Реферат: Аннотация рабочей программы дисциплины функциональный анализ (наименование учебной дисциплины)

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ


Функциональный анализ

(наименование учебной дисциплины)


Уровень основной образовательной программы______бакалавриат_________

(бакалавриат, магистратура, подготовка специалиста)

Направление(я) подготовки (специальность) 010800 Механика и математическое моделирование

Место дисциплины в структуре ООП


Целью изучения дисциплины является: Целью настоящего курса является изучение теоретических основ функционального анализа и теории функций действительной переменной, получение практических навыков решения простейших задач, овладение методами решения прикладных задач методами функционального анализа для успешного освоения дисциплин, базирующихся на основе функционального анализа.


^ Основные дидактические единицы (разделы):

1) Полукольцо, кольцо и алгебра множеств; σ-кольцо и σ -алгебра. Полукольцо параллелепипедов в ℝn.

2) Мера на полукольце (кольце) и ее свойства. Мера на полукольце параллелепипедов в ℝn.

3) Внешняя мера и ее свойства. Продолжение меры на σ -алгебру измеримых множеств. Свойства меры на σ -алгебре.

4) Измеримость открытого, замкнутого и счетного множества в ℝn. Множество Кантора. Борелевские множества. Формула для внешней меры в ℝn. Приближение измеримого множества открытыми и замкнутыми множествами.

5) Измеримые функции и их свойства. Предельный переход в классе измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере.

6) Теоремы Егорова, Фреше и Лузина.

7) Интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции и его свойства.

8) Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Связь интегралов Лебега и Римана. Интеграл Лебега от неограниченной функции и по неограниченному множеству. Теорема Леви.

9) Монотонная функция. Функция скачков. Функции ограниченной вариации и их свойства. Интеграл Стилтьеса и его свойства.

10) σ -алгебра и мера на ней, порожденные монотонно возрастающей функцией. Интеграл Лебега-Стилтьеса; сведение его к интегралу Стилтьеса.

11) Векторное пространство. Подпространство, сумма подпространств, фактор-пространство. Примеры векторных пространств: .

12) Норма. Примеры нормированных пространств. Неравенства Гельдера и Минковского. Подчиненность и эквивалентность норм. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве.

13) Банаховы пространства. Примеры. Пополнение нормированного пространства.

14) Гильбертовы пространства. Скалярное произведение. Неравенство Шварца. Норма, порожденная скалярным произведением. Ортонормированные системы. Процедура ортогонализации.

15) Лемма о перпендикуляре. Разложение гильбертова пространства в прямую сумму замкнутого подпространства и его ортогонального дополнения.

16) Сепарабельность нормированного пространства. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Абстрактный ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость ортонормированной системы. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.

17) Линейный оператор, его инъективность, сюръективность и биективность. Примеры: интегральный оператор, оператор умножения на функцию. Операторное уравнение , его однозначная разрешимость и всюду разрешимость. Непрерывность и ограниченность оператора. Норма оператора. Ограниченность интегрального оператора в и в .

18) Алгебра линейных ограниченных операторов. Поточечная сходимость операторов. Полнота пространства операторов. Операторные ряды, элементарные функции от операторов.

19) Лемма о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха-Штейнхауза о поточечной сходимости, продолжение линейного ограниченного оператора со всюду плотного подпространства на все пространство.

20) Обратный оператор. Существование оператора , где . Открытость множества обратимых операторов. Теорема Банаха об обратном отображении. Теорема об открытом отображении. Теорема о замкнутом графике. Связь с корректной разрешимостью операторного уравнения.

21) Линейные ограниченные функционалы. Сопряженное пространство. Примеры сопряженных пространств. Теорема Рисса об общем виде функционала гильбертовом пространстве.

22)Теорема Хана-Банаха, ее следствие. Второе сопряженное пространство, вложение . Рефлексивность. Слабая сходимость.

23) Сопряженный оператор. Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Резольвента. Классификация точек спектра (точечный, остаточный и непрерывный спектры). Разложение резольвенты в ряд Лорана. Аналитичность резольвенты. Замкнутость, ограниченность и непустота спектра ограниченного оператора. Вещественность спектра самосопряженного оператора, отсутствие у него остаточного спектра.

24) Компактные множества в нормированном пространстве. Теорема Арцела. Компактные операторы и их свойства. Свойства собственных значений компактного оператора. Теорема Гильберта-Шмидта. Теоремы Фредгольма для операторного уравнения с компактным оператором в гильбертовом пространстве. Компактность интегрального оператора в и . Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, некоторые методы их решения.

25) Производная Фреше нелинейного оператора и ее свойства. Примеры. Необходимое условие экстремума для нелинейного функционала. Понятие о вариационном исчислении. Уравнение Эйлера. Принцип сжимающих отображений.


^ Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины: ОК-7; ОК-8; ОК-11; ПК-3; ПК-4; ПК-5; ПК-6; ПК-9; ПК-10; ПК-11; ПК-12; ПК-13; ПК-15; ПК16; ПК-21; ПК-22; ПК-23; ПК-27; ПК-29.


^ В результате изучения дисциплины студент должен:

знать: основные понятия, определения и свойства объектов функционального анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

уметь: доказывать утверждения функционального анализа, решать задачи курса, уметь применять полученные навыки в других дисциплинах естественнонаучного содержания.

владеть: аппаратом функционального анализа, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания

Виды учебной работы: лекции, семинары, консультации, коллоквиумы, контрольные работы, самостоятельная работа.


Изучение дисциплины заканчивается: экзаменом.