Реферат: Базовая учебная программа дисциплины «введение в математику» для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика» Минск

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский государственный университет

Механико-математический факультет

Кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

профессор В.В. Самохвал

________________________

Рег.№ __________________

«____» ______________ 200 г.


Базовая учебная программа дисциплины


«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ»

для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика»


Минск

200 г


Авторы:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой геометрии, топологии и методики преподавания математики Янчевcкий В.И.,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры уравнений математической физики Тышкевич Р.И.,

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики Кононов С.Г.


Рецензент:

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей алгебры БГУ Курсов В.В.


Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики

протокол № 12 от 20 июня 2007 г.


Одобрена на заседании Ученого совета

механико-математического факультета

протокол № 7 от 20 июня 2007 г.


Ответственный за выпуск:

доцент кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики кандидат физ.-мат. наук С.Г. Кононов.


^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


"Введение в математику" – лекционный курс, который читается студентам математических факультетов на первом году обучения. Целями курса являются:

– изложение понятий и конструкций теории множеств, лежащих в основе современной математики;

– знакомство студентов с элементами математической логики и основными методами доказательств в математике;

– построение аксиоматическим методом натуральных чисел и на их основе целых и рациональных чисел; знакомство студентов с аксиоматикой теории множеств и аксиоматикой геометрии;

– введение понятия мощности множества, изучение свойств счетных множеств и множеств мощности континуума; изложение свойств упорядоченных множеств.


"Введение в математику"

Тематический план курса "Введение в математику"



№ темы

Количество часов

Содержание курса

Лекции

Контроль самостоятельной работы студентов

Элементы математической логики




2




Множества и отношения

4


2

Отображения

4


2

Элементы комбинаторики

4


2

Числа (натуральные, целые, рациональные)

4





Основания планиметрии

4





Мощности и порядки

6





Всего аудиторных часов

28


6

ИТОГО:

34




Введение


Особенности математики как науки. Ее содержание и методы исследований.

^ Элементы математической логики

Математические высказывания. Логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Логические законы. Субъекты, предикаты и высказывательные формы. Кванторы всеобщности и существования. Метод математической индукции.


^ Множества и отношения


Канторово определение множества. Антиномии "наивной" теории множеств. Пустое множество, универсальное множество. Начала аксиоматики Цермело – Френкеля теории множеств.

Операции над множествами: объединение, пересечение, разность. Дополнение множества. Декартово произведение множеств.

Бинарные отношения. Свойства рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности бинарных отношений. Отношение эквивалентности, классы эквивалентных элементов, фактормножество.


Отображения


Понятие функции (отображения). Терминология и примеры. Понятия семейства, последовательности, уравнения. Образы и прообразы элементов и подмножеств. Композиция отображений (сложная функция), свойство ассоциативности композиции отображений. Инъективные, сюръективные, биективные отображения. Обратное отображение, односторонние обратные отображения. Декартово произведение семейства множеств. Бинарные алгебраические операции как отображения.

Аксиомы подстановки, регулярности и выбора системы аксиом Цермело – Френкеля теории множеств.


^ Элементы комбинаторики


Правила суммы и произведения в комбинаторике. Сочетания и перестановки. Бином Ньютона. Правило включений и исключений в комбинаторике и его приложения.


^ Натуральные, целые и рациональные числа


Аксиоматика Пеано натуральных чисел. Определение сложения, умножения натуральных чисел и естественного порядка в множестве натуральных чисел. Расширенный натуральный ряд. Системы счисления. Бесконечные множества и натуральные числа в аксиоматике Цермело – Френкеля теории множеств.

Построение целых чисел. Сложение, умножение, деление с остатком целых чисел. Естественный порядок в множестве целых чисел. Сравнения целых чисел по натуральному модулю.

Построение рациональных чисел, определение арифметических операций и естественного порядка в множестве рациональных чисел.


^ Аксиоматика евклидовой планиметрии


Первичные понятия и первичные отношения в аксиоматике Гильберта евклидовой плоскости. Аксиомы связи и параллельности. Аксиомы порядка и следствия из них. Аксиомы конгруэнтности отрезков и углов. Измерение отрезков и углов. Построение биекции между множеством точек прямой и множеством вещественных чисел. Декартова система координат. Координатизация множества.


^ Мощности и порядки


Понятие мощности множества. Сравнение множеств по их мощностям, теорема Кантора – Бернштейна. Счетные множества: примеры и основные свойства. Множества мощности континуума. Континуум-проблема.

Упорядоченные множества: частичный, линейный и полный порядок. Максимальные и минимальные элементы. Вполне упорядоченные множества и трансфинитная индукция.


ЛИТЕРАТУРА

по курсу "Введение в математику"


Основная:


1. Кононов С.Г., Тышкевич Р.И., Янчевский В.И. Введение в математику. Мн. Ч. 1-3. 2003.


Дополнительная:


Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М. 1970.

Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М. 1966.

Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М. 1969.