Реферат: Програма з основних нормативних курсів для комплексного державного іспиту зі статистики освітньо-кваліфікаційного рівня "спеціаліст"

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

механіко-математичний факультет


ПРОГРАМА

з основних нормативних курсів для комплексного державного іспиту зі статистики

освітньо-кваліфікаційного рівня “спеціаліст”

(спеціальність підготовки “статистика”)

2011/2012 навчальний рік


А.Студент повинен формулювати та активно володіти поняттями

1. Математичний аналіз


1.Математичний аналіз

Поняття границі послідовності, границі функції в точці.

Неперервні та рівномірно неперервні функції. Типи розривів. Неперервність елементарних функцій.

Похідна та диференціал функцій однієї та кількох змінних.

Формула Тейлора з різними формами залишкових членів. Основні розклади.

Інтеграл Рімана, умови його існування.

Числові та функціональні ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рівномірна збіжність.

Ряд Тейлора. Основні розклади.

Формула заміни змінних у кратному інтегралі.

Формули Гріна, Гаусса-Остроградського, Стокса.

Метричні простори. Збіжність у метричних просторах.

^ 2.Теорія міри та інтеграла

Конструкція міри Лебега.

Вимірні функції. Критерій вимірності.

Збіжність за мірою та збіжність майже всюди.

Конструкція інтеграла Лебега.

Теореми про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

^ 3.Функціональний аналіз

Гільбертів простір. Ортонормовані базиси.

Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора.

Теорема Гана-Банаха.

Теорема Банаха про обернений оператор.

Принцип рівномірної обмеженості.

Компактні оператори та теореми Фредгольма.

^ 4.Лінійна алгебра

Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.

Матриці та дії над ними. Обернена матриця.

Лінійні перетворення. Ранг і дефект лінійного перетворення.

Визначники, їх властивості та застосування.

Власні числа і власні вектори лінійного оператора.

Жорданова нормальна форма матриці.

Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду методом Лагранжа і Якобі.

^ 5.Алгебра та теорія чисел

Поняття групи. Циклічні групи, їх властивості

Кільця головних ідеалів, евклідові кільця.

6.Аналітична геометрія

Скалярний, векторний та мішаний добутки векторів, вираз через координати векторів-співмножників.

Взаємне розташування кривої другого порядку та прямої.

Головні напрями поверхні другого порядку. Характеристичне рівняння.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі (умова мимобіжності, перетину, паралельності, збігу).

Діаметри кривої другого порядку.

^ 7.Диференціальна геометрія та топологія

Тригранник Френе.

Аксіоми відокремлюваності. Регулярні та нормальні простори.

Зв’язні простори та множини. Лінійна зв’язність.

Внутрішня геометрія поверхні.

Внутрішність і замикання множини топологічного простору. Внутрішні, граничні, ізольовані точки, точки дотику.

^ 8.Диференціальні рівняння

Рівняння з відокремлюваними змінними та його інтегрування.

Задача Коші для диференціального рівняння довільного порядку та для нормальної системи диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Теорема Пікара.

Типи фазових портретів двовимірних лінійних однорідних систем (ЛОС) зі сталими коефіцієнтами: вузол, вироджений та дикритичний вузли, сідло, фокус, центр.

Фундаментальна система розв’язків (ФСР) лінійного однорідного диференціального рівняння довільного порядку (ЛОР). Вронскіан. Фундаментальна матриця ЛОС.

Побудова ФСР лінійного ЛОР зі сталими коефіцієнтами та ЛОС зі сталою матрицею.

Метод варіації довільних сталих розв’язання лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь довільного порядку та систем диференціальних рівнянь.

Метод невизначених коефіцієнтів знаходження частинного розв’язку ЛНР з квазіполіномною правою частиною.

Стійкість та асимптотична стійкість розв’язків за Ляпуновим.

Критерії стійкості та асимптотичної стійкості ЛОС зі сталими коефіцієнтами.

Теорема про стійкість за першим наближенням положення рівноваги автономної системи.

9.Інформатика та програмування

Поняття виконавця та алгоритму.

Поняття типу даних.

Структури керування (ланцюг, розгалуження, цикл).

^ 10.Варіаційне числення

Постановка задачі опуклого програмування і теорема Куна-Такера.

Похідні в нормованих просторах, теореми про суперпозицію і про середнє.

Необхідні умови екстремуму в гладких задачах з обмеженнями.

Постановка основних задач варіаційного числення, необхідні умови слабкого локального екстремуму.

Постановка задач оптимального керування Больца та оптимальної швидкодії.

^ 11.Комплексний аналіз

Геометричний зміст модуля і аргумента похідної функції комплексної змінної. Конформні відображення.

Класифікація аналітичних функцій за їх особливими точками: цілі функції, мероморфні функції. Теорема про мероморфну функцію.

Теорема Коші про інтеграл від аналітичної функції.

Принцип аргумента та теорема Руше.

Основні поняття теорії аналітичного продовження (аналітичне продовження, канонічний аналітичний елемент, аналітичне продовження вздовж шляху, принципи аналітичного продовження: за неперервністю та симетрії Рімана-Шварца).

^ 12.Рівняння математичної фізики

Постановка основних задач математичної фізики та їх фізичний зміст (задачі Коші для хвильового рівняння та рівняння теплопровідності; мішані задачі для хвильового рівняння та рівняння теплопровідності; крайові задачі для рівняння Пуассона).

Розв’язання задачі про коливання напівнескінченної струни.

Метод відокремлення змінних та його застосування (для рівнянь з однією просторовою змінною).

Поняття фундаментального розв’язку для оператора Лапласа.

Гармонічні функції та їх властивості.

Функція Гріна першої крайової задачі для круга.

^ 13.Теорія ймовірностей

Загальне означення випадкової величини та вектора, борельова σ-алгебра, критерій вимірності.

Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега-Стілтьєса.

Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки).

Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин.

Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа.

Посилений закон великих чисел Колмогорова.

Класична центральна гранична теорема.

^ 14.Математична статистика

Статистики, оцінки та їх властивості.

Статистичні критерії, рівень та потужність, найбільш потужні критерії.

Властивості вибіркових моментів.

Теорема Крамера-Рао для скалярного параметра.

Конзистентність оцінок максимальної вірогідності, інформація за Кульбаком.

Розподіли Χ 2, Стьюдента і Фішера-Снедекора.

^ 15.Методи обчислень

Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа та Ньютона.

Формули чисельного інтегрування (прямокутників, трапеції, Симпсона).

Метод скінчених різниць розв’язування крайових задач.

^ 16.Вибіркові обстеження

Простий випадковий, систематичний та стратифікований відбори.

Одноступінчатий кластерний, двоступінчатий стратифікований відбір.

Оцінювання по відношенню та по регресії пр простому випадковому відборі. Роздільні та сумісні оцінки по відношенню та по регресії при стратифікованому відборі.

^ 17.Дослідження операцій

Загальна задача лінійного програмування та двоїста до неї задача. Основна теорема двоїстості та теорема рівноваги.

Необхідні та достатні умови екстремуму для гладкого нелінійного програмування.

Субдиференціали опуклих функцій та їх властивості.

Задачі негладкого опуклого програмування без обмежень і з обмеженнями-рівностями.

Матричні ігри та їх розв’язність у чистих та мішаних стратегіях.

^ 18.Математична економіка

Функція попиту споживача. Слабка аксіома виявленої переваги. Компенсована за Слуцьким зміна цін. Необхідні і достатні умови виконання слабкої аксіоми виявленої переваги для функції попиту.

Теорія виробництва. Закдача максимізації прибутку. Властивості відповідності пропозиції фірми і властивості функції прибутку.

Несхильність до ризику та її характеристики: непевний еквівалент лотереї, ймовірнісна премія. властивості функції корисності приймаючого рішення.



Б. Студент має вміти доводити такі теореми:

^ 1.Математичний аналіз

Теореми про три послідовності, про арифметичні дії зі збіжними послідовностями.

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа та Коші.

Властивості суми функціонального ряду: теореми про неперервність, інтегровність, диференційовність.

Теорема Банаха про стискаючі відображення.

Необхідні й достатні умови диференційовності функцій кількох змінних.

Формула Ньютона-Лейбніца.

Теорема про інтегровність неперервної функції.

Достатні умови збіжності ряду Фур'є в точці.

^ 2.Теорія міри та інтеграла

Теорема про σ-адитивність міри Лебега.

Теорема Лебега про мажоровану збіжність під знаком інтеграла Лебега.

^ 3.Функціональний аналіз

Повнота простору лінійних неперервних функціоналів.

Теорема про ортогональний розклад гільбертового простору.

Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала в гільбертовому просторі.

Теорема про спектр компактного оператора.

^ 4.Лінійна алгебра

Теорема про ранг матриці.

Теореми Кронекера-Капеллі про сумісність і визначеність системи лінійних рівнянь.

Формули зміни координат вектора і матриці лінійного перетворення при зміні бази.

Закон інерції дійсних квадратичних форм.

Метод ортогоналізації Грама-Шмідта. Ортонормовані бази.

^ 5.Алгебра та теорія чисел

Теорема Лагранжа про порядки групи та підгрупи.

Дія групи на множині і лема Коші_Фробеніуса-Бернсайда.

Основна теорема про гомоморфізми груп.

^ 6.Дискретна математика

Поліноміальні коефіцієнти, поліноміальна формула.

7.Математична логіка

Диз’юнктивна і кон’юнктивна нормальні форми булевих функцй.

^ 8.Аналітична геометрія

Оптичні властивості еліпса, гіперболи, параболи.

Теорема про головні напрями кривої другого порядку.

Теореми про інваріанти поверхні другого порядку.

^ 9.Диференціальна геометрія та топологія

Теорема про кривину кривої.

Критерій того, що родина підмножин непорожньої множини є базою деякої топології на цій множині.

Критерій неперервності відображення топологічних просторів.

^ 10.Диференціальні рівняння

Теорема існування фундаментальної системи розв’язків ЛОС.

Вронскіан і критерій фундаментальності системи розв’язків ЛОР.

Теорема про загальний розв’язок ЛОС.

Перший інтеграл нормальної системи та його аналітичний критерій.

Критерії стійкості та асимптотичної стійкості ЛОС зі змінною матрицею.

Знаковизначені функції. Теорема Ляпунова про стійкість положення рівноваги автономної системи.

^ 11.Варіаційне числення

Теорема про апроксимацiю в гiльбертовому просторi.

Необхiднi умови локального екстремуму в гладких задачах без обмежень.

Необхiднi умови локального екстремуму в задачi Лагранжа.

^ 12.Комплексний аналіз

Теорема про диференційованість функцій комплексної змінної. Умови Коші-Рімана.

Теорема про аналітичність суми степеневого ряду в крузі збіжності.

Теорема про розвинення функцій в ряд Лорана.

Теорема Ліувілля для аналітичних функцій..

Теорема Коші про суму лишків.

^ 13.Рівняння математичної фізики

Інтеграл енергії. Єдиність розв’язку мішаних задач для хвильового рівняння.

Принцип максимуму для розв’язку однорідного рівняння теплопровідності та єдиність розв’язку першої мішаної задачі.

Єдиність розв’язку другої внутрішньої крайової задачі для рівняння Пуассона.

Метод конформних відображень побудови функції Гріна першої крайової задачі. Приклади застосування.

Принцип максимуму для гармонічних функцій та наслідки з нього.

^ 14.Теорія ймовірностей

Теорема про основні властивості функції розподілу.

Теорема про функцію розподілу суми незалежних величин.

Гранична теорема Пуассона.

Теорема про математичне сподівання добутку незалежних величин.

Теорема про лінійні перетворення нормальних векторів.

Теорема Чебишева про закон великих чисел.

Класична центральна гранична теорема.

^ 15.Математична статистика

Теорема про властивості відносної частоти у схемі Бернуллі.

Теорема про функцію розподілу порядкових статистик.

Теорема про обчислення інформації за Фішером.

Теорема про моменти вибіркових моментів.

Теорема про інваріантність оцінки максимальної вірогідності.

^ 16.Математична економіка

Задача максимізіції корисності. Теорема про властивості відповідності попиту.

Задача мінімізації витрат споживача. Функція витрат і її властивості.

17.Інформатика та програмування

Перша теорема про рекурентні співвідношення.

Друга теорема про рекурентні співвідношення.

^ 18.Методи обчислень

Теорема про коректність методу прогонки розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною структурою матриці.



Додаткові програми кафедр


Кафедра теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики

“Актуарна та фінансова математика”

^ 1.Теорія ймовірностей

1) Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа.

2) Обчислення маткматичного сподівання функції від випадкової величини через її функцію розподілу.

3) Функція розподілу та щільність суми незалежних величин.

4) Посилений закон великих чисел Колмогорова.

5) Класична центральна гранична теорема.

^ 2.Математична статистика

1) Теореми Глівенка-Кантеллі, Колмогорова та їх застосування.

2) Метод моментів, його конзистентність.

3) Незміщені оцінки мінімальної дисперсії. Оптимальні оцінки, єдиність.

4) Побудова вірогідних інтервалів для середнього та дисперсії нормальної вибірки.

5) Метод найменших квадратів в регресійному аналізі.

^ 3.Теорія випадкових процесів

1) Випадкові процеси з незалежними приростами. Характеризаційна теорема в терміна характеристичних функцій.

2) Теорема Дуба про випадкову зупинку мартингала.

3) Умови відсутності розривів другого роду у процесів з незалежними приростами.

4) Ергодична теорема для однорідних марковськихт ланцюгів.

5) Теорема Карунена.

^ 4.Фінансова математика фондового ринку

1) Перша основна теорема фінансової математики для одноперіодичної моделі.

2) Функція корисності та її твердий еквівалент.

3) Формула Блека-Шоулса для справедливої ціни Європейського опціону купівлі.

4) Відшукання оптимального моменту подання Американського опціону до виконання ( оптимальна зупинка з точки зору покупця).


^ Кафедра диференціальних та інтегральних рівнянь

“Математична економіка”

1) Теорема Пеано існування розв’язку задачі Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь.

2) Теореми про неперервну та диференційовну залежність розв’язку задачі Коші від початкових даних та параметрів в природній області визначення.

3) Експонента матриці як фундаментальна матриця ЛОС зі сталими коефіціентами, її властивості.

4) Типи фазових портретів двовимірної ЛОС зі сталими коефіціентами.

5) ЛОС з періодичними коефіціентами. Матриця монодромії. Теорема Флоке-Ляпунова.

6) Метод малого параметра Пуанкаре.

7) Стійкість лінійних систем зі сталою та майже сталою матрицею.

8) Функція попиту споживача. Слабка аксіома виявленої перваги. Компенсована за Слуцьким зміна цін. Необхідні й достатні умови виконання слабкої аксіоми виявленої переваги для функції попиту.

9) Задача максимізіції корисності. Теорема про властивості відповідності попиту.

10) Задача мінімізації витрат споживача. Функція витрат і її властивості.

11) Теорія виробництва. Задача максимізації прибутку. Властивості відповідності пропозиції фірми і властивості функції прибутку.

12) Несхильність до ризику та її характеристики: непевний еквівалент лотерей, ймовірнісна премія, властивості функції корисності приймального рішення.


В. Студент має розв’язувати задачі таких типів:

^ 1.Математичний аналіз

Знаходити границі послідовностей та функцій.

Досліджувати функції за допомогою похідної та будувати їх графіки.

Обчислювати площу, довжину дуги, роботу, потік, використовуючи інтеграл Рімана та інтеграли по многовидах.

Розкладати функції в ряди Тейлора та Фур'є.

2.Теорія міри

Обчислювати інтеграл Лебега, використовуючи його зв'язок з інтегралом Рімана.

Виконувати граничний перехід під знаком інтеграла Лебега, застосовуючи теорему Лебега про мажоровану збіжність.

^ 3.Функціональний аналіз

Визначати лінійні неперервні функціонали в класичних лінійних нормованих просторах. Обчислювати норми лінійних неперервних функціоналів.

Визначати лінійні неперервні оператори. Обчислювати норми. Досліджувати збіжність операторів.

Знаходити спектр лінійного неперервного оператора. Спектр компактного оператора.

Розв'язувати інтегральні рівняння, застосовувати теореми Фредгольма.

^ 4.Лінійна алгебра

Знаходити найбільший спільний дільник двох многочленів.

Знаходити обернену матрицю.

Знаходити базу суми і перетину лінійних підпросторів

Зводити квадратичну форму до канонічного вигляду.

Знаходити ортонормовану базу в евклідовому просторі.

Знаходити власні числа і власні вектори лінійного оператора.

^ 5.Алгебра та теорія чисел

Знаходити кількість абелевих груп заданого порядку.

Знаходити розклад підстановки в добуток незалежних циклів, знаходити порядок підстановки.

^ 6.Комплексний аналіз

Знаходити конформні відображення областей.

Знаходити розвинення функцій у ряди Тейлора та Лорана. Знаходити особливі точки.

Обчислювати інтеграли за допомогою теорії лишків.

^ 7.Рівняння математичної фізики

Зводити до канонічного вигляду диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку з n і двома незалежними змінними.

Розв’язувати задачі Коші для одновимірного хвильового рівняння (метод характеристик).

Знати метод відокремлення змінних розв’язання мішаних задач для рівнянь з однією просторовою змінною.

^ 8.Теорія ймовірностей

Використовувати класичне означення ймовірності.

Використовувати геометричне означення ймовірності.

Використовувати умовну ймовірність. Використовувати незалежність випадкових подій.

Використовувати формулу повної ймовірності та формулу Байеса.

Знаходити розподіл функції від випадкової величини або випадкового вектора.

Знаходити числові характеристики випадкових величин і випадкових векторів.

^ 9.Математична статистика

Використовувати метод моментів побудови точкових оцінок.

Використовувати метод максимальної вірогідності.

Знаходити незміщені оцінки, ефективні оцінки, конзистентні оцінки.

^ 10.Диференціальні рівняння

Знаходити розв'язок задачі Коші інтегровного рівняння першого порядку.

Знаходити ФСР ЛОР зі сталими коефіцієнтами.

Розв'язувати ЛНР методом варіації довільних сталих.

Знаходити частинний розв'язок ЛНР методом невизначених коефіцієнтів.

Розв'язувати ЛОС зі сталими коефіцієнтами.

Визначати тип фазового портрета автономної 2-вимірної ЛОС та схематично зображати його.

Досліджувати на стійкість за першим наближенням положення рівноваги автономної системи.

11.Варіаційне числення

Знаходити екстремуми одновимірних інтегральних функціоналів (задача Лагранжа на множині функцій з закріпленими кінцями).

Знаходити естремуми в задачі Больца.



Програма затверджена на засіданні вченої ради механіко- математичного факультету

Протокол № 7 від 20 березня 2012р.


Декан механіко-математичного факультету М.Ф.Городній