Реферат: Дифференциальные уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

проф. В.А. Кондратьев, проф. Ю.С. Ильяшенко, А.С. Городецкий

1 год, 2 курс

1 семестр.

Введение. Примеры.

Элементарные методы интегрирования.

1. Уравнения с разделяющимися переменными. Декартовы произведения двух систем.

2. Однородные уравнения. Их группа симметрий.

3. Линейные уравнения первого порядка. Преобразования монодромии и периодические решения линейных уравнений с периодическими коэффициентами.

4. Уравнения в полных дифференциалах. Гамильтоновы уравнения с одной степенью свободы. Маятник.

Теорема существования.

5. Принцип сжатых отображений.

6. Теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных условий. Метод Пикара.

7. Сходимость Пикаровских приближений к решению (будет использована во втором семестре при доказательстве: гладкой зависимости решения от начального условия; теоремы о выпрямлении).

8. Теорема о продолжении интегральных и фазовых кривых. Ее применение к линейным неавтономным системам.

9. Формула Лиувилля-Остроградского.

Линейные уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами.

10. Однородные уравнения и уравнения со специальной правой частью

11. Резонансы. Метод комплексных амплитуд.

2 семестр.

Линейные системы.

1. Фазовые потоки. Экспонента линейного оператора.

2. Комплексификация и овеществление. Вычисление экспоненты.

3. Экспонента комплексного числа

4. Экспонента жордановой клетки.

Теорема о выпрямлении и ее следствия.

5. Теорема существования и единственности (напоминание). Пикаровские приближения.

6. Производное отображение. Уравнение в вариациях по начальным условиям и параметрам. Гладкая зависимость решений от начальных условий и параметров.

7. Теорема о выпрямлении и ее следствия. Полная система первых интегралов.

8. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений.

9. Искажение фазового объема.

Устойчивость. Фазовая плоскость.

10. Устойчивость особых точек дифференциальных уравнений и неподвижных точек отображений.

11. Фазовая плоскость. Топология фазовых кривых. Отображение Пуанкаре. Предельные циклы. Теорема Флоке.

Детерминизм и хаос.

12. Малые колебания. Плотные обмотки тора. Равенство пространственных и временных средних для иррационального поворота окружности.

13. Подкова Смейла. Элементы символической динамики.