Реферат: А. Н. Туполева утверждаю: Проректор по учебной и методической работе И. К. Насыров 2007 г. Программа дисциплины

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н. ТУПОЛЕВА


УТВЕРЖДАЮ:

Проректор по учебной и методической

работе

_________________ И.К. Насыров


«_____» _______________ 2007 г.


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


ЕН.Ф.01.7 "МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ"

Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений

(специальностей)


направления: 230100 « Информатика и вычислительная техника »


специальности: 230105 « Программное обеспечение вычислительной техники

и автоматизированных систем »


формы обучения: очная



Цель и задачи дисциплины.

Дисциплина “Методы оптимизации” является математической основой решения различных проблем выбора одного из возможных образов действий, возникающих в любой области человеческой деятельности.

Знания и навыки, приобретенные при изучении данной дисциплины, необходимы современному специалисту в области промышленной разработки программных продуктов и средств информационных технологий.

В результате изучения дисциплины “Метода оптимизации” студенты должны приобрести знания основ современной технологии разработки математических моделей поиска оптимальных решений, выработать умение эффективно применять методы решения прикладных задач оптимизации, владение навыками алгоритмического мышления, необходимыми современным программистам, системным аналитикам, исследователям информационных технологий.

Для изучения дисциплины “Методы оптимизации” необходимо усвоение студентами разделов “Математического анализа”: числовые множества и последовательности, дифференциальное и интегральное исчисление, линейная алгебра.


^ 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.


В результате изучения дисциплины студенты должны:


Знать

- основы современной технологии разработки математической модели поиска оптимальных решений;

-классификацию экстремальных задач и методов их решения;

-основные аналитические и численные методы безусловной минимизации функций одной и нескольких переменных;

-основные методы решения задач нелинейного программирования;

-основные алгоритмы решения задачи линейного программирования;

- типовые задачи оптимизации на графах;

-простейшую задачу вариационного исчисления и метод ее решения.


Уметь

-формулировать основные математические задачи оптимизации, в зависимости от типа критерия качества и наличия ограничений;

-решать классическим методом задачи безусловной минимизации функций одной и нескольких переменных;

-решать симплекс-методом задачу линейного программирования;

-применять практически основные численные методы решения задач нелинейного программирования;

- решать задачу о максимальном потоке в среде MS Excel 2003.


^ Иметь опыт

-использования методов оптимизации на ПК в операционной системе Microsoft Windows.


Иметь представление

-об использовании методов оптимизации в последующих учебных дисциплинах, а также при выполнении курсового и дипломного проектирования;

-о современной техноло­гии постановки и практического решения типовых задач оптимизации в среде MS Excel.

^ 3. Объем дисциплины и виды учебной работы




Всего

Семестр

5

Общая трудоемкость дисциплины

140

140

Аудиторные занятия

51

51

Лекции (Л)

34

34

Практические занятия (ПЗ)

0

0

Семинары (С)

0

0

Лабораторные работы (ЛР)

17

17

Самостоятельная работа

89

89

Курсовой проект(работа)

0

0

Расчётно-графические работы

17

17

Реферат

0

0

Другие виды самостоятельной работы

72

72

Вид итогового контроля




Экзамен


^ 4. Содержание дисциплины

4.1. Тематический план

№

п/п

Наименование тем




Л

ЛР




Введение

2

0

1

Предмет и задачи дисциплины

1

0

2

Математическое моделирование в оптимизации

1

0




^ Методы одномерной оптимизации

4

4

3

Математическая модель одномерной оптимизации

1

0

4

Классический метод одномерной оптимизации

1

0

5

Прямые методы одномерного поиска

2

4




^ Методы безусловной минимизации функции многих переменных

9

4

6

Математическая модель многомерной оптимизации

2

0

7

Прямые методы безусловной оптимизации

1

8

8

Методы безусловной оптимизации, использующие

производные функции

4

4

9

Градиентные методы второго порядка

2

0




^ Методы оптимизации при наличии ограничений

13

8

10

Математическая модель конечномерной оптимизации

при наличии ограничений

1

0

11

Постановка задачи линейного программирования (ЗЛП)

3

0

12

Графический метод решения ЗЛП

1

0

13

Метод последовательного улучшения плана

4

0

14

Методы последовательной безусловной оптимизации

0

4

15

Метод случайного поиска

0

4

16

Постановка задачи выпуклого программирования (ЗВП)

1

0

17

Метод возможных направлений решения ЗВП

3

6




^ Оптимизация на графах

2

0

18

Типовые задачи оптимизации на графах и их решение в среде MS Excel 2003.

2

0




^ Оптимизация в функциональных пространствах

4

0

19

Простейшая задача вариационного исчисления

2

0

20

Аналитический метод решения вариационной задачи

2

0


^ 4.2. Содержание тем


Введение

1. Предмет и задачи дисциплины (1/1)

Экстремальные проблемы в технике и экономике, их возникновение и развитие.

Признаки классификации экстремальных задач. Задачи математического

программирования и их классификация.

^ 2. Математическое моделирование в оптимизации (1/1)

. Объект оптимизации. Выбор управляемых переменных и числового критерия оптимизации. Формулировка математической задачи оптимизации. Примеры формализации задач на экстремум. Задачи классического вариационного исчисления и оптимального управления.


^ Методы одномерной оптимизации


3. Математическая модель одномерной оптимизации (1/2).

Минимум функции одной переменной. Ее точки минимума и точная нижняя грань.

Унимодальные функции и их свойства. Гладкие и выпуклые функции, их свойства.

^ 4. Классический метод одномерной оптимизации (1/2)

Необходимые и достаточные условия экстремума функции одной переменной. Алгоритмы реализации классического метода. Примеры.

^ 5. Прямые методы одномерного поиска (7/1)

Приближённые методы решения задачи одномерной оптимизации.

Их классификация. Метод равномерного перебора. Метод поразрядного поиска. Методы исключения отрезков. Метод дихотомии. Метод золотого сечения.


^ Методы безусловной минимизации функций многих переменных


6. Математическая модель многомерной оптимизации (2/2 )

Постановка задачи безусловной минимизации функций многих переменных. Минимум функции многих переменных. Дифференцируемые функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума дифференцируемой функции. Алгоритм классического метода. Примеры.

^ 7. Прямые методы безусловной оптимизации (1/2)

Минимизация по правильному симплексу. Метод деформируемого многогранника.

Методы покоординатного спуска.

^ 8. Методы безусловной оптимизации, использующие производные (4/2)

Понятия итерационной процедуры, минимизирующей последовательности, скорости сходимости, направления убывания функции, исчерпывающего спуска, градиента и антиградиента функции. Метод градиентного спуска. Метод наискорейшего спуска. Минимизация овражных функций. Метод быстрых и медленных переменных. Метод Гельфанда.

^ 9. Градиентные методы второго порядка (2/2)

Понятие дважды дифференцируемой функции многих переменных. Квадратичная аппроксимация. Матрица Гессе. Метод Ньютона. Обобщенный метод Ньютона. Примеры.


^ Методы оптимизации при наличии ограничений

10. Математическая модель конечномерной оптимизации при наличии

ограничений (1/2)

Общая постановка и классификация задач математического программирования. Задача на условный экстремум. Функция Лагранжа. Правило множителей Лагранжа. Примеры.

^ 11. Постановка задачи линейного программирования ( 3/1)

Общая постановка ЗЛП. Каноническая форма ЗЛП. Приведение общей ЗЛП к канонической форме. Множество планов ЗЛП и его свойства. Угловые точки. Опорные планы вырожденные и невырожденные. Свойства решений ЗЛП.

^ 12. Графический метод решения ЗЛП (1/2)

Графическая интерпретация ЗЛП. Гиперплоскость линейной формы. Опорная гиперплоскость множества планов ЗЛП. Алгоритм графического метода решения ЗЛП. Примеры.

^ 13. Метод последовательного улучшения плана (4/2)

Основная идея метода последовательного улучшения планов. Переход от одного опорного плана к другому. Признак оптимальности опорного плана. Рекуррентные соотношения для параметров соседних опорных планов. Первый алгоритм симплекс-метода. Способы построения начального опорного плана.

^ 14. Методы последовательной безусловной оптимизации (4/1)

Метод штрафных функций. Последовательность штрафных функций. Метод барьерных функций. Последовательность барьерных функций. Комбинированный

метод штрафных функций. Особенности алгоритмической реализации методов последовательной безусловной оптимизации.

^ 15. Метод случайного поиска (4/1)

Случаи предпочтительного выбора метода случайного поиска (МСП). Правило построения минимизирующей последовательности в МСП. Особенности алгоритмической реализации МСП. Понятие неудачного шага в МСП. Критерий

прекращения поиска. Алгоритмы МСП с обучением и без обучения. Поиск с возвратом при неудачном шаге.Алгоритм наилучшей пробы. Алгоритм статистического градиента.

^ 16. Постановка задачи выпуклого программирования (1/2)

Выпуклые множества и их свойства. Выпуклые функции и их экстремальные свойства. Постановка ЗВП. Выпуклость допустимой области ЗВП.

^ 17. Метод возможных направлений решения ЗВП (3/2)

Понятие возможного и подходящего направлений. Основная идея метода возможных направлений. Алгоритм выбора начальной точки. Определение активных ограничений. Выбор наилучшего подходящего направления. Алгоритм вычисления длины шага в выбранном направлении. Оценка погрешности приближенного решения ЗВП.

^ Оптимизация на графах


18. Типовые задачи оптимизации на графах и их решение в среде MS Excel 2003(2/2)

Типовые задачи оптимизации на графах. Задача о максимальном потоке. Общая математическая постановка задач оптимизации на графах. Математическая модель задачи

о максимальном потоке. Компонент офисного пакета MS System Office – MS Excel.

Решение задачи о максимальном потоке в среде – MS Excel 2003.


^ Оптимизация в функциональных пространствах


18. Простейшая задача вариационного исчисления (2/2)

Основные понятия вариационного исчисления. Минимум функционала на заданном классе функций. Вариации функции и ее производных. Кривые сравнения нулевого и первого порядка близости. Лемма Лагранжа. Простейшая вариационная задача с фиксированными границами.

^ 19. Аналитический метод решения вариационной задачи (2/2)

Построение функций сравнения в задаче с фиксированными границами. Вывод необходимого условия экстремума функционала на классе гладких функций. Уравнение Эйлера. Примеры.


^ 4.3. Лабораторный практикум


№

п/п

Номер темы

Объём в часах

Наименование лабораторных работ



Очное

Заочное

1

5

5




Методы одномерного поиска

2

8

4

2

Градиентные методы

3

14

4

2

Методы последовательной безусловной оптимизации

4

15

4




Метод случайного поиска


^ 4.4. Расчётно-графическая работа, её содержание

Целью выполнения расчётно-графической работы (РГР)является закрепление знаний по теоретическому курсу, приобретение студентами необходимых практических навыков по математической постановке оптимизационных задач и применению вычислительных алгоритмов их решения. РГР выполняется каждым студентом в соответствии с индивидуальным заданием. На выполнение РГР отводится 17 часов самостоятельной работы студента. Задания включают решение задач по темам 11 и 13

(см. приложения 1 и 2 ).


^ 4.5. Контрольная работа.

Контрольная работа не предусмотрена .

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины


5.1. Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учебник

для вузов /Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. -440с. ( Сер. Математика в технич. университете; Вып. X1V )

2. Мурга О.К. Численные методы оптимизации: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан.гос. техн.ун-та им. А.Н. Туполева,2006. 75с.

3. Летова Т.А., Пантелеев А.В. Экстремум функций в примерах и задачах:

Учебное пособие. –М.: Изд-во МАИ, 1998. 376с.

б) дополнительная литература:

1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980, 520 с.

2. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Изд-во МАИ

1995, 344 с.

3. Мурга О.К. Численные методы оптимизации. Лабораторный практикум.

Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева,2000. 44с.


^ 5.2. Средства обеспечения освоения дисциплины

Предусматривается применение компьютерного обучающего комплекса, поддерживающего выполнение лабораторных работ. Необходимое программное обеспечение: операционная система Windows 2000/XP, обучающая среда IBM Lerning Space.


^ 6. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Компьютерный класс, оснащённый ПЭВМ с характеристиками, обеспечивающими нормальную работу компьютерного обучающего комплекса при выполнении лабораторных работ ( см. раздел 5.2 ).


^ 7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины

7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения

Обучение проводится в течении одного семестра.

При проведении лабораторных работ используется компьютерный обучающий

комплекс ( см. раздел 5.2 ).

. При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки

знаний. Контрольные аттестации организуются на 6, 12 и 16 неделях семестра. Аттестации проводятся лектором во внеучебное время. Каждая аттестация включает задания, предусматривающие ответы на теоретические вопросы (см. приложение № 4 ) и решение практических задач ( см. задания в приложении № 3 ).


Программу составил: Мурга О.К., доцент каф. ПМИ КГТУ.


Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ , протокол №

(дата, номер протокола)


Зав. кафедрой ПМИ

д.т.н., профессор Н.Е.Роднищев


Председатель Учебно-методической

комиссии факультета, доцент В.А.Суздальцев


Декан факультета ТКиИ Л.Ю.Емалетдинова


ПРИЛОЖЕНИЕ 1


Варианты индивидуальных заданий для РГР.



Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудования, необходимыми для производства любого из четырёх видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Вид товара

Вид ресурса

1

2

3

4

Объём ресурсов
^ Сырьё, кг
Рабочая сила, ч

Оборудование, станко-ч

3

22

10

5

14

14

2

18

8

4

30

16

60

400

128
^ Прибыль на единицу товара, руб
30

25

56

48





1.1. Определить оптимальный ассортимент товара, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии, что товара первого вида должно быть изготовлено не менее двух единиц, второго - не менее пяти, третьего - не менее трёх, четвёртого - не менее одного, а количество отработанных человеко-часов должно быть не менее 200.

1.2. Определить оптимальный ассортимент товара, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии, что товара первого вида должно быть выпущено не более четырёх единиц, второго - не менее семи, третьего и четвёртого – в отношении 1:2 , а количество отработанных человеко-часов должно быть не менее 100.

Определить оптимальный ассортимент товара, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии, что заданы производственные издержки в рублях на 1 единицу каждого изделия: 6, 9, 12, 3, а суммарные издержки не должны превышать 96 рублей, количество товаров каждого типа должно быть не меньше 1, затраты рабочей силы - не меньше 100.


2. Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, бюро и книжные шкафы. При изготовлении этих товаров используются два различных типа досок, причём фабрика имеет в наличии 1500 м досок первого типа и 1000 м досок второго типа. Кроме того, заданы трудовые ресурсы в количестве 800 чел.-ч.В таблице приведены нормативы затрат каждого из видов ресурсов на изготовление одной единицы изделия и прибыль на одну единицу изделия:
^ Изделия Ресурсы Затраты на 1 ед. изделия
столы

стулья

бюро

книжные

шкафы

Доски 1 типа, м

Доски 2 типа, м

Трудовые ресурсы, чел.-ч.

5

2

3

1

3

2

9

4

5

12

1

10

Прибыль, руб./шт.

15

5

15

10


2.1. Определить оптимальный ассортимент продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии, что стульев должно быть изготовлено не менее 30, а трудовых ресурсов должно быть затрачено не менее 500 чел.-ч.

2.2. Определить оптимальный ассортимент продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии, что столов должно быть изготовлено не менее 40, стульев – не менее 130, бюро – не менее 30, книжных шкафов – не более 10.При этом трудовых ресурсов должно быть затрачено не менее 560 чел.-ч.

2.3. Определить оптимальный ассортимент продукции, обеспечивающий максимальную прибыль, при условии комплектности: количество столов относится к количеству стульев как 1:6. При этом столов должно быть изготовлено не менее 25, книжных шкафов – не менее 4, трудовых ресурсов должно быть затрачено не менее 550 чел.-ч.

2.4. Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию, учитывая, что один стол стоит – 30 руб., один стул – 15 руб., одно бюро – 12 руб. и один книжный шкаф – 80 руб. Кроме того, должно соблюдаться условие комплектности: количество столов относится к количеству стульев как 1:6. Причем столов должно быть изготовлено не менее 30, книжных шкафов – не менее 10, а трудовых ресурсов должно быть затрачено не менее 600 чел.-ч.


3. Ткань трёх артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления тканей используется пряжа и красители. В следующей таблице указаны мощности станков (в тыс. станко-ч.), ресурсы пряжи и красителей (в тыс. кг), производительности станков по каждому виду пряжи (в м/ч), нормы расхода пряжи и краски (в кг на 1000 м) и цена (в руб.)1 м ткани.


Виды ресурсов Объём ресурсов ^ Производительность и нормы расхода
1

2

3

Станки 1 типа

Станки 2 типа

Пряжа

Красители

30

45

30

1

20

8

120

10

10

20

180

5

25

10

210

8

Цена




15

15

20


3.1. Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию фабрики, при условии, что количество часов, отработанных на станках 2-го типа должно быть не менее 10 тыс. ч., а ткани 1-го артикула должно быть произведено не менее 10 тыс. м.

3.2. Определить, какое максимальное количество комплектов ткани может выпустить фабрика, если количество выпущенной ткани трёх артикулов должно находиться в отношении 2:1:3 соответственно. При этом станки первого типа должны быть загружены работой в объёме не менее 5 тыс. станко-ч., а ткани 2-го артикула должно быть произведено не менее 10 тыс.м.

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий прибыль, при условии, что количество выпущенной ткани трёх артикулов должно находится в соотношении 2:1:3 соответственно, а станки 2-го типа должны быть загружены не менее чем на 5 часов.


4. Нефтеперерабатывающий завод для производства трех сортов авиационного бензина получает 4 полуфабриката: алкилат, крекинг-бензин, бензин прямой перегонки, изопентон. Пропорции, в которых необходимо смешивать полуфабрикаты для получения бензина сортов А, В и С, доступное количество полуфабрикатов (в тыс. л.), а также стоимость 1 тыс. л. каждого из трёх сортов бензина указаны в таблице:

Продукция

Сырьё

А

В

С

Объём ресурсов

алкилат

крекинг-бензин

бензин прямой перегонки

изопентон

2/12

3/12

5/12

2/12

3/7

1/7

2/7

1/7

2/8

2/8

1/8

3/8

400

250

350

250

стоимость

120

100

150





4.1. Определить оптимальный ассортимент бензина, при котором будет достигнут максимум товарной продукции при условии, что бензина каждого сорта должно быть произведено не менее 300 тыс. литров, а изопентона должно быть использовано не менее 100 тыс. литров.

4.2. Определить оптимальный ассортимент бензина, при котором будет достигнут максимум товарной продукции, если алкилата должно быть использовано не более 400 тысяч литров и не менее 200 тысяч литров, крекинг-бензина – не более 250 тыс. л и не менее 200 тыс. л, бензина прямой перегонки – не более 350тыс.л и не менее 250 тыс. л, изопентона- не более 250тыс.л и не менее 200 тыс. л.


5. В состав рациона кормления входят три продукта: сено, силос и концентраты, содержащие питательные вещества: белок, кальций и витамины. Содержание питательных веществ ( в г на кг) соответствующего продукта питания и минимально необходимые нормы их потребления заданы следующей таблицей:

№

Питательные

вещества

Продукты

Белок

Кальций

Витамины

1

2

3

Сено

Силос

Концентраты

50

20

180

6

4

3

2

1

1

Нормы потребления

2000

120

40



5.1. Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена одного килограмма продукта питания соответственно составляет: сена – 3 коп., силоса – 2 коп., концентратов – 5 коп., а витаминов в рационе должно оказаться не более 80 г.

5.2. Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена одного килограмма продукта питания соответственно составляет: сена – 3 коп., силоса – 2 коп., концентратов – 5 коп. Причём предельные нормы суточной выдачи должны составлять: сена не более 12 кг, силоса – не более 20 кг, концентратов – не более 16 кг, а витаминов в рационе должно быть не более 100г.

5.3. Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена одного килограмма продукта питания соответственно составляет: сена – 3 коп., силоса – 2 коп., концентратов – 5 коп., при дополнительных ограничениях ресурсов продукта на один рацион: сена - не более 10 кг, силоса – не более 15 кг, концентратов – не более 20 кг.


6. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, никель, свинец) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий (декоративный). Стоимость единицы веса ресурса и единицы веса сплава, содержание металлов в сплавах и ограничение ресурса заданы следующей таблицей:




Состав сплава, масс.долей

Стоимость ед.веса ресурса, руб.

Ограниче-ние ресурса, ед.

Обычный сплав

Специаль-ный сплав

Декоратив-ный сплав

Медь

Цинк

Свинец

Никель

0,2

0,3

0,49

0,01

0,7

0,1

0,16

0,04

0,5

0,14

0,3

0,06

0,8

0,6

0,4

1,0

500

100

500

40

Стоимость ед. веса сплава, руб.

2

3

4







Ограничения по выпуску, ед.

400

700

100







Найти производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль при условии, что на производство сплавов необходимо затратить цинк в количестве не менее 10 ед. веса.


7. Для изготовления брусьев трёх размеров: 0,6 м, 1,5 м, 2,5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают брёвна длиной в 3 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов, при условии, что брусьев второго типа должно быть изготовлено не менее 10% от общего числа выпускаемых брусьев. Способы распила брёвен и количество брусьев, получаемых при этом, указаны в следующей таблице:

Способы распила ()

Получаемые брусья

Количество брёвен, распиленных по -му способу

0,6 м

1,5 м

2,5 м

1

5

0

0



2

2

1

0



3

0

2

0



4

0

0

1





8. Для изготовления брусьев трёх размеров: 0,6 м, 1,5 м, 2,5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают брёвна длиной 3 м и 2 м в соотношении 3:1. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов, если на распил поступает 400 брёвен, а брусьев второго типа (1,5 м) должно быть изготовлено не менее 10% от общего количества брусьев. Способы распила брёвен и количество брусьев, получаемых при этом, указаны в следующей таблице:

Способы распила ()

Получаемые брусья

Количество брёвен, распиленных по -му способу

0,6 м

1,5 м

2,5 м

1

5

0

0



2

2

1

0



3

0

2

0



4

0

0

1



5

3

0

0



6

0

1

0






Для изготовления брусьев трёх размеров: 0,6 м, 1,5 м, 2,5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают брёвна длиной 3 м и 2 м. Количество 3-х метровых брёвен равно 300, а 2-х метровых – 100. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов, при условии, что брусьев первого типа (0,6 м) должно быть изготовлено не менее 80. Способы распила брёвен и количество брусьев, получаемых при этом, указаны в следующей таблице:

Способы распила ()

Получаемые брусья

Количество брёвен, распиленных по -му способу

0,6 м

1,5 м

2,5 м

1

5

0

0



2

2

1

0



3

0

2

0



4

0

0

1



5

3

0

0



6

0

1

0





10. Произвести распил 5-метровых брёвен на брусья размерами 1,5 м, 2,4 м и 3,2 м в соотношении 5:3:2 так, чтобы минимизировать общую величину отходов, при условии, что количество 1,5-метровых брусьев должно быть изготовлено не менее 100 и что на распил поступает 300 брёвен. Способы распила брёвен, количество получаемых при этом брусьев и отходов указаны в следующей таблице:



Способы распила ()

Количество получаемых брусьев

Количество отходов, м

Количество брёвен, распиленных по способу

1,5 м

2,4 м

3,2 м

1

3

0

0

0,5



2

1

1

0

1,1



3

1

0

1

0,3



4

0

2

0

0,2




11. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причём первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали первого типа, 3 детали второго типа и 2 детали третьего типа. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами.

Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в следующей таблице:

Первая партия

Вторая партия

Способ

раскроя

Детали

1

2

3

Способ

раскроя

Детали

1

2

1

0

6

6

1

6

5

2

4

3

4

2

5

4

3

10

16

0

3

8

0

Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

12. Имеются три технологических процесса (I, II, III), связанных с производством некоторого продукта и потреблением при этом четырех видов сырья. Количество расходуемого сырья каждого вида и стоимость продукта, получаемого при применении каждого технологического процесса в ед. времени, а также располагаемые ресурсы сырья приведены в следующей таблице:

Сырье

Процессы

Расход сырья

Цена продукта полученного по процессу

1

2

3

4

I

II

III

5

4

6

8

3

7

3

9

4

6

5

2

10

15

8

Объём ресурсов

50

50

20

60




Определить интенсивности использования каждого процесса из условия обеспечения максимума товарной продукции, при условии, что сырья четвёртого вида должно быть израсходовано не менее 20 единиц.


13. Предприятие может выпускать продукцию по трём технологически отработанным способам производства. При этом за 1 час по первому способу производства оно выпускает 20 единиц продукции, по второму – 25 единиц и по третьему – 30 единиц продукции.

Количество производственных факторов, расходуемых за час при различных способах производства, и располагаемые ресурсы этих факторов представлены в следующей таблице:

Факторы


Способ производства

Сырье

Станоч-ный парк

Рабочая сила

Энергия

Транс-порт

Прочие расходы

1

2

3

2

1

3

3

4

2

7

3

4

2

1

3

1

0

1

4

2

1

Располагаемые ресурсы факторов

60

80

70

50

40

50


Спланировать работу предприятия из условия получения максимума продукции, если известно, что общее время работы предприятия составляет не более 30 часов, и что рабочей силы должно быть израсходовано не менее 60 человеко-часов.


14. Предприятие может работать по пяти технологическим процессам, причем количество единиц выпускаемой продукции по разным технологическим процессам за 1 ед. времени соответственно равно 300, 260, 320, 400, 450 шт. В процессе производства учитываются следующие производственные факторы: сырьё, электроэнергия, зарплата и накладные расходы.

Затраты соответствующих факторов в рублях при работе по разным технологическим процессам в течение 1 ед. времени указаны в следующей таблице:

№ технологических

процессов

Производственные

факторы

1

2

3

4

5

Ресурсы

Сырьё

Электроэнергия

Зарплата

Накладные расходы

12

0,2

3

6

15

0,1

4

5

10

0,2

5

4

12

0,25

4

6

11

0,3

2

4

1300

30

600

800

Найти программу максимального выпуска продукции, при условии, что по каждому из пяти процессов должно быть отработано не менее 10 единиц времени, а затраты по зарплате должны составить в целом не менее 400 единиц.


Механический завод при изготовлении трёх разных типов деталей использует токарные, фрезерные и строгальные станки. При этом обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими способами.

В следующей таблице указаны ресурсы (в станко-часах) каждой группы станков, нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы детали каждого вида.

Детали

I

II

III

Ресурсы времени

Технологические способы

1

2

1

2

3

1

2

3

Станки

Токарный

0,4

0,9

0,5

0,3

-

0,7

-

0,9

250

Фрезерный

0,5

-

0,6

0,2

0,5

0,3

1,4

-

450

Строгальный

0,3

0,5

0,4

1,5

0,3

-

1,0

0,5

600

Прибыль

12

18

30





15.1. Составить оптимальный план загрузки производственных мощностей, обеспечивающий максимальную прибыль при условии, что фрезерный станок должен быть загружен не менее 300 часов.

15.2. Определить производственную программу, обеспечивающую изготовление максимального числа комплектов при условии, что между количеством выпускаемых деталей должно выполняться соотношение 1:2:1 и что токарный станок должен быть загружен не менее 150 часов.

15.3. Составить оптимальный план загрузки производственных мощностей, обеспечивающий максимальную прибыль при условии, что число деталей второго типа не должно превышать 100 единиц, а загрузка строгального станка должна быть не менее 450 часов.

16. Для изготовления определенного сплава из свинца, цинка и олова используется сырьё в виде следующих пяти сплавов из тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью 1 кг., указанных в таблице:

Сплав

Компоненты

Содержание в %

I

II

III

IV

V

Свинец

Цинк

Олово

10

10

80

10

30

60

40

50

10

60

30

10

30

20

50

Стоимость

4

4,5

5,8

6

7,5

16.1. Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий не менее 15% свинца, не менее 20% цинка, не более 55% олова. При этом количество сплава должно получиться не менее 20 кг.

16.2. Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий олова от 50 до 70%, цинка от 10 до 30%. При этом требуется изготовить не менее 90 кг сплава.

16.3. Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий олова не более 40%, цинка не менее 20%, причём необходимо получить нового сплава не менее 100 кг.

17. Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны 5 типовых проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундаментов и строительства основной части здания в днях, а также жилая площадь дома.

Тип дома

I

II

III

IV

V

Фундамент

Остальные работы

Жилая площадь

20

40

3000

30

20

2000

35

60

5000

30

35

4000

40

25

6000

Стоимость 1 кв. м

200

150

220

180

200

Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительство 15 зданий.


17.1. Определить план строительства, обеспечивающий ввод максимальной жилой площади в