрмита для заданной функции; его существование и единственность. Явный вид полинома Эрмита в частном случае задания значений функции и ее производной в узлах интерполяции. Интерполяционная формула Эрмита и ее остаточный член. Полиномы Чебышева и их основные свойства. Узлы Чебышева. Феномен Рунге. Теорема Файера о равномерной сходимости полиномов Эрмита в случае, когда узлами интерполяции являются корни многочлена Чебышева. Использование полиномов Эрмита для оценки погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса. Рациональное приближение функций. Метод Паде.

Базовые учебники

^ Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. - М., «Высшая школа», 1990.

Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.

Дополнительная литература

Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 4).


Тема 4. Вычислительные основы линейной алгебры.
Метод простых итераций решения системы линейных уравнений крамеровского типа как пример применения принципа сжимающих отображений в метрическом пространстве. Нормы линейных операторов в конечномерном пространстве. Приведение системы к виду удобному для итераций. Метод Зейделя. Достаточные условия сходимости метода Зейделя для трех простейших норм конечномерного линейного пространства. Оценки погрешности приближений процесса Зейделя по -норме. Нормальные системы линейных уравнений. Приведение системы к нормальному виду. Метод релаксаций. Треугольные матрицы. Представление квадратной матрицы в виде произведения треугольных матриц различных структур. Обращение матрицы, разложенной в произведение треугольных матриц. Метод квадратных корней. Схема Халецкого. Метод прогонки для трехдиагональной системы.

Вращение плоскости. Подобные и ортогональные преобразования. Метод Якоби нахождения собственных пар симметричной матрицы. Отражение Хаусхольдера. Преобразование Хаусхольдера. Метод Хаусхольдера. QR-метод.

Базовые учебники

Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 3, 11).

Деминович Б.П., Марон И.А. ^ Основы вычислительной математики. - М.: «Наука», любое изд., начиная с 1968 г. (гл. VIII-IX).

Дополнительная литература

Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: «Наука», любое изд., начиная с 1977 г. (гл. IV-VI).


Тема 5. Разностные схемы.
Постановка задачи численного решения краевой задачи для уравнения с частными производными. Устойчивость численного решения. Построение разностной схемы простейшей задачи для уравнения гиперболического типа; явная и неявная схемы. Необходимое условие устойчивости явной схемы. Решение Даламбера. Построение явной разностной схемы простейшей задачи для уравнения параболического типа. Необходимое и достаточное условие устойчивости явной схемы. Метод Кранка-Николсона. Дискретный вид оператора Лапласа. Сборка разностных схем простейших краевых задач для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Итеративные методы.

Базовые учебники

^ Годунов С.К., Рябенький. В.С. Разностные схемы. - М.: «Наука», 1973 (гл. 7).

Дополнительная литература

Мэтьюз Дж. Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: изд. дом «Вильямс», 2001 (гл. 10).


Типовой вариант контрольной работы

(в компьютерном классе)


Задание 1. Определите границы действительных корней уравнения

.


Задание 2. Определите количество положительных корней уравнения и, отделив их, найдите с точностью до 10-6, предварительно приведя уравнение к виду, удобному для итераций. Сравните решения, полученные по методу итераций и комбинированному методу. Все вычисления необходимо реализовать в среде MATLAB, написав для этого соответствующие программы.


Задание 3. Найдите максимальное и минимальное значения полинома Чебышева .


Задание 4. Постройте полином Эрмита, который в точках ,, принимает значения 2; -1; 0, соответственно, а его производная в точках , – значения 0; 1, соответственно.


^ Типовой вариант зачетной работы

(в компьютерном классе)


Задание 1. Пусть - невырожденный линейный оператор. Выразите через элементы матрицы оператора в стандартном базисе. Докажите, что достаточным условием сходимости по норме последовательности приближений к точному решению системы в процессе Зейделя является выполнение неравенства .


Задание 2. Напишите в среде MATLAB программу обращения матрицы методом разбиения ее на произведение двух треугольных матриц. Проверьте работу программы на примере матрицы

.


Задание 3. Напишите в среде MATLAB программу решения с помощью схемы Халецкого системы линейных уравнений крамеровского типа. Проверьте работу программы на примере решения системы

.


Задание 4. Напишите в среде MATLAB программы приведения симметричной матрицы к трехдиагональному виду с использованием преобразований Хаусхольдера и и приближенного вычисления собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы с использованием QR-метода. Проверьте работу программы на примере матрицы

.


Задание 5. С помощью явной схемы решите следующую краевую задачу

,

выбрав шаги по x и t, равные h = 0,1 и k = 0,05, соответственно.