Реферат: Учебное пособие Санкт-Петербург 2007 Составила: Зуева Т. В. Ст методист: Регель Н. И. Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и«Элементы высшей математики»
КОМИТЕТ ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
Санкт – Петербургский колледж управления и экономики
«Александровский лицей»
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2007
Составила: Зуева Т.В.
Ст. методист: Регель Н.И.
Пособие предназначено для изучения соответствующих разделов дисциплин «Математика» и «Элементы высшей математики».
Переработанный и дополненный вариант учебного пособия рассмотрен на заседании методической комиссии по специальности СПО 080802 «Прикладная информатика (по отраслям)», 11.09.2007 протокол № 2.
Дополненный и переработанный вариант рассмотрен на заседании кафедры Высшей математики СПбГИТМО, протокол № 2, 19.09.2007
Содержание
Введение 6
Лекция 1.
Определители II и III порядка 7
Определители II порядка 7
Задача о пересечении
2-х прямых на плоскости 7
Определители III порядка 9
Лекция 2.
Минор и алгебраическое дополнение.
Основная теорема о разложении.
Свойства определителей 10
^ Минор и алгебраическое дополнение 10
Основная теорема
о разложении определителя 10
Свойства определителей 12
Лекция 3.
Определители n-го порядка.
Вычисление определителей 15
Лекция 4.
Системы линейных уравнений.
Метод Крамера 19
Метод Крамера 20
Лекция 5.
Алгоритм Гаусса.
Метод последовательного исключения
неизвестных 24
Лекция 6.
Матрицы. Действия над матрицами. 27
Матрицы 27
Действия над матрицами 29
Лекция 7.
Метод обращения матрицы при помощи союзной.
Матричные уравнения 32
Матричные уравнения 33
Лекция 8.
Обращение матрицы с использованием
алгоритма Гаусса 37
Лекция 9.
Минор к-го порядка. Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы 40
Минор к-го порядка 40
Ранг матрицы. Вычисление рангов 40
Лекция 10.
Теорема Кронекера – Копелли.
Решение произвольных систем
линейных уравнений 43
Приложение 1 47
Задания для самостоятельного решения 47
1. Вычисление определителей 47
2. Матрицы. Действия над матрицами.
Матричные уравнения 50
^ 3. Решение систем линейных уравнений 52
Ответы 54
Приложение 2 56
Некоторые сведения из теории множеств.
Комбинаторика.
Перестановки и подстановки 56
Определитель n-го порядка 57
^ Бином Ньютона.
Метод математической индукции 59
Теорема Лапласа 62
Список рекомендуемой литературы 64
4
5
5
5
7
8
8
8
10
13
16
17
21
24
24
26
29
30
33
36
36
36
39
43
43
43
46
48
50
52
52
53
55
58
60
60
Введение
Настоящее учебное пособие представляет собой краткий курс лекций по линейной алгебре для студентов колледжа управления и экономики «Александровский лицей», изучающих математику.
В пособии изложен материал 10-ти основных лекций, а также подробно рассмотрены примеры решения типовых задач, соответствующих темам лекций.
В приложении 1 предложены задачи для самостоятельного решения с ответами.
В приложении 2 изложены дополнительные сведения из разделов математики «Комбинаторика», «Линейная алгебра», «Теория множеств», необходимые для углубленного изучения теории определителей.
Данное пособие позволяет самостоятельно познакомиться и изучить раздел математики «Линейная алгебра» в объеме программы по курсу «Математика», разработанной на основе стандартов и государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальностям СПО 230105 «Программное обеспечение ВТ и АС», 080802 «Прикладная информатика (по отраслям)», 080501 «Менеджмент», 08.01.06 «Финансы», 080504 «Государственное и муниципальное управление».
^ Лекция 1.
Определители II и III порядка Определители II порядка
Определителем II порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов
a1
b1
a2
b2
и равное алгебраической сумме произведений элементов главной и побочной диагоналей, т. е.
Δ = a1b2 – a2b1
Например:
1
2
= 4 – 6 = - 2
3
4
-1
2
= - 4 – 6 = - 10
3
4
1
-2
= 4 – ( - 6)= 10
3
4
В таблице элементов, соответствующей определителю II порядка содержится 2 строки и 2 столбца.
Элементы a1, b1 – элементы 1-й строки,
a2, b2 – 2-йстроки;
Элементы a1, a2 – 1-го столбца,
b1, b2 – 2-го столбца;
a1, b2 – элементы главной диагонали;
a2, b1 – элементы побочной диагонали.
a1
b1
1 строка
a2
b2
2 строка
Побочная диагональ
1 столбец
2 столбец
Главная диагональ
В алгебраическую сумму произведений элементов главной диагонали входит со знаком “ + ”, элементы побочной диагонали- со знаком “ - ”.
^ Задача о пересечении
2-х прямых на плоскости
Простая задача о пересечении 2-х прямых на плоскости приводит к необходимости и обоснованности введения понятия определителя II порядка.
Пусть даны 2 прямые на плоскости:
Уравнение a1x + b1y= c1– уравнение 1-й прямой
Уравнение a2x+ b2y= c2 – уравнение 2-й прямой
Решим систему уравнений:
a1x + b1y= c1
a2x+ b2y= c2
Исключим неизвестное «y» из системы. Для этого правую и левую часть каждого уравнения умножим на «b2» и «b1» соответственно. Теперь, вычтем из 1-го уравнения 2-е уравнение. Получим:
(a1b2 – a2b1) x = c1b2 – c2b1
x =
c1b2 – c2b1
=
c1
b1
c2
b2
a1b2 – a2b1
a1
b1
a2
b2
Видно, что удобно для вычисления x записать числитель и знаменатель дроби через определитель II порядка.
Аналогично, для вычисления «y» исключим неизвестное «x». Для этого умножим правую и левую части каждого уравнения на «a1» и «a2» соответственно и вычтем из 2-го уравнения 1-е уравнение. Получим:
(a1b2 – a2b1) y = a1c2 – a2c1
y =
a1c2 – a2c1
=
a1
c1
a2
b2
a1b2 – a2b1
a1
b1
a2
b2
Видно, что знаменатель дроби для вычисления «y» такой же, как и знаменатель дроби для вычисления «x», и он равен определителю II порядка, элементы которого –коэффициенты при неизвестных «x» и «y» в 1-м и 2-м уравнениях. Назовем его условно главным определителем Δ.
Определители II порядка, стоящие в числителях дробей получены из главного, но определитель для вычисления «x» - путем замены 1 столбца на столбец с1, с2, а «y» - путем замены 2 столбца на столбец с1, с2. Назовем эти определители добавочными при x и при y: Δ x и Δy
Δx=
c1
b1
Δy=
a1
c1
c2
b2
a2
c2
Таким образом, решение системы
x=
Δx
Δ
y=
Δy
Δ
Полученный результат, записанный через определители II порядка, облегчает и убыстряет решение данной задачи и систем линейных уравнений.
^ Определители III порядка
Определителем III порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов из 3-х строк и 3-х столбцов и равное алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
Δ=
a11
a12
a13
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
– a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Строки считаются сверху вниз, а столбцы слева направо. Элементы aij проиндексированы таким образом, что сразу видно на каком месте в таблице стоит выбранный элемент:
i – номер строки;
j – номер столбца.
a11
a12
a13
1 строка
a21
a22
a23
2 строка
a31
a32
a33
3 строка
Побочная диагональ
1 столбец
2 столбец
3 столбец
Главная диагональ
Справедливо следующее правило Саррюса, которое позволяет легко перебрать все возможные произведения элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. К сожалению, это правило годится для вычисления определителя только III порядка.
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
-
-
-
+
+
+
К таблице элементов, соответствующей определителю III порядка дописываются столбцы:
4-й столбец, состоящий из элементов 1-го столбца;
5-й столбец, состоящий из элементов 2-го столбца.
Если такую таблицу рассматривать как три определителя III порядка, то в каждом определителе элементы главных диагоналей входят в алгебраическую сумму произведений элементов со знаком "+", а произведения элементов побочных диагоналей – со знаком "-".
Например,
1
2
3
1
2
4
5
6
4
5
=0
7
8
9
7
8
-
-
-
+
+
+
-1
2
3
-1
2
4
5
-6
4
5
=( - 45+84+96) -
-7
8
9
-7
8
- ( - 105+48+72)=
-
-
-
+
+
+
= - 120
^ Лекция 2.
Минор и алгебраическое дополнение.
Основная теорема о разложении.
Свойства определителей Минор и алгебраическое дополнение
Рассмотрим элемент аij в определителе III порядка. При вычеркивании i-строки и j-столбца не вычеркнутыми останется определитель II порядка. Этот определитель II порядка будем называть минором элемента aij и обозначать Mij. Таким образом, каждому элементу соответствует минор.
Например, дан определитель
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Рассмотрим элемент а12. После вычеркивания 1-й строки и 2-го столбца остался не вычеркнутым определитель
а21
а23
=М12
а31
а33
Алгебраическим дополнением элемента называется определитель минора этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма номера строки и номера столбца – четное число; «-», если сумма номера строки и номера столбца – нечетное число.
Будем обозначать алгебраическое дополнение Аij.
Аij = ΔMij (- 1)i+j
Так, например, А12 = - ΔМ12, т.к. 1+2=3,(-1)3 = -1
^ Основная теорема
о разложении определителя
Теорема: Определитель равен алгебраической сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Другими словами, определитель может быть разложен по любой строке или столбцу.
Доказательство: Разложим определитель III порядка по 1-й строке или по 2-му столбцу. Так как определитель – это число, то очевидно, что при любом разложении должно получиться одно и то же число.
а11
а12
а13
= а11А11 + а12А12 + а13А13 =
а21
а22
а23
а31
а32
а33
=а11
а22
а23
- а12
а21
а23
+а13
а21
а22
=
а32
а33
а31
а33
а31
а32
=а11(а22а33 – а32а23) – а12(а21а33 – а31а23) + а13(а21а32 – а31а22)=
= a11a22a33 – a32a23a11 – a33a21a12+ a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13
а11
а12
а13
= а12А12 + а22А22 + а32А32 =
а21
а22
а23
а31
а32
а33
= - а12
а21
а23
+ а22
а21
а23
- а32
а11
а13
=
а31
а33
а31
а33
а21
а23
= - а12(а21а33 – а31а23) + а22(а21а33 – а31а23) – а32(а11а23 – а21а13)=
=– a33a21a12 + a12a23a31 + a11a22a33 – a31a22a13 – a32a23a11 + a13a21a32
Нетрудно видеть, что результат получился одинаковый (т.е. выбор строки или столбца не влияет на результат). Кроме того, если сравнить данный результат с вычисленным по правилу Саррюса (лекция 1), то видно, что они одинаковы.
Используя теорему о разложении, можно вычислять определители.
Например,
1
2
3
= 7
2
3
- 8
1
3
+ 9
1
2
=
4
5
6
5
6
4
6
4
5
7
8
9
= 7(12 – 15) – 8(6 – 12) + 9(5 – 8) =
= 7( - 3) – 8( – 6) +9( - 3) = - 3 (7 – 16 +9)=0
Особенно рационально использовать теорему о разложении в случае, когда в строке или столбце есть нулевые элементы.
1
0
3
= 5
1
3
4
5
6
7
9
= 5(9 – 21) = - 60
7
0
9
Раскладывая данный определитель по 2-му столбцу, все произведения элементов на их алгебраические дополнения равны «0», так как сами элементы равны нулю, кроме одного а22 = 5.
^ Свойства определителей
Использование свойств определителей позволяет избежать трудоемких расчетов, при вычислениях определителей.
Определитель не изменится, если поменять местами любые строки и столбцы, не меняя их номера. Такое действие будем называть транспонированием и обозначать
Т
а11
а12
а13
а11
а21
а31
а21
а22
а23
=
а12
а22
а32
а31
а32
а33
а13
а23
а33
Доказательство:
Дан определитель
а11
а12
а13
а21
а22
а23
(1)
а31
а32
а33
Поменяем местами 1-ю строку и 1-й столбец, 2-ю строку и 2-й столбец,
3-ю строку и 3-й столбец.
а11
а21
а31
а12
а22
а23
(2)
а13
а32
а33
Если исходный определитель (1) разложить по 1-й строке, то он будет равен а11А11 +а12А12 +а13А13.
Определитель (2) разложим по 1-му столбцу, и он будет равен а11А11 + а12А12 + а13А13
Равенство (1) и (2) определителей очевидно.
Определитель поменяет знак, если переставить любые 2 строки или 2 столбца.
Доказательство:
а11
а12
а13
а21
а22
а23
(1)
а31
а32
а33
Можно поменять местами 2 рядом стоящие строки: 1-ю и 2-ю (или 2-ю и 3-ю); либо через строку: 1-ю и 3-ю.
Получим
а21
а22
а23
а11
а12
а13
(2)
а31
а32
а33
Если (1) определитель разложить по 1-й строке, а (2) - по 2-й, то числовые значения не изменятся, но алгебраические дополнения во (2) определителе все поменяют знаки на противоположные, так как в (1) определителе элемент а11 стоял на «четном» месте (в 1-й строке и в 1-м столбце: 1+1=2), а во (2) определителе а11 стал на «нечетное» место (во 2-й строке и в 1-м столбце: 1+2=3). Таким образом, определитель поменял знак.
Переставим местами 1-ю и 3-ю строки. Получим определитель и разложим его по 3-й строке.
а31
а32
а33
=а11
а32
а33
- а12
а31
а33
+а13
а31
а32
а21
а22
а23
а22
а23
а21
а23
а21
а22
а11
а12
а13
Отсюда видно, что поменяли знаки все миноры элементов 1-й строки, так как в самих минорах переместились рядом стоящие строки.
Таким образом, определитель изменил знак на противоположный.
Определитель, у которого две одинаковые строки или два столбца, равен нулю.
Предположим, что определитель равен некоторому отличному от нуля числу Δ. Тогда по свойству (2) при перестановке 2-х строк (или 2-х столбцов) определитель должен поменять знак и стать равным ( Δ). Если переставлять 2 одинаковые строки (или столбцы), то очевидно, что должно выполняться равенство
Δ = Δ
Следовательно, Δ = 0, что и требовалось доказать.
Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя
ка11
а12
а13
а11
а12
а13
ка21
а22
а23
=к
а21
а22
а23
ка31
а32
а33
а31
а32
а33
Доказательство:
Разложим определитель по элементам 1-го столбца
ка11
а12
а13
ка21
а22
а23
=( ка11 )А11+(ка21 )А21+(ка31 )А31=
ка31
а32
а33
=к(а11А11 + а21А21 +а31А31)=
а11
а12
а13
=к
а21
а22
а23
а31
а32
а33
Если в определителе элементы некоторой строки (или столбца) представляют собой сумму 2-х или более слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму 2-х и более определителей.
а11+m11
а12
а13
=
а11
а12
а13
+
m11
а12
а13
a21+m21
а22
а23
а21
а22
а23
m21
а22
а23
a31+m31
а32
а33
а31
а32
а33
m31
а32
а33
Доказательство:
Разложим определитель по элементам 1-го столбца
а11+ m11
а12
а13
a21+ m21
а22
а23
=(а11+m11)A11+(a21+m21)A21+(a31+m31)A31=
a31+ m31
а32
а33
= (a11A11+a21A21+a31A31) + (m11A11+m21A21+m31A31)=
а11
а12
а13
m11
а12
а13
=
а21
а22
а23
+
m21
а22
а23
а31
а32
а33
m31
а32
а33
Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или другого столбца), умноженные на некоторый коэффициент
Доказательство:
Дан определитель
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
Прибавим к элементам 1-го столбца соответствующие элементы 3-го столбца, умноженные на коэффициент к.
Получим определитель и разложим его на сумму 2-х определителей по свойству (5).
а11+ка13
а12
а13
а11
а12
а13
ка13
а12
а13
а21+ка23
а22
а23
=
а21
а22
а23
+
ка23
а22
а23
а31+ка33
а32
а33
а31
а32
а33
ка33
а32
а33
а11
а12
а13
а13
а12
а13
=
а21
а22
а23
+ к
а23
а22
а23
а31
а32
а33
а33
а32
а33
0
Второй определитель по свойству (3) равен 0. Свойство (6) позволяет делать линейные преобразования над строками и столбцами, обнулять элементы строк и столбцов и вычислять определители по теореме о разложении понижая порядок определителя.
Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (или столбца) равна 0.
Доказательство:
Дан определитель
а11
а12
а13
а21
а22
а23
а31
а32
а33
Составим алгебраическую сумму произведений элементов 1-й строки, например, на алгебраические дополнения элементов 2-й строки.
Получим
а11А21 + а12А22 + а13А23 =
=-а11
а12
а13
+а12
а11
а13
- а13
а11
а12
=
а32
а33
а31
а33
а31
а32
= а11(а12а33 – а32а13) +а12(а11а33 – а31а13) – а13(а11а32 – а31а12)=
= - а11а12а33+а11а32а13+а12а11а33 – а12а31а13 – а13а11а32+а13а31а12=0
^ Лекция 3.
Определители n-го порядка.
Вычисление определителей
Определителем n-го порядка называется число Δ, соответствующее таблице элементов из n строк и n столбцов и равное алгебраической сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
=
а11
а12
а1n
a21
a22
a2n
- - - - - - - - - - - - - - -
an1
an2
ann
Совершенно очевидно, что, пользуясь определением, трудно перебрать все возможные произведения элементов по одному из каждой строки и столбца, кроме того, неизвестно, как выбирать знаки произведений, входящих в алгебраическую сумму.
Теорема о разложении справедлива для вычисления определителя любого порядка: определитель равен алгебраической сумме произведений любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
Минор Мij элемента аij в определителе n-го порядка – это определитель (n-1)-го порядка, который остался после вычеркивания i-строки и j-столбца.
Алгебраическое дополнение Аij элемента аij – это число, соответствующее определителю Мij, взятому со знаком «+», если сумма (i+j) – четная, и «-» , если (i+j) – нечетная.
Таким образом, определитель n-го порядка может быть разложен на сумму n определителей (n-1)-го порядка, каждый из которых в свою очередь может быть разложен на сумму (n-1) определителя (n-2)-го порядка и т.д.
Этим способом может быть вычислен определитель любого порядка, хотя это и не самый радикальный метод.
Если же в определителе n-го порядка есть столбец (или строка), состоящий (состоящая) из нулевых элементов, кроме одного, то, раскладывая определитель именно по этому столбцу (или строке), можно понизить определитель на один порядок.
Например,
a11
0
0
0
a21
a22
a23
a2n
= а11
a22
a23
a2n
an1
an2
an3
ann
an2
an3
ann
Здесь видно, что, раскладывая по элементам 1-й строки, только элемент а11 в произведении со своим алгебраическим дополнением дает отличное от нуля произведение.
Все свойства определителей, сформулированные и доказанные в лекции 2, справедливы и для определителей n-ного порядка. Используя эти свойства, можно делать линейные преобразования над строками и столбцами, добиваясь обнуления элементов строк (или столбцов) кроме одного (условно назовем его «главным элементом»).
Например,
1
2
4
6
= 2 3
1
1
4
2
- 2
4
7
- 9
- 2
2
7
- 3
2
- 6
- 5
3
2
- 3
- 5
1
3
8
4
6
3
4
4
2
(из 2-го столбца вынесли общий множитель 2, из 4-го столбца – 3)
Любой из элементов этого определителя может быть условно назван «главным элементом». Лучше в качестве «главного элемента» выбирать «1» либо «- 1», чтобы избежать дробных вычислений.
В качестве главного элемента выберем, например, «1», как элемент а11
1
1
44
22
=
1
0
0
0
=
- 2
2
7-8
- 3-4
- 2
4
15
1
4
15
1
2
- 3
-58
14
2
- 5
-13
- 3
- 5
-13
- 3
3
4
412
26
3
1
- 8
- 4
1
- 8
- 4
Используя свойство 6, можно за счет а11 обнулить элементы строки, в которой стоит «главный элемент» (или столбца, в котором стоит «главный элемент»), кроме этого элемента. Предположим, что необходимо обнулить элементы строки. Тогда столбец, в котором стоит «главный элемент», назовем условно главным столбцом. То есть 1-й столбец – главный.
Подбирая коэффициенты и складывая 1-й столбец (или вычитая, если коэффициент отрицательный) по очереди со 2-м, 3-м, 4-м, можно добиться, что элементы 1-й строки будут равны 0, кроме а11. Так, чтобы обнулить а12, необходимо 1-й столбец вычесть из 2-го; чтобы обнулить а13, необходимо 1-й столбец умножить на 4 и вычесть из 3-го; чтобы обнулить а14, необходимо элементы 1-го столбца умножить на 2 и вычесть из 4-го. Теперь все элементы 1-й строки, кроме главного, равны «0».
Раскладывая определитель по 1-й строке, понизим его порядок с 4-го до 3-го.
Определитель 3-гопорядка также может быть понижен до 2-го, который легко вычисляется.
4
15
1
=
4
15
1
=
- 512
-1345
-33
7
32
0
116
-860
-44
17
52
0
=
7
8
= 4
7
8
=
17
52
17
13
= 4(91 – 136) = - 180
Так как в исходном определителе 4-го порядка были вынесены множители 2 и 3, то необходимо для окончательного ответа сделать умножение
2 3(-180) = - 1080.
В качестве «главного элемента» в самом начале вычисления можно было выбрать любой другой элемент. На результат выбор элемента не влияет. Например,
23
1
1
4
2
= 6
1
1
4
2
=
-22
22
78
-34
-4
0
-1
-7
23
-33
-512
16
5
0
7
7
34
44
416
28
-1
0
-12
-6
=-6
-4
-1
-7
=-6
4
1
7
=-6
4
1
7
=
5
7
7
528
77
749
-23
0
-42
-1
-12
-6
148
1212
684
-47
0
-78
= 6
-23
-42
= 6
23
42
=
-47
-78
47
78
= 6(1794 – 1974) = 6( -180) = - 1080
Очень часто в определителях нет строк (столбцов) с кратными элементами, нет элементов, которые по абсолютной величине равны «1», т.е. представляет затруднение выбор «главного элемента». Существует много способов искусственно получить «единичные» элементы, за счет которых можно обнулять элементы строк (столбцов), избегая дробных вычислений. Эти способы часто индивидуальны, зависят от опыта и интеллекта вычисляющего. Однако существуют и некоторые стандартные приемы.
Например,
5
6
6
6
6
5
4
3
6
4
5
3
6
3
4
5
В данном определителе нет единиц. Все элементы не кратные. Можно этот определитель разложить по строке (столбцу) на сумму 4х определителей 3-го порядка. Однако, если а11=5 представить, как (6 - 1), а все «6»-ки в 1-м столбце (или в 1-й строке), как (6 - 0), то
6-1
6
6
6
=
6
6
6
6
-
1
6
6
6
=
6
6
6
6
-
6-0
5
4
3
6
5
4
3
0
5
4
3
0
-1
-2
-3
6-0
4
5
3
6
4
5
3
0
4
5
3
0
-2
-1
-3
6-0
3
4
5
6
3
4
5
0
3
4
5
0
-3
-2
-1
-
5
4
3
= -6
1
2
3
-
5
4
3
=
4
5
3
2
1
3
4
5
3
3
4
5
3
2
1
3
4
5
= - 6 12 – 24 = - 24(3 + 1) = - 24 4= - 96
Здесь по свойству 4 определитель разложен на сумму двух определителей 4-го порядка, каждый из которых понижен до 3-го. Определители III порядка могут быть вычислены по правилу Саррюса, либо по теореме о разложении с использованием (или не использованием) линейных преобразований над строками (столбцами).
^ Лекция 4.
Системы линейных уравнений.
Метод Крамера
Системой линейных уравнений n-ного порядка называется система следующего вида:
а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
………………………………………
аm1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
(x1, x2, …xn) – n неизвестных, связанных между собой линейной зависимостью;
(b1, b2, …bm) - свободные члены;
aij – коэффициенты при j- неизвестных в i-м уравнении.
Видно, что в системе m уравнений и n неизвестных. В общем случае mn.
^ Решением системы называются конкретные числа (x1*, x2*, x3*, …, xn*), при подстановке которых в систему уравнения обращаются в тождества.
Система называется однородной, если свободные члены уравнений все равны «0».
Система может иметь одно или бесконечное множество решений. В этом случае систему будем называть совместной определенной или соответственно совместной неопределенной.
Система может не иметь ни одного решения. Такую систему будем называть несовместной. Однородная система всегда совместна, т.к. имеет, по крайней мере, одно решение. Действительно, если в уравнение однородной системы подставить х1=0, x2=0, …, xn=0, то все уравнения обратятся в тождества 00.
Такое нулевое решение (0, 0,….,0) будем называть тривиальным. Тем не менее, однородную систему исследуют для нахождения других, нетривиальных решений, конечно, если они существуют.
Существуют различные методы решения систем линейных уравнений.
^ Метод Крамера
Рассмотрим систему:
а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 (1)
а31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
…………………………………………………………
аn1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn
Главным определителем системы Δ будем называть определитель n-го порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных xj, т.е.
Δ=
а11
а12
…
а1n
a21
a22
…
a2n
а31
а32
…
а3n
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
an1
an2
…
ann
b1
- правые части всех уравнений (свободные члены) назовем столбцом свободных членов.
b2
b3
bn
Из школьного курса известно, что правую и левую часть уравнений можно умножить на одно и то же число, а также уравнения системы можно складывать (вычитать) друг с другом. От этого система не изменится.
Тогда умножим правую и левую часть 1-го уравнения системы на алгебраическое дополнение А11 элемента а11 главного определителя Δ; правую и левую часть 2-го уравнения на А21 элемента а21 и т.д., а затем сложим все уравнения. Имеем:
а11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 А11
+ а21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2А21
…………………………………………………………
аn1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bnAn1
(a11A11+a21A21+…+an1An1)x1 + (a12A11+a22A21+…+an2An1)x2 + …. +(a1nA11+a2nA21+…+annAn1)xn = b1A11+b2A21+…+bnAn1
Таким образом, каждое уравнение системы было умножено соответственно на алгебраические дополнения элементов 1-го столбца главного определителя Δ. После сложения видно, что при неизвестном х1 имеем коэффициент, равный алгебраической сумме произведений элементов 1-го столбца определителя Δ на их алгебраические дополнения. По теореме о разложении определителя такая алгебраическая сумма равна определителю Δ. При всех остальных неизвестных, начиная со второго: (х2, х3, …,хn), коэффициенты соответственно равны алгебраическим суммам произведений элементов 2-го, 3-го, …, n-го столбцов на алгебраические дополнения элементов 1-го столбца. Такие алгебраические суммы по свойству 7 равны "0". Таким образом, в левой части осталось только одно неизвестное х1. В правой части уравнения – алгебраическая сумма, соответствующая разложению определителя, у которого 1-й столбец – столбец свободных членов:
b1
a12
…
a1n
=Δx
1
b2
a22
…
a2n
bn
an2
…
ann
Δх - добавочный при неизвестном х1. Таким образом, имеем
1
Δх1=Δх
1
Если правую и левую части каждого уравнения системы (1) умножить на алгебраические дополнения элементов 2-го столбца соответственно, а затем сложить, то в левой части уравнения–суммы обнулятся коэффициенты при всех неизвестных, кроме х2. Коэффициент при неизвестном х2 будет равен:
a12A12 + a22A22 +…+ an2An2 = Δ
Это главный определитель Δ, разложенный по элементам 2-го столбца.
В правой части уравнения–суммы будем иметь
b1A12+b2A22+…+bnAn2,
что соответствует разложению по второму столбцу определителя
a11
b1
…
a1n
=Δx
2
a21
b2
…
a2n
an1
bn
…
ann
Δх - добавочный при неизвестном х2.
2
Далее, если умножить правую и левую часть уравнений на алгебраические дополнения 3-го, 4-го, …, n-го столбцов, а затем сложить, то очевидно, что этими действиями исключим по очереди все неизвестные, кроме (х3, х4,…,xn). Нетрудно видеть, что все добавочные определители – это определители, полученные из главного путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов.
^ Таким образом, система (1) преобразовалась в систему:
Δх1=Δх
1
Δх2=Δх (2)
2
…………………
Δх1=Δх
n
^ (2) – называются уравнениями Крамера. Эти уравнения (2) позволяют найти единственное решение системы (3) в случае, когда Δ0, Δх0, Δх0,…, Δх0,
1 2 n
а также исследовать систему на совместность.
х1= Δх /Δ
1
х2= Δх /Δ (3)_
2
…………
хn= Δх /Δ
n
Итак, справедливы следующие 4 случая:
1. Δ0, Δх0, Δх0,…, Δх0,
1 2 n
Система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение (3).
2. Δ=0, Δх0, Δх0,…, Δх0,
1 2 n
В этом случае система не совместна.
3. Δ0, Δх =0, Δх =0,…, Δх =0,
1 2 n
Система имеет тривиальное решение.
4. Δ=0, Δх =0, Δх =0,…, Δх =0,
1 2 n
Уравнения Крамера (2) обращаются в этом случае в следующий вид:
0х1 =0
0х2 =0
………
0хn =0
^ Очевидно, что система в этом случае не определена однозначно, т.е. существует бесконечное множество решений.
Пример 1. Решить систему методом Крамера.
х1 + х2 – х3 = 3
х1 + 2х2 + 3х3 = - 4
- 2х1 – х2 + х3 = 0
еще рефераты
Еще работы по разное
Реферат по разное
«Технология текстильных изделий»
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Методические указания по инвентаризации имущества и финансовых обязательств (приказ мин фин РФ от 13. 16. 95 №49). Проведение инвентаризации обязательно
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Учебное пособие химическая переработка твердого топлива и перспективы получения жидких углеводородов из биомассы. Для студентов химического факультета
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Утверждено Ученым Советом факультета психологии Санкт-Петербургского госуниверситета 31 мая 2001 года Настоящее учебное пособие
17 Сентября 2013