Реферат: Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по курсу «основы электроники» Для студентов Iкурса

В.И. Корольков


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО КУРСУ «ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ»


Для студентов I курса

специальности «Радиофизика и электроника»


Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2006




У т в е р ж д е н о

РИС Ученого совета

Российского университета

дружбы народов



Корольков В.И.

Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по курсу «Основы электроники». Для студентов I курса специальности «Радиофизика и электроника».– М.: Изд-во РУДН, 2006. – 24 с.


Методическое руководство содержит теоретические основы и практические рекомендации, необходимые для самостоятельного выполнения индивидуальных заданий по курсу «Основы электроники». Приведены примеры расчета сложных разветвленных электрических цепей на постоянном и переменном токе.

Подготовлено на кафедре радиофизики.


 Издательство Российского университета дружбы народов, 2006

 Корольков В.И., 2006


^ Предварительные замечания.


Программа по курсу «Основы электроники» предусматривает выполнение студентами ряда индивидуальных заданий по расчету разветвленных электрических цепей. Целью настоящего методического руководства является помочь студентам самостоятельно освоить основные методы расчета.

Вариант выполнения индивидуального задания каждый студент получает у преподавателя, ведущего с ним занятия. Расчет конкретной электрической цепи рекомендуется начинать по мере изучения соответствующих материалов на теоретических занятиях.

Выполнение расчетов следует проводить с использованием средств вычислительной техники. В данном руководстве ряд примеров индивидуальных заданий выполнены на компьютере с использованием программы MathCAD. Возможно использование и других математических программ, а также обычный микрокалькулятор для инженерных расчетов.

^ Индивидуальное задание №1.

Расчет разветвленной электрической цепи постоянного тока.


Целью данного учебного задания является освоение пяти основных методов расчета цепей на постоянном токе:

метод, основанный на применении законов Кирхгофа;

метод контурных токов;

метод узловых потенциалов;

метод наложения;

метод эквивалентного генератора.

Для освоения методов предлагается рассчитать параметры электрической цепи, изображенной на рис. 1. Задача состоит в определении значений всех неизвестных токов и расчете падений напряжения на всех элементах электрической цепи.

В рассматриваемой схеме имеется 3 источника напряжения (с соответствующими значениями ЭДС ^ Ei и внутренним сопротивлением ri) и 6 резисторов Rj. Схема содержит NВ=8 ветвей, NУ=5 узлов и NК=4 замкнутых контуров.



Рис. 1. Принципиальная схема разветвленной цепи.


Предположим, что вариант задания содержит следующие исходные данные к расчету электрической цепи:

E1, В

r1, Ом

E2, В

r2, Ом

E3, В

r3, Ом

R1, Ом

R2, Ом

R3, Ом

R4, Ом

R5, Ом

RH, Ом

12

68

20

91

3

51

470

820

680

220

910

47

Рассмотрим решение задачи каждым из упомянутых методов.

^ Метод, основанный на применении законов Кирхгофа

Свойства любой электрической цепи можно установить из уравнений, составленных на основе известных физических законов: закона Ома, первом и втором законах Кирхгофа.

Согласно закону Ома сила тока ^ J в проводнике сопротивлением R пропорциональна напряжению U на его концах:

(1)

Расчет токов, напряжений и ЭДС в разветвленной цепи производится на основе законов Кирхгофа.

Первый закон: алгебраическая сумма сил токов на участках цепи, сходящихся в любой точке разветвления, равна нулю

(2)

Перед составлением уравнений по первому закону Кирхгофа нуж­но сначала в каждой ветви задаться условно-положительным направлением тока. Токам, направленным к узлу, приписывают знак «плюс», а токам, направленным от узла, — знак «минус».

Второй закон: для любого замкнутого контура, выделенного из разветвленной цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на соответствующие сопротивления равна алгебраической сумме всех электродвижущих сил в этом контуре

(3)

При этом, если условно-положительные направления токов через пассивные элементы совпадают с направлением обхода контура, падение напряжения на соответствующем элементе за­писывают со знаком «плюс», если же направление тока через пассивный элемент противоположно направлению обхода контура — со зна­ком «минус». ЭДС соответствующего источника энергии записывают со знаком «плюс», если направление обхода контура совпадает с­ направле­нием стрелки ЭДС, и со знаком «минус» — в противоположном случае.

Зададимся предполагаемыми направлениями токов Jk и направлением обхода (пунктирные стрелки) как это показано на рис. 2.



Рис. 2. Принципиальная схема с предполагаемыми направлениями токов и направлениями обхода контуров.

Далее составим NУ–1 уравнений по первому закону Кирхгофа:

для узла a –J1+ J2– J3=0

для узла c –J2+ I4– J5=0

для узла d –J4– J6+ J7=0

для узла f J5 + J6– J0=0

Составим NК уравнений по второму закону Кирхгофа:

для контура A J1r1– J3R1= E1

для контура B J3R1+J2R2– J5r3–J0R3= E3

для контура C J5r3+J4RH–J6R5= – E3

для контура D J7(r2+R4)+ J6R5+J0R3= E2

Объединим эти уравнения в одну систему, подставим соответствующие значения Ei, ri, Rj и решим систему одним из известных методов. Решение задачи в MathCAD приведено на листинге №1.

Следует обратить внимание на знаки полученных значений токов. Если значение тока отрицательное, то его направление противоположно тому, что указано на схеме.

Далее следует провести проверку полученных значений токов. Для этого необходимо проверить баланс мощностей: для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Рe, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна сумме мощностей Рr, расходуемых в приемниках этой энергии.

Мощность, выделяющаяся в резистивном элементе, всегда положительна и равна RJ2.

Знак мощности источников энергии зависит от режима их работы. Если направление тока в цепи совпадает с направлением ЭДС, то источник отдает мощность и Ре > 0. В противном случае источник потребляет мощность и Ре < 0.

Общий вид уравнения баланса мощностей:

(4)

В нашей схеме источники тока отсутствуют, поэтому второе слагаемое в правой части выражения (4) равно нулю.

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).



^ Метод контурных токов.

При использовании метода контурных токов расчет сложной разветвленной схемы проводят в два этапа.

На первом этапе вводят и рассчитывают вспомогательные контурные токи, число которых ^ NК обычно меньше общего числа NВ неизвестных токов. На втором этапе путем простого алгебраического суммирования находят искомые токи.

Для решения нашей задачи зададимся направлениями контурных токов Ja, Jb, Jc и Jd в замкнутых контурах A, B, C и D соответственно (на пример, как это показано на рис. 2, пунктирными линиями против часовой стрелке). По любой ветви должен протекать хотя бы один контурный ток.

Для расчета контурных токов составим систему из ^ NК уравнений на основе второго закона Кирхгофа:

для контура A Ja(r1+R1) – JbR1= E1

для контура B Jb(R1+R2+ R3+r3) – JaR1– Jcr3 – JdR3= E3

для контура C Jc(r3+RH+R5) – Jbr3 – JdR5= – E3

для контура D Jd(r2+R3+R4+R5) – JcR5 – JbR3 = E2

Действительные токи в ветвях определяются наложением контурных токов. Для определения истинных значений токов, протекающих в схеме, запишем соотношения, связывающие их с контурными токами:

J0= Jd– Jb; J1 = Ja; J2 = Jb;

J3 = Jb– Ja ; J4= Jc; (5)

J5 = Jc– Jb; J6 = Jd– Jc; J7 = Jd

Если какое-нибудь значение тока получится отрицательным, то его направление противоположно тому, что указано в схеме.

Правильность расчета значений токов в схеме, как и в предыдущем случае, проверяется путем проверки выполнения баланса мощностей (4).

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).

Решение задачи методом контурных токов с помощью программы MathCAD приведено на листинге №2.



^ Метод узловых потенциалов.


Этим методом рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений в системе меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов. Число уравнений в системе при использовании метода узловых потенциалов равно n = NУ–1.

Расчет разветвленной схемы методом узловых потенциалов проводят в несколько этапов.

Если в схеме имеются источники ЭДС, их сначала преобразуют в эквивалентные источники тока ^ Ii с использованием формулы преобразования:

Ii= Ei gi (6)

где gi = 1 / ri есть внутренняя проводимость источника i.

Далее выбирают опорный, базисный узел и принимают его потенциал равным нулю. В качестве такого узла целесообразно выбрать узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Потенциалы в остальных узлах схемы отсчитываются от базисного узла.

Затем составляют и решают систему уравнений относительно узловых потенциалов Vi:

(7)

где gii - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу i;

gij - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел i с узлом j;

å Ii - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу i, при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу, и со знаком минус – в направлении от узла.

На последнем этапе по найденным узловым потенциалам находят искомые токи в ветвях с помощью закона Ома (1).

Преобразуем нашу схему в соответствии с изложенными выше правилами к виду, показанному на рис. 3.



Рис. 3. Эквивалентная схема разветвленной цепи.


Выберем в качестве опорного базисного узла узел (b). Примем его потенциал равным нулю и составим систему уравнений относительно остальных узловых потенциалов:

(8)

где G24 = 1/(r2+R4).

Определив значения потенциалов Va, Vc, Vd и Vf соответственно для узлов a, c, d и f, воспользуемся законом Ома (2) и рассчитаем значения токов в ветвях нашей схемы:

J0 = VfG3 ; J1 = (E1 + Va) g1; J2 = (Vc - Va) G2 ;

J3 = VaG1 ; J4 = (Vd - Vc) Gn; J5 = (Vc - Vf - E3 ) g3 ;

J6 = (Vd - Vf) G5; J7 = (E2 - Vd ) G24

Решение задачи по определению значений токов в схеме методом узловых потенциалов с использованием программы MathCAD приведено на листинге №3.

Правильность расчета проверяется путем проверки выполнения баланса мощностей (4).

Для расчета падений напряжения на элементах электрической цепи следует воспользоваться законом Ома (1).




^ Метод наложения.


В основе метода наложения лежит принцип суперпозиции, заключающийся в том, что ток в любой ветви электрической цепи можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней от каждого источника в отдельности. Ток от отдельно взятого источника называется частным. При расчете частного тока все остальные источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми перемычками, а ветви с источниками тока размыкаются. Поскольку в этом случае в рассматриваемых цепях остается только по одному источнику, расчеты производят не решением системы уравнений, а последовательным упрощением цепей путем использования правил для последовательного и параллельного соединения элементов, преобразования звезды в треугольник или треугольника в эквивалентную звезду и т. д.

Напомним основные правила и закономерности эквивалентного преобразования схем.

1. Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений. Падения напряжений на этих сопротивлениях прямо пропорционально этим сопротивлениям.

2. Эквивалентная проводимость цепи, состоящей из параллельно соединенных сопротивлений, равна сумме проводимостей этих сопротивлений. Протекающие через сопротивления токи прямо пропорциональны их проводимостям или обратно пропорциональны их сопротивлениям.

3. Звезду сопротивлений можно преобразовать в эквивалентный треугольник сопротивлений, как это показано на рис. 4, и наоборот.



Рис. 4 Эквивалентные звезда и треугольник сопротивлений.

Формулы преобразования звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник сопротивлений имеют вид:

(8)

Для обратного преобразования можно использовать следующие выражения:

(9)

Во всех случаях преобразования замена одних схем на другие, им эквивалентные, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Для расчета нашей схемы методом наложения на первом этапе исключим из нее все источники кроме E1, а затем упростим ее. Все стадии упрощения приведены на рис. 5.

При эквивалентном преобразовании схемы (А) к схеме (Б) звезду сопротивлений r3R3R5 преобразуем в треугольник сопротивлений R1bcR1bdR1cd. Далее при преобразовании к схеме (В) учтем, что сопротивления RH и R1cd, а также сопротивления r2R4 и R1bd соединены параллельно. Аналогичным образом осуществим переход к схемам (Г) и (Д).

Таким образом, к источнику ^ E1 оказываются подключенными последовательно соединенные сопротивления r1 и Rab. Отсюда ток

J11 = E1 / ( r1+ Rab) (10)



Рис. 5. Последовательное эквивалентное упрощение схемы.

Для определения значения токов J12 и J13 перейдем к схеме (Г) и учтем, что параллельно соединенные сопротивления образуют делитель тока. Следовательно:

; (11)

Анализируя схему (В), не трудно заметить, что сопротивления R1bc и R2bdR2cdтак же образуют делитель тока. Соответственно

;

На основе анализа схем (А) и (Б), найдем токи

; (12)

; ; (13)

Таким же образом, сначала упростив схему, определяются частные токи от источников Е2 и Е3.

После этого действительные токи в ветвях находят путем векторного, т.е. с учетом знаков, суммирования частных токов:

(14)

Правильность расчетов, как обычно, проверяется с помощью проверки энергетического баланса мощностей.


^ Метод эквивалентного генератора.


Метод эквивалентного генератора обычно используется тогда, когда требуется рассчитать ток в одной ветви цепи. В этом случае следует предположить, что выбранная ветвь подключена к некоторому источнику с ЭДС равному Еэкв и внутренним сопротивлением rэкв. Если выбранная ветвь представляет собой последовательно включенный источник E и сопротивление R, то ток в этой ветви можно найти по формуле:

(15)

Таким образом, решение задачи по определению тока ^ J сводится к определению ЭДС Еэкв эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления rэкв.

Предположим, что в рассматриваемой схеме, изображенной на рис. 2, нам необходимо определить ток ^ J1, протекающий через источник E1 и сопротивление r1. Для решения задачи методом эквивалентного генератора сначала вычленим из рассматриваемой схемы выбранную ветвь, как это показано на рис. 6. Тогда правая часть схемы будет представлять собой схему эквивалентного генератора.



Рис. 6. Преобразование схемы при использовании метода эквивалентного генератора.


Не трудно заметить, что ЭДС Еэкв генератора в данном случае численно равна

(16)

Величина тока ^ Jэ2 рассчитывается любым из рассмотренных ранее методов.

Определить сопротивление rэкв можно двумя способами.

Во-первых, можно закоротить выход эквивалентного генератора, то есть положить R1=0 и заново пересчитать Jэ2. Новое значение Jэ2 будет соответствовать току короткого замыкания Jкз. Тогда

(16)

Второй способ – это исключить из схемы все источники ЭДС, заменив их коротко замкнутыми перемычками и рассчитать сопротивление на выходе схемы, в данном случае в точках (ab). Очевидно, при расчетах потребуется провести преобразования аналогичные тем, что показаны на рис. 5.

Замечание: Следует напомнить, что в вашем индивидуальном задании необходимо определить все токи, протекающие в схеме. Поэтому для их расчета вам придется применить метод эквивалентного генератора соответствующее число раз.


^ Индивидуальное задание №2.

Расчет разветвленной электрической цепи переменного тока с использованием закона Ома.


Целью данного задания является научиться применять закон Ома при расчетах электрических цепей переменного тока. При выполнении задания необходимо уметь пользоваться различными формами записи комплексных величин, описывающих электрическую цепь, а также применять эти записи для вычисления токов, падений напряжений на отдельных элементах электрической цепи и построении векторных диаграмм.

В соответствии с вариантом индивидуального задания необходимо рассчитать параметры электрической цепи, представленной на рис. 7. Выполнение задания подразумевает определение номинальных значений элементов схемы, а также добротности реактивных элементов. Кроме того, необходимо рассчитать значения токов во всех ветвях электрической цепи и падение напряжения на всех ее элементах, вычислить действующие значения всех токов и приложенного к электрической цепи напряжения, построить векторную диаграмму и найти фазовый сдвиг между входным током и приложенным к электрической цепи напряжением.




Рис. 7. Схема электрической цепи переменного тока.


Предположим, что имеются следующие исходные данные к расчету:

U
Z1

Z2

Z3

f,

Гц

Um, B

Ф, о

R1, Ом

X1, Ом

R2, Ом

X2, Ом

R3, Ом

X3, Ом

50

120

240

48

24

12

-40

30

6


Для определения реальных компонент электрической цепи учтем знаки при мнимых составляющих комплексных сопротивлений: если знак положительный, то сопротивление имеет индуктивный характер, если знак отрицательный, то сопротивление имеет емкостной характер. В нашем случае комплексные сопротивления Z1 и Z3 имеют индуктивный, а Z2 - емкостной характер. Следовательно, нашу схему следует преобразовать к виду:



Рис. 8. Принципиальная схема разветвленной электрической цепи переменного тока.

Номинальные значения индуктивности и емкости определяются с помощью выражений:

; (17)

Для определения добротности элементов следует воспользоваться выражением:

(18)

Результаты вычислений номинальных значений элементов для выбранного варианта задания приведены в таблице:

Z1

Z2

Z3

R1, Ом

L1, мГн

Q1

R2, Ом

С2, мкФ

Q2

R3, Ом

L3, мГн

Q3

48

76

0,5

12

80

3,33

30

19

0,2

Для определения токов в цепи следует воспользоваться законами Ома и Кирхгофа, но с учетом того, что все входящие величины являются комплексными.

Существует три формы записи комплексного числа. В алгебраической форме комплексное число А представляют в виде алгебраической суммы двух составляющих – вещественной и мнимой :

(19)

где обозначает мнимую единицу.

Число А можно изобразить в виде вектора на комплексной плоскости, у которой горизонтальная ось совпадает с осью вещественных составляющих, а вертикальная ось совпадает с осью мнимых составляющих комплексных чисел. По отношению к горизонтальной оси вектор А будет направлен под углом Ф. Положительное значение угла отсчитывается по часовой, отрицательное – против часовой стрелки.

Геометрическое рассмотрение вектора А на комплексной плоскости приводит к тригонометрической и экспоненциальной формам записи комплексного числа:

(20)

где - модуль, - фаза (аргумент) комплексного числа А.

Алгебраическую форму записи удобно применять при сложении и вычитании, а экспоненциальную – при умножении и делении комплексных чисел.

Вернемся к рассмотрению схемы, изображенной на рис. 7.

Сопротивление участка цепи с параллельно соединенными элементами Z2 и Z3 равно:

Общее сопротивление цепи Z0, подключенное к источнику U:

(21)

Тогда токи в цепи будут равны:

; ; (22)

Отсюда можно найти падения напряжения на отдельных элементах схемы:

; ; (23)

; ; (24)

Результаты численных расчетов приведены в таблице:

параметр



модуль А

Ф, о

U, B

-60-104i

120

-120

Z0, Ом

70+15i

71

12

J1, A

-1,125-1,25i

1,68

-132

J2, A

0,138-0,94i

0.95

-81,6

J3, A

-1,263-0,31i

1,30

-166

UR1, B

-54-60i

80,8

-132

UX1, B

30-27i

40,4

-42

UR2, B

1.66-11,3i

11,4

-81,6

UX2, B

-37,7-5,54i

38,1

-171

UR3, B

-37,9-9,27i

39,0

-166

UX3, B

1,85-7,58i

7,8

-76


На основании расчетов построена векторная диаграмма (рис. 9).



Рис. 9. Векторная диаграмма напряжений и токов.

Следует обратить внимание, что при протекании тока через резисторы его направление совпадает с направлением вектора падения напряжения. На индуктивностях угол между током и напряжением составляет 900, а на емкости – минус 900.

Правильность расчетов следует проверить путем проверки выполнения баланса мощностей:

(25)

Для нашей схемы , .

Для определения действующих значений необходимо вспомнить, что действующим значением переменного тока называется такой постоянный ток, который за такое же время и на таком же сопротивлении выделяет такую же энергию, которая выделяется данным переменным током. Для гармонического тока действующие значения численно равны произведению амплитудных значений на постоянный коэффициент равный .


^ Варианты индивидуального задания №1.


№

E1, В

r1, Ом

E2, В

r2, Ом

E3, В

r3, Ом

R1, Ом

R2, Ом

R3, Ом

R4, Ом

R5, Ом

RH, Ом

1

3

47

12

91

24

100

330

560

820

680

910

51

2

5

33

24

150

27

91

910

330

470

220

680

68

3

9

68

20

120

30

150

220

820

680

560

470

91

4

12

51

15

91

3

33

820

470

220

910

330

47

5

15

47

12

68

5

91

470

680

560

330

910

51

6

20

100

27

51

9

47

680

220

910

330

560

68

7

24

91

5

68

12

51

560

680

330

910

220

47

8

27

150

9

91

15

68

220

910

330

820

470

33

9

30

120

15

91

20

100

910

330

220

820

560

68

10

3

33

30

100

24

91

560

330

220

470

910

51

11

5

47

30

120

27

100

330

910

820

680

220

91

12

9

51

24

150

30

120

820

220

470

560

330

33

13

12

68

20

91

3

51

470

820

680

220

910

47

14

15

100

15

51

5

33

680

470

560

910

220

68

15

20

91

9

47

9

51

220

680

470

560

820

91

16

24

100

5

33

12

47

560

470

910

330

220

51

17

27

120

3

91

15

33

910

220

560

820

330

68

18

30

150

12

68

20

91

330

910

680

470

330

47

19

3,

68

15

33

24

150

330

560

820

680

910

91

20

5

51

20

100

27

120

910

330

470

220

680

68

21

9

47

24

91

30

100

220

820

680

560

330

51

22

12

33

27

51

3

91

820

470

220

910

560

47

23

15

91

30

68

5

51

470

680

560

330

820

33

24

20

150

3

91

9

68

680

220

910

330

560

51

25

24

120

5

47

12

33

560

680

330

910

220

91

26

27

100

9

51

15

47

220

910

330

820

470

68

27

30

91

12

47

20

51

910

330

560

820

680

33

Варианты индивидуального задания №2.




№

U

Z 1

Z 2

Z 3

f,

Гц

Um, B

Ф, о

X1, Ом

X1, Ом

R1, Ом

X1, Ом

R1, Ом

X1, Ом

1

25

100

60

9

-7

20

-18

36

27

2

15625

220

240

48

-24

12

40

30

-6

3

1000

130

150

27

-9

7

-20

18

36

4

50

380

330

6

48

24

12

40

-30

5

50000

120

120

36

-27

9

-7

20

18

6

400

240

270

30

6

48

24

12

-40

7

5000

110

30

18

-36

27

-9

7

20

8

31250

180

180

40

-30

6

48

24

-12

9

100

127

90

20

18

36

-27

9

7

10

25

100

210

12

40

30

6

48

-24

11

15625

220

0

7

20

18

-36

27

9

12

1000

130

300

24

12

40

30

6

-48

13

50

380

60

9

7

20

18

36

-27

14

50000

120

240

48

24

12

-40

30

6

15

400

240

150

27

9

7

20

18

-36

16

5000

110

330

6

-48

24

-12

40

30

17

31250

180

120

36

27

9

7

20

-18

18

100

127

270

30

-6

46

-24

12

40

19

25

100

30

18

36

27

9

7

-20

20

15625

220

180

40

30

6

-48

24

12

21

1000

130

90

20

-18

36

27

9

-7

22

50

380

210

12

-40

30

-6

48

24

23

50000

120

0

7

-20

18

36

27

-9

24

400

240

300

24

-12

40

-30

6

48

25

5000

110

60

9

-7

20

-16

36

25

26

31250

180

0

7

-20

18

34

27

-11

27

100

127

300

24

-12

40

-30

6

48


Рекомендуемая литература.


Грошев И.В. Практикум по основам электроники. Часть I. Электрические цепи в режиме постоянного тока. – М.: Изд-во РУДН, 2003. – 62 с.

2. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники. – М.: Высшая школа, 2001. – 495 с.