Реферат: Планирование эксперимента и обработка результатов методические указания к самостоятельной работе по курсу «Методы планирования и обработки экспериментов» для студентов специальности

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления


ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ


Методические указания
к самостоятельной работе по курсу

«Методы планирования и обработки экспериментов»

для студентов специальности
290300 заочной формы обучения.


Одобрено

редакционно-издательским советом

Балаковского института техники,

технологии и управления


Балаково 2009
^ Общие сведения
Настоящие методические указания составлены в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Изучение курса «Методы планирования и обработки экспериментов» базируется на знании дисциплин «Математика», «Сопротивление материалов» и «Строительные материалы». Задачами данного курса являются изучение методов планирования и обработки экспериментов строительных конструкций.

В настоящих методических указаниях приведены краткие сведения по пяти темам, охватывающим в целом курс «Методы планирования и обработки экспериментов». Изложены полный и дробный факторные эксперименты. В конце каждой темы приведены вопросы для самоконтроля. В конце методических указаний дается список литературы. В доступной для студентов форме рассматривается суть метода планирования эксперимента, что позволит студентам самостоятельно изучать теоретический материал по данному курсу.

Данные методические указания предназначены для студентов заочного обучения при самостоятельном изучении теоретического материала по курсу «Методы планирования и обработки экспериментов».
^ ТЕМА 1. ПАРАМЕТР ОПТИМИЗАЦИИ
Краткие сведения


1.1. Виды параметров оптимизации

При планировании экстремального эксперимента важно определить параметр, который нужно оптимизировать. Сделать это не так просто. Цель исследования должна быть сформулирована чётко и допускать количественную оценку. Будем называть характеристику цели, заданную количественно, параметром оптимизации. Параметр оптимизации является  реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной вами системы. Реакция объекта многогранна, многоаспектна. Выбор того аспекта, который представляет наибольший интерес, задается целью исследования [1].

При традиционном, не математическом, подходе исследователь стремится как-то учесть разные аспекты, взвесить их и принять согласованное решение о том, какой опыт, лучше. Однако разные экспериментаторы проведут сравнение опытов не одинаково. Прежде чем сформулировать требования к параметрам оптимизации и рекомендации по их выбору, познакомимся с различными видами параметров.

В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными. Реальные ситуации сложны, поэтому они требуют одновременного  учёта нескольких  параметров. Движение к оптимуму возможно, если выбран один единственный параметр оптимизации. Тогда прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями. Другой путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от множества исходных.

Чтобы ориентироваться в этом многообразии при выборе параметров, ввёдем некоторую классификацию. Наша задача – построить такую  условную схему, которая включала бы ряд практически важных  случаев и помогала бы экспериментатору ориентироваться в реальных ситуациях.

Прокомментируем некоторые параметры оптимизации: прибыль, себестоимость и рентабельность. Такие параметры используются при исследовании действующих  промышленных объектов, а затраты на эксперимент  имеет смысл оценивать в любых  исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на эксперимент  пропорциональны числу опытов, которые необходимо поставить для решения данной задачи. Это в значительной мере определяет выбор плана эксперимента.

Среди технико-экономических параметров наибольшее распространение имеет производительность. Такие параметры, как долговечность, надёжность и стабильность связаны с длительными наблюдениями. Имеется некоторый опыт их использования при изучении дорогостоящих ответственных объектов, например радиоэлектронной аппаратуры.

Почти во всех исследованиях приходится учитывать количество и качество получаемого продукта. Как меру количества используют выход, например, процент выхода химической реакции, выход годных изделий. Показатели качества чрезвычайно разнообразны. Характеристики количества и качества продукта образуют группу технико-технологических параметров.

Под рубрикой «прочие» сгруппированы различные параметры, которые реже встречаются, но не являются менее важными. К таким параметрам можно отнести статистические параметры, которые используются для улучшения характеристик случайных величин или случайных функций. В качестве примеров назовём задачи на минимизацию дисперсии случайной величины, на уменьшение числа выбросов случайного процесса за фиксированный уровень и т.д. Последняя задача возникает при выборе оптимальных настроек автоматических регуляторов или при улучшении свойств нитей (проволока, пряжа, искусственное волокно и др.)

С ростом сложности объекта возрастает роль психологических аспектов взаимодействия человека или животного с объектом. Так, при выборе оптимальной организации рабочего места оператора параметром оптимизации может служить число ошибочных действия в различных возможных ситуациях.

При решениях задач технической эстетики или сравнении произведений искусства возникает потребность в эстетических параметрах. Они основаны на ранговом подходе. Таковы некоторые виды параметров оптимизации.

Рассмотрим следующий пример. Во время 2-й мировой войны несколько сот английских торговых судов в Средиземном море были вооружены зенитными орудиями для защиты от вражеских бомбардировщиков. Поскольку это мероприятие было достаточно дорогим (требовалось иметь на каждом судне боевую команду) через несколько месяцев решили оценить его эффективность. Какой из параметров оптимизации более подходит для этой цели? Число сбитых самолётов или потери в судах, оснащенных орудиями, по сравнению с судами без орудий. Вы полагаете, что эффективность установки орудий на торговые суда можно оценить сопоставлением потерь в судах, оснащенных орудиями, с потерями в судах без орудий. Это разумный выбор параметра оптимизации, потому что основной задачей при установке орудий была защита судов. Самолёты вынуждены были теперь использовать противозенитные маневры и бомбардировать с большей высоты, что уменьшало потери. Из числа атакованных самолётами торговых судов с зенитными орудиями было потоплено 10% судов, а потери в судах без орудий составили 25%. Затраты на установку орудий и содержание боевых расчетов окупились очень быстро.

1.2. Требования к параметру оптимизации

Параметр оптимизации – это признак, по которому хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Мы должны уметь его измерять при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, будем называть областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченным. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100% . Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

^ Уметь измерять параметр оптимизации – это значит располагать подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может не существовать или он слишком дорог. Если нет способа количественного измерения результата, то приходится воспользоваться приёмом, называемым ранжированием (ранговым подходом). При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т.д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения: да, нет, хорошо, плохо. Это может соответствовать, например, годной продукции и браку [2].

Ранг – это количественная оценка параметра оптимизации, но она носит условный (субъективный) характер. Здесь ставится в соответствие качественному признаку некоторое число – ранг. Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации можно построить ранговый аналог. Потребность в построении такого аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении исследователя численные характеристики неточны или неизвестен способ построения удовлетворительных численных оценок. При прочих равных условиях всегда необходимо отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый подход менее чувствителен и с его помощью трудно изучать тонкие эффекты.

Другие примеры рангового подхода: определение чемпиона мира по фигурному катанию или гимнастике, дегустация вин, сравнение продуктов по цвету, прозрачности, форме кристаллов.

Следующее требование: параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Иногда это получается естественно, как регистрация показания прибора. Например, скорость движения машины определяется числом на спидометре. Чаще приходится производить некоторые вычисления. Так, например, при определении предела прочности; при расчете выхода реакции. В химии часто требуется получать продукт с заданным отношением компонентов, например, А:В=3:2. Один из возможных вариантов решения подобных задач состоит в том, чтобы выразить отношение одним числом (1,5) и в качестве параметра оптимизации пользоваться значениями отклонений (или квадратов отклонений) от этого числа [2].

Еще одно требование, связанное с количественной природой параметра оптимизации – однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. Однако обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов [3].

Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле. Это требование является главным, определяющим корректность постановки задачи.

Представление об эффективности не остается постоянным и в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов. Говоря об оценке эффективности функционирования системы, важно помнить, что речь идёт о системе в целом. Часто система состоит из ряда подсистем, каждая из которых может оцениваться своим локальным параметром оптимизации. При этом оптимальность каждой из подсистем по своему параметру оптимизации не исключает возможности гибели системы в целом [3].

Эффективный параметр оптимизации должен быть эффективным в статистическом смысле. Это требование сводится к выбору параметра оптимизации, который определяется с наибольшей возможной точностью. Если и эта точность недостаточна, тогда приходится обращаться к увеличению числа повторных опытов.

Пусть, например, нас интересует исследование прочностных характеристик некоторого сплава. В качестве меры прочности можно использовать как прочность на разрыв, так и макротвёрдость. Поскольку эти характеристики функционально связаны, то с точки зрения эффективности они эквиваленты. Однако точность измерения первой характеристики существенно выше, чем второй. Требование статистической эффективности заставляет отдать предпочтение прочности на разрыв.

Следующее требование к параметру оптимизации – требование универсальности или полноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект. В частности, технологические параметры оптимизации недостаточно универсальны: они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщённые параметры оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных параметров [4].

Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым. Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов эксперимента. Не представляет труда, объяснить, что значит максимум извлечения, максимум содержания ценного компонента. Эти и подобные им технологические параметры оптимизации имеют ясный физический смысл, но иногда для них

может не выполняться требование статистической эффективности. Тогда рекомендуется переходить к преобразованию параметра оптимизации. Преобразование типа , может сделать параметр оптимизации статистически эффективным (дисперсии становятся однородными), но остаётся неясным: что же значит достигнуть экстремума этой величины?

Второе требование часто также оказывается существенным. Для процессов разделения термодинамические параметры оптимизации более универсальны. Однако на практике ими пользуются мало: их расчет довольно труден. Пожалуй, из этих двух требований первое является более существенным, потому что удается найти идеальную характеристику системы и сравнить её с реальной характеристикой. Иногда при этом целесообразно нормировать параметр с тем, чтобы он принимал значения от нуля до единицы.

Кроме высказанных требований и пожеланий при выборе параметра оптимизации нужно ещё иметь в виду, что параметр оптимизации в некоторой степени оказывает влияние на вид математической модели исследуемого объекта. Экономические параметры, в силу их аддитивной природы, легче представляются простыми функциями, чем физико-механическими показателями. Не случайно методы линейного программирования, основанные на простых моделях, получили широкое распространение именно в экономике. Температура плавления сплава является сложной, многофункциональной характеристикой состава, тогда как стоимость сплава зависит от состава линейно.

Итак, найти параметр оптимизации, удовлетворяющий всем требованиям, довольно сложная задача.


Выводы

Параметр оптимизации – это реакция (отклик) на воздействие факторов, которые определяют поведение изучаемой системы. Параметры оптимизации бывают экономическими, технико-экономическими, технико-технологическими, статистическими, психологическими и т.д.

Параметр оптимизации должен быть:

эффективным с точки зрения достижения цели;

универсальным;

количественным и выражаться одним числом;

статистически эффективным;

имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым;

существующим для всех различных состояний.

В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. В ходе исследования могут меняться априорные представления об объекте исследования, что приводит к последовательному подходу при выборе па-


раметра оптимизации.

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, только один, часто обобщенный, может служить параметром оптимизации. Остальные рассматриваются как ограничения.

^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется параметром оптимизации?

2. Назовите виды параметров оптимизации.

3. Какие требования предъявляются к параметру оптимизации?

^ ТЕМА 2. ФАКТОРЫ

Краткие сведения


2.1. Определение фактора

Рассмотрим способы воздействия на оптимизируемый объект, которые называются факторами. После выбора объекта исследования и параметра оптимизации, необходимо включить в рассмотрение все существенные факторы, которые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор оказывается неучтенным, то это может привести к неприятным последствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно флуктуировал – принимал случайные значения, которые экспериментатор не контролировал, - это значительно увеличивает ошибку опыта. При поддерживании фактора на некотором фиксированном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, так как нет гарантии, что фиксированный уровень является оптимальным [4].

Число различных состояний объекта определяется по формуле:

,

где ^ N- число различных состояний;

Р – число уровней;

k – число факторов.

При анализе этой формулы возникает вопрос: как преодолеть большое число опытов? Чем больше факторов, тем больше опытов, так как число опытов растет по показательной функции. В этих условиях вынуждены отказаться от таких экспериментов, которые включают все возможные опыты: перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос: сколько и каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу?

Здесь и приходит на помощь планирование эксперимента. Однако следует обратить внимание на важность выбора факторов, влияющих на процесс, на опасность пропуска существенного фактора. От удачного выбора факторов зависит успех оптимизации.

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент определённое значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования.

Так же, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Фактор считается заданным, если вместе с его названием указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые может принимать данный фактор. Совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множества значений, образующих область определения.

^ Область определения может быть непрерывной и дискретной (прерывистой). В тех задачах планирования эксперимента, которые рассматриваются на практике, используются дискретные области определения. Для факторов с непрерывной областью определения (температура, время, количество вещества и т.п.) всегда выбираются дискретные множества уровней. Факторы разделяются на количественные и качественные. Качественные факторы – это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т.д. Несмотря на то, что качественным факторам не соответствует числовая шкала в том смысле, как это понимается для количественных факторов, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда, т.е. производит кодирование. Порядок уровней может быть произволен, но после кодирования он фиксируется [3].

В ряде случаев граница между понятием качественного и количественного фактора условна. Пусть, например, при изучении воспроизводимости результатов химического анализа надо установить влияние положения тигля с навеской в муфельной печи. Можно разделить под печи на квадраты и считать номера квадратов уровнями качественного фактора, определяющего положения тигля. Вместо этого можно ввести два количественных фактора – ширину и длину пода печи. Качественным факторам не соответствует числовая шкала, и порядок уровней факторов не играет роли.

Количественным факторам наоборот соответствует числовая шкала и вполне определен порядок уровней. Так при подборе оптимального состава эпоксидного полимерраствора в качестве факторов приняты количественные факторы: пластификатор, отвердитель, наполнитель в определённых количествах и уровнях. При решении задач по оптимизации на реальных строительных объектах принимаются, как правило, количественные факторы.


2.2. Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента

При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т.е. может управлять фактором. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Чтобы точно определить фактор, необходимо указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора называется операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.

^ С операциональным определением связаны выбор размерности фактора и точность его фиксирования. Традиционно считают, что выбор размерности фактора не представляет особой трудности. Экспериментатор хорошо ориентируется в том, какую размерность нужно использовать. Это действительно так в тех случаях, когда существует устоявшаяся традиция, построены измерительные шкалы, приборы, созданы эталоны и т.д. Так обстоит дело при измерении температуры, времени, давления и т.д. Но бывает, что выбор размерности превращается в весьма трудную проблему выбора измерительных шкал, сложность которой далеко выходит за рамки нашего рассмотрения. Замена одной измерительной шкалы другой называется преобразованием шкал. Оно может быть использовано для упрощения модели объекта.

Точность замера факторов должна быть как можно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах учитывать, быть может, доли секунды. Если факторы измеряются с большой ошибкой или особенность объекта исследования такова, что значения факторов трудно поддерживать на выбранном уровне (уровень фактора «плывет»), то экспериментатору следует обратиться к конфлюэнтному анализу.

Факторы должны быть непосредственными воздействиями на объект. Факторы должны быть однозначными. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать сложные факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т.п. Необходимость введения сложных факторов возникает при желании представить динамические особенности объекта в статической форме. Пусть, например, требуется найти оптимальный режим подъема температуры в реакторе. Если относительно температуры известно, что она должна нарастать линейно, то в качестве фактора вместо функции (в данном случае линейной) можно использовать тангенс угла наклона, т.е. градиент. Положение усложняется, когда исходная температура не зафиксирована. Тогда её приходится вводить в качестве ещё одного фактора. Для более сложных кривых пришлось бы ввести большее число факторов (производных высоких порядков, координаты особых точек и т.д.). Поэтому целесообразно пользоваться сложным качественным фактором – номером кривой. Различные варианты кривых рассматриваются в качестве уровней. Это могут быть разные режимы работы термообработки сплавов, переходные процессы в системах управления и т.д.


2.3. Требования к совокупности факторов

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому важно сформулировать требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего, выдвигается требование совместимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны. Это очень важное требование. Если не обращать внимания на это требование совместимости факторов и запланировать такие условия опыта, которые могут привести к взрыву установки или осмолению продукта, то такой результат очень далёк от целей оптимизации.

Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. Одно из возможных решений – разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач.

При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент. Отсюда выходит второе требование – отсутствие корреляции (взаимосвязи) между факторами. Требование некоррелированности не означает, что между значениями факторов нет никакой связи. Достаточно, чтобы связь не была линейной.


2.4. Области применения планирования эксперимента

Области практических приложений планирования эксперимента многообразны: химия, металлургия, биология, медицина, обогащение полезных ископаемых, строительство, пищевая и текстильная промышленность, сельское хозяйство, военное дело и др. Применяется планирование эксперимента и в несколько неожиданных областях исследования, в таких как геронтология (наука о долголетии), при классификации образцов древней керамики, в хлебопечении и табачном деле. Там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении – планирование эксперимента. В зависимости от объектов исследования меняются и факторы.


Выводы

Итак, установлено, что факторы – это переменные во времени, соответствующие способам воздействия внешней среды на объект. Они определяют как сам объект, так и его состояние. Требования к факторам: управляемость и однозначность. Управляемость фактором – это значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течении опыта или менять по заданной программе. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования. Трудно управлять фактором, если он является функцией других переменных, но в планировании эксперимента могут участвовать сложные факторы, такие как логарифмы, соотношения и т.д. Факторы должны быть определены операционально.

^ Требования к совокупности факторов: совместимость и отсутствие линейной корреляции. Выбранное множество факторов должно быть достаточно полным. Если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведёт к неправильному определению оптимальных условий или к большой ошибке опыта. Факторы могут быть количественными и качественными.

Точность фиксации факторов должна быть высокая. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов.

Выбор факторов очень ответственный этап при подготовке к планированию эксперимента. От удачного выбора факторов зависит успех оптимизации.

^ КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется фактором?

2. Какие требования предъявляются к факторам при планировании эксперимента?

3. Какие требования предъявляются к совокупности факторов?

4. Назовите виды факторов.

^ ТЕМА 3. ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Краткие сведения


3.1. Основные определения

Под моделью понимается вид функции отклика

.

^ Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать её уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Но как выбрать модель?

Для решения этого вопроса построим сначала геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Будем для наглядности рассматривать случай с двумя факторами. В случае многих факторов геометрическая наглядность теряется, и при этом попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет навыка ориентирования. Приходится переходить на язык алгебры. Тем не менее, простые примеры, которые будут рассмотрены, помогут при работе со многими факторами.

Ставится задача: геометрически изобразить возможные состояния «черного ящика» с двумя входами. Для этого достаточно располагать плоскостью с Декартовой системой координат. По одной оси координат в некотором масштабе откладываются значения (уровни) одного фактора, а по другой оси – второго. Тогда каждому состоянию «черного ящика» будет соответствовать точка на плоскости.

Для факторов существует область определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальные и максимальные возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям «черного ящика» (рис. 1).



Рис.1. Область определения факторов


Пунктирными линиями на рисунке обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения.

Чтобы указать значение параметра оптимизации, требуется ещё одна ось координат. Если её построить, то поверхность отклика будет выглядеть как на рис.2 .



Рис.2. Поверхность отклика

Пространство, в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При более двух факторах поверхность отклика нельзя изобразить наглядно и тогда приходится переходить на язык алгебры.

Но для двух факторов можно не переходить к трёхмерному пространству, а ограничиться плоскостью. Для этого достаточно произвести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости Х­­­­10Х2, и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость. Так строят, например, изображения гор и морских впадин на географических картах (рис.3).

Рис.3. Проекция сечений поверхности отклика на плоскость:

а – поверхность отклика, полученная путем проекции сечений на плоскость;

б – получение замкнутых кривых путем проекции сечений

(изображение гор и впадин на картах)


Точка М на рис.3 – это и есть та оптимальная точка, которую необходимо найти. Каждая замкнутая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика.

После того, как рассмотрели вопрос о представлении поверхности отклика, необходимо перейти к основному вопросу: как ставить эксперимент, чтобы найти оптимум при минимуме затрат? Это прежде всего вопрос стратегии.

При наличии таблицы, в которой содержались бы все возможные состояния объекта и соответствующие им отклики, то отпала бы необходимость в построении математической модели. При этом было бы выбрано то состояние, которое соответствует наилучшему отклику. Но при наличии большого перебора возможных состояний вынуждены отказаться от практической реализации этой возможности.

Другая возможность – случайный выбор некоторого числа состояний и определение откликов в них, в надежде, что среди этих состояний окажутся оптимальное или близкое к нему состояния. Но такая интересная возможность маловероятна и не вписывается в нашу тему.

Наконец, третья возможность – строить математическую модель, чтобы с её помощью предсказывать значения откликов в тех состояниях, которые не изучались экспериментально. Если нет возможности измерить отклик в каждом состоянии, то сумеем хотя бы предсказать результат. Причем даже не в каждом состоянии, а только в наиболее интересных, в тех, которые приближаются к оптимальному.

Такая стратегия приводит нас к шаговому принципу, лежащему в основе рассматриваемого метода планирования эксперимента.


3.2. Шаговый принцип

За отказ от полного перебора состояний надо чем-то платить. Цена – это предположения, которые ставятся относительно свойств неизвестной модели до начала эксперимента (априори). Некоторые из предположений никогда не могут быть проверены. Такие предположения называются постулатами. Если в действительности предположения не выполняются, то оптимум не может быть найден. Точнее, за оптимум ошибочно принимается то, что на самом деле им не является.

О свойствах поверхности отклика принимают следующие предположения. Главное – это непрерывность поверхности, её гладкость и наличие единственного оптимума (быть может, на границе области определения). Эти постулаты позволяют представить изучаемую функцию в виде степенного ряда в окрестности любой возможной точки факторного пространства (такие функции в математике называются аналитическими). Кроме того, если будет найден какой-то способ постепенного приближения к оптимальной точке, необходимо, чтобы результат не зависел от исходной точки. Если оптимум один, то неважно, приближаются к нему справа или слева, а если их несколько, да они ещё не равноценны.

На рис.4 приводятся два случая, изображающие функции отклика для одного фактора.

Рассматривая рисунки 4 а и 4 б можно заметить, что в случае «а» нет нарушений в принятых предпосылках, т.е. здесь показана гладкая непрерывная функция с одним оптимумом. На рис. 4 б много нарушений: два экстремума (оптимума) и пик (нарушение гладкости и непрерывности). Если в поисках оптимума двигаться последовательно слева направо, то найдем наименьший из максимумов и вряд ли обнаружим второй наибольший, т.к. он локализован и остер, что его несложно пропустить и при движении с правого конца, если ставить опыты не во всех точках.

Возможно, обратим внимание на то, что требование непрерывности не согласуется с представлением о дискретных уровнях факторов. Однако, в действительности это не страшно, т.к. можно считать, что фактор принимает непрерывный ряд значений (если даже некоторые значения не имеют смысла или физически нереализуемы). Важно только помнить о таком соглашении при использовании результатов. А для построения математической модели это создает значительные удобства. Если заранее считать, что предпосылки выполняются, то надо максимально использовать возможности, которые при этом открываются.




Рис.4. Примеры функций отклика для одного фактора


Если, например, известны значения параметра оптимизации в нескольких соседних точках факторного пространства, то в силу гладкости и непрерывности функции отклика можно представить результаты, которые можно ожидать в других соседних точках. Следовательно, можно найти такие точки, для которых ожидается наибольшее увеличение (или уменьшение, если требуется минимум) параметра оптимизации. Тогда ясно, что следующий эксперимент следует переносить именно в эти точки, т.е. надо продвигаться в этом направлении, пренебрегая остальными. Вот где экономятся опыты. Сделав новый эксперимент, снова можно оценить направление, в котором, скорее всего, следует двигаться. Это и есть шаговый принцип.

Для понимания шагового принципа вводятся пояснения. В факторном пространстве выбирается какая-то точка и рассматривается множество точек в её окрестности, т.е. выбирается в области определения факторов малая подобласть. Здесь предусматривается проведение эксперимента, на основании которого должна быть построена первая модель. Эта модель используется для предсказания результатов опытов в тех точках, которые не входят в эксперимент. Если эти точки лежат внутри подобласти, то такое предсказание называется интерполяцией, а если вне – экстраполяцией. Чем дальше от области эксперимента лежит точка, для которой предсказывается результат, тем с меньшей уверенностью это можно делать. Поэтому необходимо экстраполировать недалеко и использовать результаты экстраполяции для выбора условий проведения следующего эксперимента. Дальше цикл повторяется.

Полученную модель попутно можно использовать для проверки различных гипотез о механизме изучаемого явления или о его отдельных сторонах. Например, если предположить, что ув