Реферат: Аналитическая статистика. Показатели вариации и анализ частотных распределений методические указания и решение типовых задач

Контрольная работа N2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И АНАЛИЗ ЧАСТОТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ


1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ


Исследование вариации в статистике и социально-экономи­ческих исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризу­ет ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вари­ации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, сред­ний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущ­ность и значение измерения вариации признаков. Следует также усвоить, что изучение вариации признаков общественных явле­ний находится в прямой связи с группировками, в частности с рядами распределения. Очень важно научиться свободно исчис­лять все показатели вариации.

^ Способы вычисления показателей вариации.

Размах ва­риации (R) является наиболее простым измерителен вариации признака:

R=xmax-xmin,

где xmax - наибольшее значенис варьирующего признака, xmin - наименьшее варьирующего признака.

^ Среднее линейное отклонение () представляет собой сред­нюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное среднее линейное отклонение.

Символы xi, , fi , и n имеют то же значение, что и ранее (см. Контрольную работу 1). Рассмотренные выше показатели имеют ту же раз­мерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Пример. На основе данных табл. 7.1 рассчитаем среднее линейное отклонение для дискретного ряда распределения.

Решение. Размах вариации стажа равен:

R = 12 - 8 = 4 года.

Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 3-5 табл.1. Средний стаж работы определяем по формуле средней ариф­метической взвешенной:

= 10 лет.

Отклонения индивидуальных значений стажа от средней с уче­том и без учета знака содержатся в графах 4 и 5, а произведения отклонений по модулю на соответствующие частоты - в гр. 6.

^ Таблица 1. Распределенне учителей средних школ по стажу работы

Стаж работы, лет

Число учителей в % к итогу fi


xi fi





fi

1

2

3

4

5


6

8

14

112

-2

2


28


9

20

180

-1

1


20


10

30

300

0

0


0


11

24

264

1

1

24


12

12

144

2

2

24


Итого

100

1000

0

-

96

Среднее линейное отклонение стажа работы учителей средних школ района: = 0,96 года.

Показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения являются общепринятыми мерами в статистических исследованиях

Дисперсия вычисляется по формулам:

- невзвешенная; - взвешенная.

^ Среднее квадратнческое отклюненне вычисляется по формулам:- невзвешенное,

-взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение - величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.

Пример. Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для следующего ряда распределения (табл. 2).

Таблица 2. Распределение магазинов города по товарообороту во 2 КВАРТАЛЕ 1998 года

Группы магази­нов по величине товарооборота, тыс.$

Число

магази­нов f,


Середи­на ин­тервала, тыс. $. xi

xi fi







А

1

2

3

4

5

6

40-50

2

45

90

-49,2

2420,64

4S41.28

50 -60

4

55

220

-39,2

1536,64

6146,56

60-70

7

65

455

-29,2

852,64

5968,48

70-80

10

75

750

-19,2

368,64

3686,40

80-90

15

85

1275

-9,2

84.64

1269,60

90 - 100

20

95

1900

0,8

0,64

12,80

100- 110

22 ' 105

2310

10,8

116,64

2566,08

110- 120

11

115

1265

20.64

432,64

4759,04

120 - 130

6

125

750

30,8

948,64

5691,84

130 - 140

П

135

405

40,8

1664.64

4993,92

Итого

100

0

9420

-

—

39936,00


Решение. В приведенных ранее примерах мы имели дело с дискретными рядами. При расчете показателей вариации по интервальным рядам распределения (табл.2) необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальней. шие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискрет, ный ряд распределения. Результаты вспомогательных расчетов для определения дис­персии и среднего квадратического отклонения содержатся в груфах 2-6 табл. .2.

Средний размер товарооборота определяется по средней арифметической взвешенной и составляет:

= 94,2 тыс. $.

Дисперсия товарооборота :  399,36.

Среднее квадратическое отклонение товарооборота опреде­ляется как корень квадратный из дисперсии:

 =20 тыс. $.

Расчет дисперсии прямым способом в ряде случае трудоемок, поэтому логично, используя свойства дисперсии, упростить ее вычисления, например, используя расчет дисперсии по способу отсчета от условного нуля или способу моментов по общей формуле:



С использованием начальных моментов формула дисперсии по способу моментов имеет следующий вид:

=k2(m2-m1),

где k - величина интервала, А - условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой,

- начальный момент первого порядка;


- начальный момент второго порядка.

В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает вид:

.

Воспользуемся данными предыдущего примера и рассчита­ем дисперсию по способу отсчета от условного нуля и способу моментов. Расчет произведем в табличной форме (табл..3).

Таблица .3

Группы магази­нов по товаро­обороту,

тыс. $.

Число

магазинов fi



Середина

интерва­ла, тыс. $. xi,

xi-A

(А=95)



(xi-A)/k

(k=10)

(xi-A)fi/k


(xi-A)2fi/k

xi2

xi2fi


40-50

2

45

-50

-5

-10

50

2025

4050

50-60

4

55

-40

-4

-16

64

3025

121100

60-70

7

65

-30

-3

-21

63

4225

29575

70-80

10

75

-20

-2

-20

40

5625

56250

80-90

15

85

-10

-1

-15

15

7225

108375

90-100

20

95

1

0

0

0

9025

180500

100-110

22

105

10

1

22

22

11025

242550

110-120

11

115

20

•>

22

44

13225

145475

120-130

6

125

30

3

18

54

15625

91750

130-140

3

135

40

4

12

48

18225

54675

Итого

100

-

-

-

-8

400

-

927730


По способу отсчета от условного нуля:



По способу моментов получаем:



По способу разности между средней квадратов вариантов признака и квадратом их средней величины




Результаты расчетов дисперсии по всем трем способам дают одну и ту же величину. Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемо­сти одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вы­числяются как отношение размаха, или среднего линейного от­клонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превыша­ет 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):


Коэффициент осцилляции: .

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент вариации:

Наиболее часто в практических расчетах из этих трех пока­зателей применяется коэффициент вариации.

Статистическое изучение вариации многих социально-эконо­мических явлений проводится и при помощи дисперсии альтер­нативного признака, Обозначим наличие данного признака 1, от­сутствие 0, долю вариантов, обладающих данным признаком, р, а не обладающих им q. Так как ряд р + q = 1, то средняя = р, а дисперсия альтернативного признака  = pq, где р =m/n, n - число наблюдений, m - число единиц совокупности, облада­ющее данным признаком, q = 1 - р.

Определим дисперсию альтернативного признака по следую­щим данным: налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 обнаружены финан­совые нарушения. Тогда

n= 172, m = 146; p=0.85: q = 1 - 0,85 = 0,15;  = 0,85 • 0,15 = 0,1275.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупнос­ти в целом часто бывает необходимо проследить количествен­ные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вари­ации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.

^ Правило сложения дисперсий. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую межгрупповую и внутригрупповую.

^ Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей со­вокупности под влиянием всех факторов,, обусловливающих эту вариацию:



^ Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т. е. различия в величине изучаемого признака, возни­кающие под влиянием признака-фактора, положенного в основа­ние группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где и ni - соответственно средние и численности по отдельным группам.

^ Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т. е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом: .

Средняя из внутригрупповых дисперсии:

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий: .

Данное соотношение называют правилом сложения диспер­сий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих влиянием нием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или про­ ерить правильность расчета третьего вида.

Пример. Определим групповые дисперсии, среднюю из груп­повых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по данным табл. 4.

^ Таблица 4 Производительность труда двух бригад рабочих-токарей

1-я бригада

2-я бригада


№

Изготовлено

деталей за час, шт.

xi








№

Изготовлено

деталей за час, шт. xi















1

13

-2

4

7

18

-3

9

2

14

-1

]

8

19

-2

4

3

15

0

0

9

22

1

1

4

17

2

4

10

20

-1

1

5

16

1

1

11

24

3

9

6

15

0

0

12

23

2

4

90




10

126




24


Решение.

; .

Средняя из групповых дисперсий: Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого пред­варительно определим общую среднюю как среднюю взвешен­ную из групповых средних и определим межгрупповую дисперсию: . Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дис­персии

.

На основании правила сложения дисперсий можно опреде­лить показатель тесноты связи между группировочным (фактор­ным) и результативным признаками. Он называется эмпиричес­ким корреляционным отношением .

Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочным и результативным признаками.

Наряду с вариацией индивидуальных значении признака вок­руг средней может наблюдаться и вариация индивидуальных долей признаки вокруг средней доли. Такое изучение вариа­ции достигается посредством вычисления и анализа следующих видов дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий: .


Формула межгрупповой дисперсии имеет вид:


где ni - численность единиц в отдельных группах;

Общий дисперсия имеет вид; .

Три вида дисперсии связаны между собой следующим обра­зом:

Данное соотношение дисперсий называется теоремой сложе­ния дисперсии доли признака. Эта теорема широко используется в изучении колеблемости качественных признаков.

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и оценку его сим­метричности, остро- или плосковсршинности. Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вари­антов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В статистике для характеристики асиммет­рии пользуются несколькими показателями.

^ Показатели асимметрии и эксцесса. Степень асимметрии может быть определена с помощью коэффициента асимметрии:

, где - средняя арифметическая ряда распределения; Мо - мода;  - среднее квадрагическое отклонение.

При симметричном (нормальном) распределении =Мо, сле­довательно, коэффициент асимметрии равен нулю. Если As > 0, то больше моды, следовательно, имеется правосторонняя асиммет­рия.

Если As < 0, то меньше моды, следовательно, имеется ле­восторонняя асимметрия. Коэффициент асимметрии может из­меняться от -3 до +3.

В практических расчетах часто в качестве показателя асим­метрии применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда

в кубе, т. е. .

Это дает возможность определить не только величину асим­метрии, но и проверить наличие асимметрии в генеральной сово­купности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независи­мо от знака) считается значительной. Асимметрия меньше 0,25 - незначительная.

Для симметричных распределений может быть также рассчи­тан показатель эксцесса:

^ При симметричном распределении ЕK = 0. Если ЕK > 0, рас­пределение является о стровершинным; если EK<0 - плосковершинным.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпи­рическое распределение к типу нормального распределения.

Построение нормального распределения по эмпирическим данным. Имея дело с эмпирическим распределением, можно предположить, что данному распределению соответствует опре­деленная, характерная для него теоретическая кривая. Выдвинув гипотезу о той или иной форме распределения, стремятся опи­сать эмпирический ряд с помощью математической модели, выражающей некоторый теоретический закон распределения. Среди различных кривых распределения особое место занимает нормальное распределение.

Нормальное распределение чаще всего выражается следую­щей стандартизованной кривой нормального распределения:

, где .


Критерии согласия. Количественная характеристика соответ­ствия может быть получена с помощью особых статистических показателей-критериев согласия. Известны критерии согласия К. Пирсона (хи-квадрат), В. И. Романовского, Б. С. Ястремского и А. Н. Колмогорова.

Критерий согласия Пирсона () вычисляется по формуле:

.

С помощью величины по специальным таблицам прило­жения определяется вероятность Р (). Входами в таблицу явля­ются значения число степеней свободы  = n - 1. На основе Р выносится суждение о существенности расхождения между эм­пирическим и теоретическим распределениями. При Р > 0,5 счи­тается, что эмпирическое и теоретическое распределения близ­ки. При Р в интервале (0.2;0.5} совпадение между ними удовлетворитель­ное, в остальных случаях недостаточное.

Критерий Романовского (С), также используемый для при, верки близости эмпирического и теоретического распределении определяется следующим образом: .

При С < 3 различие несущественно, что позволяет считать эмпирическое распределение близким к нормальному.

^ Критерий Ястремского (L) может быть найден на основе следующего соотношения:


, где N - объем совокупности; pq - дисперсия альтернативного признака;

K - число вариантов или групп:, Q - принимает значение 0.6, при числе вариантов или групп от 8 до 20.

Если L < 3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

Критерий Колмогорова () вычисляется по формуле: .

где D - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами

Необходимым условием использования этого критерия явля­ется достаточно большее число наблюдений (не меньше 100).

^ Характеристики вариационного ряда.

Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в диск­ретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух зна­чений признака, расположенных в середине ряда.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накоплен­ных частот ряда. Наращивание продолжается до получения на­копленной суммы частот, впервые превышающей половину.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле



где хMo - нижняя граница значения интервала, содержащего моду; iMo - величина модального интервала;

fMo - частота модального интервала.
0>^ Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле:
,

где хMe - нижняя граница значения нтгтервала, содержащего медиану; iMe – величина медианного интервала;

SMe-1 сумма накопленных частот предшествующих медианному интер­валу; fМе - частота медианного интервала.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 5. Mo=772 $. Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 $. Me=780 $. Таким образом, половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи - более 780 $.

Т а б л н ц а 5. Распределение сеней города по размеру средне-душевого

дохода в январе 1998 г.

Группы семей по размеру дохода, $

Число семей

Накопленные частоты

Накопленные частоты, % к итогу

До 500

600

600

6

500-600

700

1 300

13

600-700

1 700

3 000

30

700-800

2 500

5 500

55

800-900

2 200

7 700

77

900-1000

1 500

9 200

92

Свыше 1000

800

10 000

100

Итого

10 000

-

-


Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку едини­цы ранжированного ряда. Например, можно найти значение при­знака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «децили» и «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (q1), отделяющий 1/4 часть сово­купности с наименьшими значениями признака, и квартиль вер­хний (Q3), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями при­знака. Средним квартилем Q2 является медиана.

^ Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

, .

^ |ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Распределение студентов одного из факультетов по воз­расту характеризуется следующими данными:

возраст

студентов,

лет



17



18



19



20



21



22



23



24



Всего

Число

студентов


20


80


90


110


130


170


90


60


750


Вычислите: а) размах вариации: б) среднее линейное откло­нение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) относ ительные показатели вариации возраста студентов.

2. Определите среднюю длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы и вычислите все показатели вариации, если известны:

Длина пробега за один рейс. км

Число рейсов за квартал

30-50

20

50-70

25

70-90

14

90-110

18

110-130

9

130-150

6

Всего

92


3. Имеется следующий ряд распределения телеграмм, при­нятых отделением связи, по числу слов:

Количество слов




в телеграмме

Число телеграмм

12

18

13

22

14

34

15

26

16

20

17

13

18

7

Итого

140



Рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации.

4. Средняя урожайность зерновых культур в двух районах за 1991 - 1995 гг. Характеризуется следующими данными , ц/га




1991

1992

1993

1994

1995

1 р-н

30

20

23

16

22

2 р-н

25

34

30

28

29


Рассчитайте все показатели вариации. Опеределите, в каком районе урожайность зерновых более устойчива


5. Имеются следующие данные выборочного исследования студентов одного из вузов


Затраты времени на дорогу до ин­ститута. ч

Число студентов, % к итогу

До 0,5

7

0.5-1,0

18

1,0-1,5

32

1.5-2.0

37

Свыше 2,0

6

Всего

100

Вычислите абсолютные и относительные показатели вариа­ции.

^ 6. Имеются следующие данные о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине:

Группы скважин по глубине, м

Число скважин

До 500


4


500-1000

9

1000-1500

17

1500-2000

8

Свыше 2000

2

Итого

40

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, применяя способ моментов и отсчета от ус­ловного нуля.

7. Акционерные общества области по среднесписочной численности работающих на 1 января 1998 г. распределялись следующим обпазом:

Группы АО

по средне­

списочной

числен­

ности ра­

ботающих



до

400





400-

600





600-

800





800-

1000





1000-

1200





1200-

1400





1400-

1600





1600-

1800





Итого



Количество

АО


11


23


36


42


28


17


9


4


170


Рассчитайте: а) среднее линейное отклонение; б) диспер­сию; в) среднее квадрат и чес кое отклонение; г) коэффициент вариации.

8. По данным о распределении сельских населенных пунк­тов по числу дворов вычислите общую дисперсию тремя спосо­бами: а) обычным; б) упрощенным; в) по формуле .


Населенные

пункты по числу дворов

Число населенных

пунктов, % к итогу

До 100

101-200

201-300

301-400

Свыше 400

15,5

28,6

21,7

20,3

13,9

Итого

100,0


9. Имеются следующие данные о распределении сотрудни­ков коммерческого банка по среднемесячной заработной плате:

Группы сотрудни­

ков по среднеме­

сячной заработной

плате, тыс. руб.


Количество

сотрудников, чел.



До 3

14

3-4

22

4-5

25

5-6

29

6-7

10

7-8

8

8-9

6

9-10

5

Свыше 10

3

Итого

122


Определите общую дисперсию тремя способами: а) обычным;

б) упрощенным; в) по формуле

10. Средняя величина признака в совокупности равна 19, а средний квадрат индивидуальных значении этого признака - 397. Определите коэффициент вариации.

11. Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индиви­дуальных его значений - 130. Чему равна средняя?


12. Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение - 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.

13. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя - 15. Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивиду­альных значений признака от величины, равной 10 и 25.

14. Средняя величина признака равна 14, а дисперсия - 60. Определите средний квадрат отклонений вариантов признака от 1°.

15. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 300, а сама произвольная величи­на равна 70 единицам. Определите дисперсию признака, если известно, что средняя величина его варианта равна 80.

16. Средний квадрат отклонений вариантов признака от некоторой произвольной величины равен 61. Средняя величина признака больше произвольной величины на 6 единиц и равна 10. Найдите коэффициент вариации.

17. Если дисперсия равна 20 000 единицам, а коэффициент вариации - 30%, то каков будет средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 250 единицам?

18. По данным таблицы о распределении пряжи по крепо­сти нити вычислите все виды дисперсий. Определите общую дисперсию по правилу сложения дисперсий.

1 группа пряжи (менее крепкая)

II группа пряжи (балее крепкая)

Крепость нити, г

Число проб

Крепость нити, г

Число проб

120-130

2

200-210

25

130-140

6

210-220

28

140-150

8

220-230

16

150-160

15

230-240

10

160-170

25

240-250

8

170-180

29

250-260

7

180-190

35

260-270

5

190-200

30








19. Товарооборот по предприятиям общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

Предприятие

Доля предприя­тий в общей численности работников, %

Товарооборот в расчете на одного работни­ка, тыс. руб.

Дисперсия

товарооборота в группе

Столовые Кафе, закусочные Рестораны

35

50

15

13

20

26

3,29

36,00

9,00


Определите все виды дисперсии товарооборота предприятии общественного питания.

20. Имеются данные о распределении семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей:

Число детей в семье

Число семей сотрудников по подразделениям




первое

второе

третье

0

4

7

5

1

6


10


13

2

3


3


3

3

2

1

-

Вычислите: а) внутригрупповые дисперсии; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию. Проверьте правильность с помощью правила сложения дисперсий

21. Распределение основных фондов по малым предприятиям отрасли характеризуется следующими данными


Группы предприятий

по стоимости

основных фондов.

тыс. руб.


Число

предприятий


Основные фонды

в среднем

на предприятии,

тыс. руб.


Групповые

дисперсии


12-27

18

18

1,14

27-42

40

32

1,09

42-57

26

4S

1,69

57-72

12

69

1.84

рассчитайте коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.


22. Имеются следующие данные, характеризующие фермер­ские хозяйства региона:

Группы хозяйств по стои­мости удобрении на 1 га зерновых, тыс. руб.

Число хозяйств

Средняя урожайность, ц/га

Дисперсия урожайности в группе

До 1

1-2

2 и более

6

10

7

27

30

34

6,25

3,61

8,41

Определите коэффициент детерминации и эмпирическое кор­реляционное отношение при условии, что посевные площади под черновыми культурами во всех хозяйствах одинаковы. Сде­лайте выводы.

23. Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поставок, по цехам предприятия представлено следующими данными:




Стоимость

В том числе стоимость

Цех

всей произведенной

продукции, тыс. руб.

экспортной продукции. тыс. руб.

1

340

110

2

290

140

3

180

180

Итого

810

410


Вычислите; а) среднюю из внутригрупповых. межгрупповую и общую дисперсию дисперсии доли экспортной продукции; 6) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.


24. Имеются данные о распределении семей города по числу детей.


Число детей

0

1

2

3

4

5

Итого

Число семей,

% к итогу


10


26


29


17


13


5


100


Используя центральные моменты первых четырех порядков, рассчитайте коэффициенты асимметрии и эксцесса. Сделайте выводы,

25. Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 1996 г. характеризуется следующими данными:

Группы магазинов

по размеру товарооборота, тыс. руб.


Число магазинов

Группы магазинов

по размеру товарооборота,

тыс. руб.


Число магазинов

До 200

12

500-600

15

200-300

14

600-700

7

300-400

18

700-800

6

400-500

23

Свыше 800

4

Итого







100


Определите показатели асимметрии и эксцесса распределе­ния магазинов по размеру товарооборота. Сделайте выводы.

26. При исследовании трудовой активности сотрудников организации (отработано человеко-дней за год) получены сред­ние величины и иентоальные моменты




Для мужчин

Для женщин


Центральные

моменты





240

180



1200

2300



-4800

34500



3483000

16835000


Используя показатели асимметрии и эксцесса, сравните ха­рактер распределения мужчин н женщин по трудовой активнос­ти. Сделайте выводы.

27. По данным выборочных обследований домашних хо­зяйств получены средние величины и центральные моменты:




Для годичного зара­

ботка главы семьи

Для среднедушевого

дохода семей


Центральные

моменты





11,8

1



540,0

540



6800.0

13800



83 0000.0

1490000


На основе показателей асимметрии и эксцесса сравните ха­рактер распределения домашних хозяйств по годичному заработку главы семьи и среднедушевому доходу. Сделайте выводы.

28. Распределение 1000 семей по уровню душевого дохода за месяц характеризуется следующими данными:


Группы семей по среднедуцзевому доходу в месяц, руб.




Число

семей



Частоты теоретического

распределения

нормального



логарифми­чески-нормаль­

ного

до 500

50

57

63

500-600

100

90

118

600-700

182

170

189

700-800

163

156

170

800-900

150

148

154

900-1000

120

115

138

1000-1100

107

113

90

1100-1200

70

86

56

1200-1300

48

52

20

1300 и более

10

13

2

Итого

1000

1000

1000


На основе критерия ^2 проверьте, согласуется ли распределе­ние семей по среднедушевому доходу с нормальным или лога­рифмически-нормальным распределением с вероятностью 0,95.

29. По данным задачи 7.28 проверьте близость эмпиричес­кого и теоретического распределении с помощью критериев Романовского и Колмогорова.

30. Результаты экзамена по теории статистики в одной из гтупянцрг.к-мх rnvnn ппйпстявлены в таблице:

Экзаменацион­

ные оценки

Отлично

(5)

Хорошо

(4)


Удовлетво­

рительно

(3)

Неудовлет­

ворительно

(2)

Итого


Число оценок

6

15

4

2

27

Найдите модальный и медианные баллы успеваемости сту­дентов.

31. При изучении качества семян пшеницы было получено следующее распределение семян по проценту всхожести:

Процент

всхожести

70

75

80

85

90

92

95

Свы­

ше 95

Итого


Число

проб,

% к итогу



2



4



7



29



46



8



3



1



100

Рассчитайте моду и медиану.

32. Вычислите моду и медиану количественного состава семей города на основании следующего их распределения по числу совместно проживающих членов семьи:

Число членов

семьи


2


3


4


5


6


7


Итого

Число семей,

% к итогу


15


34


25


16


8


2


100 1


33. С целью исследования качества деталей на предприя­тии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в следующей таблице:

Группы деталей

по весу, г

40-50



50-60



60-70



70-80



80-90



90-100



100-110



110-120



Итого



Число

деталей

2



4



12



18



21



24



11



8



100



Определите моду, медиану, квартили и децили.

34. По нижеследующим данным вычислите моду, медиану и квартили.

Группы порций торфа по влажности, %

Число проб

Группы порций торфа по влажности, %

Число проб

20-22

18

26-28

20

22-24

26

28-30

zo—jl)

12

24-26

34

30-32

6

Итого

—

—

116


35. Рассчитайте моду, медиану, квартили и децили по дан­ным задачи 7.25.

^ 36. Определите моду, медиану, квартили и децили по дан­ным задачи 7.28.


3. Варианты контрольной работы 2

Вариант

ЗАДАЧИ

Вариант

ЗАДАЧИ

1

1

7

16

23

31

16

2

8

17

25

34

2

2

8

17

24

32

17

3

9

18

26

35

3

3

9

18

25

33

18

4

10