Реферат: Правительство Российской Федерации Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики Факультет бизнес-информатики программа дисциплины
Правительство Российской Федерации
Национальный исследовательский университет - Высшая школа экономики
Факультет бизнес-информатики
Программа дисциплины
Избранные главы линейной алгебры
(Направление 010500.62 «Прикладная математика и информатика»)
Авторы: В.А.Гордин, Д.И.Пионтковский, Г.Е.Пунинский
Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры
Математические и статистические высшей математики методы в экономике на факультете экономики
Председатель Зав. кафедрой
__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________
«_____» __________________ 200 г. «____»___________________200 г
Утверждена УС факультета
гос. и муниципального управления
Ученый секретарь
_________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
Пояснительная записка
Авторы программы.
Доктор физико-математических наук В.А.Гордин, доктор физико-математических наук Д.И. Пионтковский, доктор физико-математических наук Г.Е.Пунинский.
^ Требования к студентам.
Изучение курса «Избранные главы линейной алгебры» требует предварительных знаний по элементарной теории множеств, линейной алгебре и математическому анализу в объеме первых трех модулей обязательных курсов «Геометрия и алгебра» и «Математический анализ».
Аннотация.
Дисциплина «Избранные главы линейной алгебры» предназначена для подготовки бакалавров по направлению 010500.
Первая часть курса посвящена приложениям методов общей алгебры, которые в последние десятилетия широко проникают в многочисленные области технических и гуманитарных исследований. Курс включает начала теории чисел, теории групп и конечных полей, а также их приложения к построению кодов, исправляющих ошибки, и к криптографическим протоколам. Изложение начинается с повторения определений и простейших свойств основных алгебраических структур (знакомых слушателям по курсу «Геометрия и алгебра») и их обобщение на языке универсальной алгебры; в частности, вводится понятие морфизма алгебраических систем. Свойства свойства колец вычетов и конечных групп используются в дальнейшем при описании криптографических протоколов, в частности, протокола RSA.
Вторая часть курса включает теорию решеток, которая предоставляет математические основы современных методов поиска зависимостей в данных – импликаций и ассоциативных правил на множествах признаков. Изложение начинается с повторения основных понятий теории отношений и теории графов. Важнейшим разделом современной прикладной теории решеток является анализ формальных понятий, исходным объектом которого служит бинарное отношение на множествах объектов и их свойств (признаков). На основе отношения определяется соответствие Галуа и оператор замыкания. Замкнутые множества объектов (признаков) образуют решетку (понятий), которая, с одной стороны, позволяет наглядно представлять иерархию классов объектов, а с другой – зависимости на признаках, определяемых в терминах импликаций и ассоциативных правил (частичных импликаций).
^ Учебные задачи курса.
Одной из основных целей курса является знакомство студентов с приложениями линейно алгебры и ее связями с теорией приближений, теорией возмущений основными конструкциями абстрактной алгебры, элеменарной терии чисел и теории решеток, используемых в прикладных исследованиях.
В результате изучения курса «Современная прикладная алгебра» студенты
должны:
уметь пользоваться методами абстрактной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе в некоторых задач криптографии и теории кодирования;
иметь представление об основных алгебраических структурах, используемых в перечислительных и алгоритмических задачах, в том числе о конечных группах и полях Галуа;
овладеть математическими основами современной прикладной теории решеток, используемой в ряде методов представления и анализа информации.
^ Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
Сам.
работа
Лекции
Семинары
Метрики и нормы
3
2
2
6
Многочлены Чебышева
3
2
2
6
Матричные нормы
3
2
2
6
Функции от матриц
3
2
2
6
Элементы теории возмущений
6
2
2
6
Основные структуры общей алгебры
6
4
2
10
Полилинейные формы
6
2
2
6
Алгебра функций. Дифференциальные формы.
6
4
4
12
9
^ Алгебраические многообразия. Кривые и поверхности 2-го порядка.
6
2
2
8
Итого 108 22 20 66
Формы контроля
Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в виде контрольной работы. Итоговый контроль осуществляется в виде зачетной контрольной работы. Итоговая оценка Оитог по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма Оитог=0,4*Ок.р.+0,6*Озач., округленная до целого числа баллов. Ок.р. и Озач. обозначают оценки по 10-балльной шкале за контрольную работу и зачет соответственно.
^ Таблица соответствия оценок по десятибалльной и системе зачет/незачет.
Оценка по 10-балльной шкале
Оценка по 5-балльной шкале
1
незачет
2
3
4
зачет
5
6
7
8
9
10
^ Содержание программы
Тема I. Метрики и нормы.
Метрики в нормированных пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах, окрестности, связь с понятием предела. Эквивалентность норм и эквивалентность топологий. Теорема об эквивалентности норм в конечномерных пространствах.
Литература: основная: [КФ], с.48-66,
дополнительная: [Р] , с.493-103
Тема II. Многочлены Чебышева
Примеры норм и метрик в пространствах функций, связь с задачами аппроксимации.
Многочлены Чебышева как наименее уклоняющиеся от нуля, их графики. Ортогональность, разложение многочленов по базису из многочленов Чебышева.
Литература: основная: [БЖК], с.58-62,
дополнительная: [Д], с.25-58
Тема III. Матричные нормы.
Матричные нормы, их связь с векторными нормами. Нормы Гельдера и Фробениуса. Спектральный радиус, связь с нормами.
Литература: основная: [Б], с.67-86;
дополнительная: [АЛ], с.91-105.
Тема IV. Функции от матриц.
Функции от матриц (определение через спектр). Многочлены от матриц, минимальный многочлен матрицы. Многочлен Лагранжа. Матричные ряды. Представление элементарных функций рядами Тейлора. Вычисление матричных функций и оценка остаточного члена через спектральный радиус.
Литература: основная: [Б], с.56-113; [В], с.249-260;
дополнительная: [Г], с.64-75.
Тема V. Элементы теории
возмущений
Теорема Гершгорина. Число обусловленность матрицы. Связь с обусловленностью систем линейных уравнений. Примеры приближенного решения систем линейных уравнений.
Литература: основная: [Б], с.235-258;
дополнительная: [АЛ], с.125-128.
Тема VI. Основные структуры общей алгебры
Группы, кольца, поля. Алгебра над полем. Примеры: алгебра многочленов от одного и нескольких переменных (симметрическая алгебра), алгебра матриц, их подалгебры.
Литература: основная: [В], с.7-43,
дополнительная: [Ко], с.410-417.
Тема VII. Полилинейные формы
Полилинейные формы на линейном пространстве, связь с ориентированным объемом. Пространство n-линейных форм. Внешнее умножение, алгебра полилинейных форм. Двойственные пространства, внешняя алгебра как алгебра полилинейных форм на двойтвенном пространстве. Базис во внешней алгебре.
Литература: основная: [В], с.342-356;
дополнительная:[Ко], с.139-150.
Тема VII. Алгебра функций. Дифференциальные формы.
Алгебра гладких функций. Алгебра дифференциальных форм. Внешнее дифференцирование, комплекс де Рама в n-мерном пространстве. Внешнее интегрирование и
Иллюстрации к формуле Стокса.
Литература: основная: [C], с.15-33.
Тема VIII. Алгебраические многообразия. Кривые и поверхности 2-го порядка.
Алгебраические многообразия. Координатные кольца аффинных многообразий. Примеры: кривые второго порядка, гиперплоскости и сферы. Поверхности 2-го порядка, их сечения. Замена координат (примеры). Топологические n-мерные многообразия, атласы. Примеры атласов на аффинных многообразиях.
Литература: основная: [C], с. 342-370,
дополнительная: [КЛШ], с. 17-45; [ДНФ] с. 409-425;
Список литературы
Основная литература
[Б] Беклемишев Д.В., Дополнительные главы линейной алгебры, СПБ, изд. Лань, 2008.
[В] Винберг Э.Б., Курс алгебры, М., изд. МГУ, 2002.
[БЖК] Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Н., Численные методы, М., изд. Бином, 2003.
[КФ] Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М., изд. Наука, 1976.
Дополнительная литература
[АЛ] Артамонов В.А., Латышев В.Н., Линейная алгебра и выпуклая геометрия, М., изд. Факториал, 2004.
[Г] Гордин В.А., Как это посчитать, М., изд. МЦНМО, 2005.
[Д] Данилов А.Ю., Многочлены Чебышева, М., 2003.
[ДНФ] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, М., изд. Наука, 1979.
[КЛШ] Кокс Д., Литтл М., О’Ши Т., Идеалы, многообразия, алгоритмы, М., изд. Мир, 2000.
[Ко] Кострикин А.Н., Введение в алгебру, М., Наука, 1977.
[Кр] Кряквин В.Д, Линейная алгебра в задачах и упражнениях, M., изд. Вузовская книга, 2007.
[Р] Рудин У., Курс математического анализа, М., Мир, 1976.
[C] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, ,М., изд. Мир, 1970.
.
Типовой вариант контрольной работы
Типовой вариант зачетной контрольной работы
Авторы программы: В.А.Гордин
Д.И.Пионтковский
Г.Е.Пунинский
еще рефераты
Еще работы по разное
Реферат по разное
Методические рекомендации для выполнения контрольной работы по дисциплине «Управление персоналом»
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Методические рекомендации по составлению аналитического отчета школы (источник: Справочник руководителя образовательного учреждения №05 май 2003)
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Методические рекомендации к проведению педагогического совета в образовательных учреждениях Северного округа города Москвы Общие вопросы по подготовке и проведению педагогического совета
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Методические рекомендации по составлению плана работы совета директоров акционерного общества Общие положения
17 Сентября 2013