Реферат: 0 Распределение "свободных" электронов по энергиям

0 Распределение “свободных” электронов по энергиям.


Согласно модели Зоммерфельда, нам удалось выразить связь энергии электронов с их волновым вектором:

 = (2/2m)k2 (1)

где k квантуется (k = 2/L)

и мы имеем:  = (2/2m)(2/L)2i2 (2)1)

Здесь L – линейный размер образца,

i – целое число: i = 0, 1, 2, …

Видно, что так называемые свободные электроны могут принимать различные значения энергии.

В выражениях (1) и (2) отражены вовсе не реальные значения энергии, которыми обладают электроны. В названых формулах обозначены те квантовые состояния с указанной в них значениях энергии, которые электронам принимать дозволенно, в то время как все иные значения энергии являются запрещенными.

Если квантовому состоянию отвечает не та энергия, что в (2), то такое квантовое состояние занимать электронам запрещено.

Если квантовое состояние отвечает энергии, указанной в формуле (2), то электроны это квантовое состояние в принципе занять могут (если свободные электроны для этого найдутся).

^ Вопрос о том, какое число дозволенных квантовых состояний приходится на каждое значение энергии, мы пока не обсуждали. Именно на этот вопрос мы и попытаемся найти здесь ответ.

А именно:

Сколько квантовых состояний имеется для энергии  = (2/2m)(k)2?

А, значит, и какое максимальное число электронов может иметь такую энергию?

Именно это и называется плотностью числа состояний di/d для интервала энергий     d.

Ашкрофт и Мермин называют это «величину плотностью уровней в расчете на единицу объема» и нормируют на энергию Ферми. Обозначается эта величина (di/d) в разных книгах по-разному:

di/d = g()  ()  D()  N().

Давайте будем пользоваться обозначением g() и найдем эту величину.

Для этого нам необходимо знать:

Объем в фазовом k-пространстве, с одной и той же энергией VФ().

Объем в фазовом k-пространстве, занимаемый одним квантовым состоянием: V1.

Тогда, поделив объем, относящийся к энергии , на объем, занимаемый одним квантовым состоянием, узнаем, сколько в образце квантовых состояний с энергией . Если полученное значение поделить на объем образца Vобр, то можно узнать, какова плотность разрешенных квантовых состояний в единице объема образца. Поскольку, согласно принципу Паули, в одном квантовом состоянии может находиться 2 электрона со спиновым квантовым числом  ms, необходимо помножить полученное значение на 2.

В результате получим величину числа состояний в интервале     d:

i() = 2VФ()/(V1Vобр)

Теперь сталось найти VФ(), V1 и Vобр

► Найдем объем в фазовом k- пространстве VФ().

Решим задачу для простейшего случая щелочных металлов, имеющих сферическую поверхность Ферми и в качестве носителей тока – только электроны проводимости (дырок у щелочных металлов нет).

Тогда в k-пространстве любой одинаковой энергии  буде отвечать сферическая поверхность с площадью 4k2, а слой с толщиной dk будет иметь объем, равный 4k2dk. Поскольку мы знаем, как k связан с энергией , то можно соотнести этот объем с энергией в интервале    d.

Объем этого слоя, равный 4k2dk, и соответствует искомой величине VФ().

► Найдем объем, занимаемый одним квантовым состоянием V1. Его можно узнать, имея в виду принцип неопределенности, выражаемый как xp  h.

Найдем для нашего случая x и p.

Местонахождение электрона проводимости определяется размерами образца. Значит, x = Lx (0  x  Lx). А p = k. В свою очередь, k = 2/Lx.

Отсюда следует, что минимальный объем, занимаемый одним квантовым состоянием, равен V1 = (2/LxLyLz)3.

► Объем образца с размерами LxLyLz равен: Vобр = LxLyLz

Подставим полученные значения в i() = 2VФ()/V1Vобр:

С учетом того, что

k2 = (2m/2); dk = (1/2)(2m/2)1/21/2d;

VФ = 24k2dk = 24(1/2)(2m/2)3/21/2d = 4(2m/2)3/21/2d;

V1 = (2/LxLyLz)3 = 83/Vобр;

имеем i() = {[4(2m/2)3/21/2]/[(83/Vобр)Vобр]}d

Окончательно получаем:

g() = di/d = 4(2m/2)3/21/2/83 = (1/22)(2m/2)3/21/2


Итак, давайте хорошенько запомним это очень полезное выражение для плотности числа состояний электронов:


g() = di/d = (1/22)(2m/2)3/21/2 


Но надо еще не забыть, что вывели мы его для щелочных металлов, где:

поверхность Ферми сферическая;

зависимость  от k квадратичная:  = (2/2m)k2;

в качестве носителей заряда выступают только электроны проводимости, а дырок нет.

Как же быть с остальными веществами, где эти условия не выполняются? Для чего мы старались и для чего запоминать этот пусть приятный, но частный случай?

Оказывается, формула полезна не только для щелочных металлов.

Дело в том, что у дна зоны проводимости и потолка валентной зоны зависимость  от k очень близка к квадратичной:  = (2/2m)k2. Как ни странно, но выражение  применимо к полупроводникам куда лучше, чем к металлам, если они не являются щелочными. В полупроводниках концентрация носителей заряда столь мала, что носители заполняют энергетические уровни возле самого дна зоны проводимости и потолка валентной зоны полупроводника. Благодаря этому выполняется квадратичная зависимость  от k. В.Г. 30-03-02


8(2) ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ (Шалимова, с.228)


Как следует из равенства (7-29), в случае монополярной генера­ции носителей заряда возникает объемный заряд, который со вре­менем уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной вре­мени Тц. Другими словами, объемный заряд, созданный избыточ­ной концентрацией основных носителей заряда, в результате тока проводимости исчезнет в среднем через Тц. Поскольку максвелловское время релаксации Тц для полупроводников достаточно малая величина, электронное облако избыточных носителей заряда за это время не может сместиться на значительное расстояние но отношению к нонам примеси, а поэтому повышенная концентра­ция носителей заряда будет в той же области полупроводника, где происходит их генерация. Следовательно, монополярная гене­рация и рекомбинация носителей заряда имеют место в одной и той же области примесного полупроводника.


7-4. ВИДЫ РЕКОМБИНАЦИИ

В зависимости от механизма различают три вида рекомбинации:

межзонная рекомбинация,

рекомбинация через локальные центры и

поверхностная рекомбинация.

Межзонная рекомбинация осуществляется при переходе свобод­ного электрона из зоны проводимости в валентную зону, что сопро­вождается уничтожением свободного электрона и свободной дырки. Этот процесс совершается при соблюдении законов сохранения энергии и квазиимпульса. Если энергия и квазиимпульс электрона в зоне проводимости (до рекомбинации) были Е' и р' а после ре­комбинации они равны соответственно Е и р, то законы сохранения энергии и квазиимпульса запишутся в виде

E' = E + E; p' = p + Q. (7-31)

Здесь Q – квазиимпульс, передаваемый электроном кристалли­ческой решетке, а E – энергия, которая выделяется при про­цессе рекомбинации.

В зависимости от того, каким образом расходуется энергия E, межзонная рекомбинация разделяется на три типа:

если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, излу­чается в виде кванта света, рекомбинация называется излучательной или фотонной;

если энергия, освобождающаяся в процессе рекомбинации, пере­дается решетке, т. е. расходуется на образование фононов, реком­бинация называется безызлучательной или фононной;

если в акте рекомбинации выделяющаяся энергия передается третьему свободному носителю заряда, рекомбинация называется ударной или рекомбинацией Оже.


Ре­комбинация через локальные центры. В полупроводниковом кристалле всегда имеются дефекты, энер­гетические уровни которых находятся в запрещенной зоне. Поэтому наряду с межзонной рекомбинацией может идти процесс ре­комбинации через локальные центры. Дефект решетки, способный захватить электрон из зоны, проводимости и дырку из валентной зоны, осуществляя их рекомбинацию, называется рекомбинационной ловушкой. В этом случае исчезновение пары – электрона про­водимости и дырки проводимости – осуществляется следующим образом. Нейтральная рекомбинационная ловушка захватывает электрон из зоны проводимости, который затем через некоторое время перейдет в валентную зону.

В зависимости от способа расхо­дования энергии ^ E при переходе электрона на более низкий энер­гетический уровень рекомбинация через рекомбинационные ловушки также может быть фотонной или фононной.


Рекомбинация носителей заряда, идущая на поверхности полу­проводника, называется поверхностной рекомбинацией. Поверхност­ная рекомбинация происходит через поверхностные рекомбинацион­ные ловушки и может протекать с излучением и без излучения света.


Линейная и Квадратичная релаксация (Шалимова, с.224)

^ 7.2. БИПОЛЯРНАЯ СВЕТОВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

Рассмотрим полупроводник, в котором в результате поглощения света создается некоторая избыточная концентрация электронов и дырок. Генерацию носителей заряда, при которой в результате возбуждения возникают пары – электрон и дырка, будем называть биполярной генерацией. В этом случае поглощение кванта света сопровождается разрывом валентной связи и количество генерируе­мых избыточных электронов и дырок одинаково:

n = p (7-13)

Параллельно с процессом генерации идет процесс рекомбина­ции, и в стационарном состоянии число электронов и дырок, воз­буждаемых за единицу времени в результате разрыва валентных связей, равно числу электронов и дырок, рекомбинирующих за это же время. Поскольку неравновесные носители заряда через очень малое время становятся физически неотличимыми по энергии от равновесных, можно считать, что они имеют тот же коэффициент рекомбинации r, что и равновесные носители заряда.

После выключения возбуждающего света концентрации элек­тронов и дырок уменьшаются в результате рекомбинации. При этом скорость убывания числа свободных электронов и дырок опреде­ляется разностью скоростей рекомбинации и тепловой генерации

–(dn/dt)r = –(dp/dt)r = rnp – G0. (7-14)

(Здесь G0 – число генерируемыхэлектронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду, к – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициен­том рекомбинации.)

^ Принимая во внимание соотношения (7-1), (7-2), (7-3) и (7-13), равенство (7-14) можно переписать следующим образом:

–(dn/dt)r = r(np – n0p0) = r(n0 + p0 + n)n. (7-15)


Учитывая, что в случае малого уровня возбуждения n << n0 + p0, получаем:

(dn/dt)r= –r(n0 + p0)n = – r(n0 + p0)(n – n0). (7-16)

{Рекомбинация называется линейной, так как ее скорость линейно зависит от концентрации избыточных носителей. Любопытно, что скорость рекомбинации пропорциональна и концентрации тепловых носителей}
^ Введем обозначение
 = 1/r(n0 + p0). (7-17)

Тогда уравнение (7-16) примет вид:

(dn/dt)r = –(n – n0)/ = –n0/, откуда

п = n(0)exp(–t/), (7-19)

где n(0) – избыточная концентрация электронов в момент вы­ключения возбуждающего света.

Таким образом, в случае малого уровня биполярной генерации избыточная концентрация электронов и дырок после прекращения возбуждения уменьшается по экспоненциальному закону и за время  число их в результате рекомбинации убывает в e раз.

Следова­тельно,  представляет собой среднее время существования

избы­точной концентрации электронов и дырок

и называется временем жизни неравновесных носителей заряда.


Для собственного полупро­водника

скорости убывания числа электронов и дырок равны

и ве­личина  определяет время жизни электронно-дырочных пар.

Зна­чение объемного времени жизни неравновесных носителей заряда в зависимости от типа полупроводникового материала и от степени его чистоты может изменяться в очень широких пределах – от 10–2 до 10–8c.

Поскольку величина  достаточна велика, свобод­ные электроны и дырки, диффундируя из приповерхностной об­ласти, где их концентрация повышена, в объем полупроводника, за время жизни успеют пройти большое расстояние. Следовательно, в случае биполярной генерации область генерации носителей заряда и область их рекомбинации пространственно не совпадают.

^ В случае большого уровня биполярного возбуждения, когда n >> n0 + p0, из (7-15) найдем, что

(dn/dt)r = –r(n)2, (7-20)

то есть скорость рекомбинации носителей заряда зависит от n no квадратичному закону. {И рекомбинация называется линейной.}

Разделяя переменные, запишем:

dn/(n)2 = –rdt, (7-21)

откуда

n = n(0)/[1 + rn(0)t]. (7-22)

Из равенства (7-22) следует, что при квадратичной рекомбина­ции избыточная концентрация носителей заряда уменьшается по гиперболическому закону.

Если ввести мгновенное время жизни мгн, то в случае квадра­тичной рекомбинации согласно уравнению (7-20)

(dn/dt)r = –n/мгн (7-23)

и

мгн = 1/rn, (7-24)

то есть мгн зависит от концентрации избыточных носителей заряда и в связи с этим является переменной величиной. Однако в каждый момент времени мгн имеет определенный смысл, являясь мгновенным временем жизни носителей заряда. В силу этого при большом уровне инжекции имеем дело с мгновенным временем жизни, которое согласно уравнению (7-23) равно:

мгн = –n/(dn/dt). (7-25)


Механизмы рекомбинации


Рассмотрим некоторые наглядные представления о механизме рекомбинации.

^ По виду передачи энергии рекомбинирующих частиц различают три основных типа рекомбинации.

1. Рекомбинация называется излучательной, или фотонной, если энергия рекомбинирующих частиц выделяется в виде энергии фотона.

2. Если энергия частицы передается решетке (фононам), то реком­бинация называется безызлучательной, или фононной.

3. Одним из видов безызлучательной рекомбинации является ударная ионизация (процессы Оже), когда энергия рекомбинирую­щих частиц передается третьей частице, которая благодаря этому становится «горячей». «Горячая» частица в результате ряда столкно­вений передает свою энергию фононам.

4. Кроме этих трех основных механизмов, энергия рекомбинирую­щих частиц может передаваться электронному газу (плазменная рекомбинация). Если электрон и дырка образуют в качестве про­межуточного состояния экситон, то такая рекомбинация носит назва­ние экситонной.

Фотонная, фононная и рекомбинация Оже могут протекать по-разному в зависимости от механизма перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону.

Если частицы рекомбинируют в результате непосредственной встречи электрона и дырки, то такая рекомбинация называется


^ 8 (1) РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА (Шалимова, с.221)
7.1. РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА

Рассмотрим донорный полупроводник, находящийся в состоя­нии термодинамического равновесия. В результате тепловой ге­нерации электроны с донорной примеси переходят в зону проводи­мости.

При достаточно высоких температурах будет существенным переброс электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводи­мости. На рис. 7-1 стрелками пока­заны переходы электронов при теп­ловом возбуждении.

^ Свободные носи­тели заряда, возникающие в резуль­тате термической генерации и находящиеся в тепловом равновесии, с кристаллической решеткой, назы­ваются равновесными.

На рис.7-1 изображены плотность квантовых состояний N(Е) в зоне проводимости и валентной зоне, функция распределения Ферми–Ди­рака f0(Е) и концентрация равновес­ных электронов n0 и дырок p0, кото­рые занимают состояния вблизи краев соответствующих зон (заштрихован­ные области).

^ Одновременно с генерацией сво­бодных носителей заряда идет про­цесс рекомбинации: электроны возвращаются в свободные состоя­ния в валентной зоне, в результате чего исчезают свободный элек­трон и свободная дырка. В условиях термодинамического равнове­сия эти процессы полностью взаимно уравновешиваются. Обозна­чим через G0 число генерируемых, а через R0 – число рекомбини­рующих электронно-дырочных пар в единице объема кристалла за одну секунду. Вероятность рекомбинации пропорциональна произведению концентраций свободных носителей заряда, поэтому

R0 = rn0p0. (7-1)

Здесь к – коэффициент пропорциональности, называемый ко­эффициентом рекомбинации.

Для равновесного со­стояния полупроводника справедливо равенство

G0 = R0, (7-2)

которое является выражением принципа детального равновесия.

Помимо тепловой генерации имеются другие механизмы, при­водящие к возникновению свободных носителей заряда. Напри­мер, они могут образоваться при облучении полупроводника све­том, за счет разрыва валентных связей в сильных электрических полях или в результате инжекции с помощью p-п перехода. Во всех этих случаях возникает некоторая концентрация электронов п и дырок p, которая отличается от термодинамически равновесной. Подвижные носители заряда, не находящиеся в термодинамическом равновесии как по концентрации, так и по энергетическому распре­делению, называются неравновесными носителями заряда, а их концентрация п, и p называется неравновесной концентрацией. Из­быток неравновесной концентрации носителей заряда п, и p в по­лупроводнике по сравнению с равновесной п0,p0 называется избыточ­ной концентрацией носителей заряда.

При генерации, например при поглощении света, носители за­ряда могут иметь кинетическую энергию, значительно превышаю­щую среднюю тепловую энергию равновесных частиц. В резуль­тате рассеяния на дефектах кристаллической решетки носители заряда довольно быстро передают ей свою избыточную энергию.

Пусть энергия генерированных светом электронов была в зоне про­водимости примерно 1эВ. Рассеиваясь на длинноволновых фононах, они за каждое столкнове­ние будут передавать решетке энер­гию порядка 610–4эВ (см. с. 165). Для рассеива­ния своей избы­точной энергии избыточные электроны должны совершить около 1600 столкновений с акустическими фононами. Так как средняя длина свободного пробега электронов порядка 10–6см, а их тепло­вая скорость при комнатной температуре составляет приблизи­тельно 107см/с, при этом среднее время между двумя столкнове­ниями равно   10–13 с, то уже через 1,610–10с избыточные электроны приобретут температуру кристаллической решетки и не будут отличаться от равновесных носителей заряда. Поэтому рас­пределение по энергиям неравновесных и равновесных носителей заряда будет одинаковым. Этот процесс сводится к тому, что не­равновесные электроны, рассеивая свою избыточную энергию, как бы «опускаются» к нижнему краю зоны проводимости, а неравно­весные дырки, рассеивая избыточную энергию, «поднимаются» к верхнему краю валентной зоны. Если при этом концентрация неравновесных носителей заряда мало отличается от равновесной, можно считать, что энергия кристалла практически не изменяется, а значит, не меняется температура кристалла и, следовательно, не меняется концентрация равновесных носителей заряда. В этом слу­чае общее количество электронов и дырок будет равно соответст­венно:

n = n0 + n;

p = p0 + p. (7-3)

Стационарную концентрацию неравновесных электронов п можно выразить с помощью формулы, аналогичной (4-40),

n = n0 + n = EcPe(E)N(E)dE, (7-4)

где Pe(E) – функция распределения для неравновесных электро­нов, отличная от равновесной функции распределения f0(E) и стремящаяся к ней при прибли­же­нии неравновесной системы к со­стоянию термодинамического равновесия. Это выражение можно представить в виде, аналогичном соотношению (4-42), введя ква­зиуровень Ферми для электронов в неравновесном со­стоянии Fn так, чтобы выполнялось условие

n = NcF1/2(n) (7-5)

где

n = (Fn – Ec)/kT (7-6)

есть приведенный квазиуровень Ферми для электронов.

Концентрацию неравновесных электронов в невырожденном по­лупроводнике с учетом равенств (4-65), (4-66) и (4-69) можно пред­ставить в виде

n = Ncexp(n) = n0exp(n – ) = n0exp(n– i). (7-7)

Аналогично концентрацию неравновесных дырок можно выра­зить следующим образом:

p = p0 + p = –EvPh(E)N(E)dE, (7-8)

где

p = (Fp – Ev)/kT (7-9)

есть приведенный квазиуровень Ферми для дырок.

При отсутствии вырождения, учитывая формулы (4-67) и (4-69), можно написать:

p = Nvexp(–p – i) = p0exp( – p) = niexp(i – p). (7-10)

Таким образом, в неравновесном состоянии уровень Ферми как бы расщепляется на два квазиуровня – для электронов Fn и для дырок Fp (рис. 7-2).

Произведение концентраций электронов и дырок для неравно­весного состояния отличается теперь от его значения для равновес­ного состояния:

n
p = n0p0exp(n – p) = ni2(n – p). (7-11)

Расстояние между приведенными уровнями Ферми (Fn – Fp) характеризует отклонение системы от состояния термодинамического равновесия:

np/n0p0 = np/ni2 = exp(n – p) (7-12)

Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок неравновесном состоянии. При этом, чем сильнее различаются квазиуровни Ферми электронов и дырок, тем сильнее отличается произведение концентраций неравновесных носителей заряда от произведения равновесных концентраций.

________________________________________________________________

^ Не могу не вставить здесь еще и Киреева.

Раздел: § 65. МЕХАНИЗМЫ РЕКОМБИНАЦИИ. ЛИНЕЙНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ

Неравновесное состояние свободных носителей заряда может быть описано некоторой функцией распределения f(r,k,t), вид которой был найден в четвертой главе для случая, когда отклонение от равно­весного состояния вызывается полями E и B, градиентами хими­ческого потенциала F (энергии Ферми) и температуры.

Неравновес­ная часть функции распределения f(1) описывает перераспределе­ние частиц по состояниям в зоне Бриллюэна при сохранении числа частиц. При втором типе неравновесных состояний, когда концентра­ция частиц меняется, характер изменения функции распределения должен быть другим. Предположим, что для описания неравновес­ных состояний можно воспользоваться функцией Ферми-Ди­рака с другими значениями входящих в нее параметров.

^ Системы, в которых вероятность нахождения частиц в верхних состояниях больше, чем в нижних, называют системами с инверсной населенностью. Для их описания необходимо считать температуру величиной отрицательной. Системы с отрицательными температу­рами используются для создания квантовых генераторов и усили­телей.

^ Для неравновесных систем с нормальным распределением частиц по состояниям используется функция Ферми–Дирака (или функция Больцмана), в которой энергия Ферми F заменяется некоторой вели­чиной F*, называемой квазиуровнем Ферми. Квазиуровень Ферми F* можно ввести как величину, определяющую нормальное распределение частиц по состояниям в системах с неравновесной концентрацией носителей заряда. Величину F* можно определить из условия нор­мировки аналогично тому, как это было проделано для уровня Ферми:

n = (2Nc/1/2)Ф1/2(*), * = (F* – Ec)/kT; (65.1)

n = (2Nv/1/2)Ф1/2(*), * = (Ev – F*)/kT; (65.2)

Для невырожденных полупроводников можем записать


n = Ncexp(Fn* – Ec); p = Nvexp(Ev – Fp*) (65.3)

и

np = NcNvexp(–E0/kT)exp[(Fn* – Fp*)/kT] = ni2exp[(Fn* – Fp*)/kT]. (65.4)

Как видно из (65.4), квазиуровни Ферми электронов и дырок в неравновесных системах различны). Чем сильнее различаются ква­зиуровни Ферми электронов и дырок, тем сильнее отличается произ­ведение неравновесных концентраций от произведения равновесных концентраций.


______________

) ^ Прошу обратить внимание на столь любимую студен­тами формулировочку:

«Как видно из формулы (в данном случае из 65.4) квазиуровни Ферми электронов и дырок в неравновес­ных системах различны».

Заметили, что это стало известно именно из формулы?!

^ Сначала он ввел два разных уровня Ферми с потолка «из условия нормировки», а именно: Fn* – уровень Ферми для электронов и Fp* – уровень Ферми для дырок, вставил это в формулы безо всякого объяснения и обоснования, после чего из этих же формул делает мудрый вывод, что уровни Ферми различны.


Здорово, правда?

Шалимова, правда, тоже себя не утруждает объяснением, почему уровни различны. Но она и не говорит, что разницу выудила “из формул”. В.Г.


^ НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА

Неравновесные носители заряда (Бонч-Бруевич, с.244)


… При наличии внешних воздействий на полупроводник к тепловым перехо­дам v12 добавляются переходы v12' нетеп­ловой природы, и при этом частота обрат­ных переходов v21 тоже изменяется. Со­стояние полупроводника в таких усло­виях мы будем называть термодинами­чески неравновесным. При этом принцип детального равновесия, вообще говоря, уже не выполняется.

При нарушении термодинамического равновесия концентрации электронов и дырок в зонах n и p изменяются по сравнению с их равновесными значениями n0 и p0, то есть в зонах появляются неравновесные носители заряда с концентрациями

n2) = n – n0 и p = p – p0.

При этом изменяются и концентрации связанных носителей nt и pt.

Сказанное справедливо, конечно, и для металлов. Однако кон­центрация электронов в металлах гораздо больше, чем в полупро­водниках, и ее относительное изменение обычно ничтожно мало.

Отметим, что уже в гл. VI мы имели дело, по существу, с иерав­новесными состояниями, так как наличие тока нарушает термоди­намическое равновесие (ср. §VI.3). Однако там можно было счи­тать, что по отношению к концентрации носителей заряда равнове­сие сохраняется. Это значит, что для данного полупроводника при заданной температуре установившаяся концентрация электронов определяется только значением электростатического потенциала (ср., например, §VI.12). Теперь мы рассмотрим явления, в которых нарушается равновесие и по концентрациям. Именно такие состоя­ния мы будем называть в дальнейшем неравновесными.


§ 2. Время жизни неравновесных носителей заряда

В настоящей главе мы будем рассматривать поведение неравиовес­ных носителей заряда только в объеме полупроводника, отвлекаясь от возможного влияния его поверхности. Это можно сделать, если отношение поверхности к объему образца достаточно мало (строго говоря, для бесконечно протяженного полупроводника). Однако основные понятия и соотношения, вводимые в настоящей главе. сохраняются и в тех случаях, когда процессами генерации и реком­бинации на самой поверхности пренебрегать нельзя. Влияние по­верхности на неравновесные состояния будет рассмотрено дополни­тельно в гл.X, где будут выяснены и условия, при которых этим влиянием можно пренебречь.

Положим, что под влиянием внешнего воздействия в каждой единице объема полупроводника в единицу времени возникает gn электронов проводимости и, соответственно, gp дырок в валентной зоне. Темпы генерации gn и gp будем считать сначала одинаковыми по всему объему, хотя и не обязательно равными друг другу. Пусть, далее, Rn есть темп обратного процесса исчезновения свободных электродов вследствие процессов рекомбинации с дырками (свобод­ными и связанными на локальных уровнях энергии) и, соответст­венно, Rp — темп рекомбинации свободных дырок. Если в полу­проводнике нет электрического тока, то изменение во времени неравновеспых концентраций электронов и дырок в зонах определя­ется уравнениями

dn/dt = gn — Rn, dp/dt = gp — Rp (2.1)

Подчеркнем, что gnи gp обозначают генерацию, обусловленную только внешними воздействиями, и не включают переходы, вызван­ные тепловвым движением. Последние мы учитываем в величинах Rn и Rp, которые поэтому представляют результирующие темпы рекомбинации, то есть разности между темпом захвата носителей из соответствующей зоны и темпом обратной тепловой генерацией носи­телей в зону:

Rn = rn — gnT, Rp = rp — gpnT. (2.2)

Для количественного описания кинетики неравновесных элек­тронных процессов широко применяют понятия среднего времени жизни неравновесных электронов в зоне проводимости n и. соот­ветственно, дырок в валентной зоне p, которые определяются формулами

Rn = (n — n0)/n, Rn = (p —p0)/p. (2.3)

Или иначе: 1/n есть вероятность исчезновения одного избыточного электрона из зоны проводимости в единицу времени вследствие рекомбинации (со свободными и связанными дырками). Аналогично, 1/p есть вероятность рекомбинации одной избыточной дырки, тоже за единицу времени.

Так как n и p в формулах (2.2) по физическому смыслу не могут иметь слагаемых, не зависящих от n и, соответственно, p, то из


сравнения формул (2.2) и (2.3) следует, что

gn = n0/r^ g^=.p0/ (2.4)

Следовательно, времена Тд и Тр определяют не только темп суммарной рекомбинации, но и темп тепловой генерации электронов и дырок. Пользуясь понятиями времен жизни, уравнения кинетики (2.2) для однородного образца без тока можно записать в виде

d^n 6п dbp 6р

•dT-en-^ w-gp-^ <2-5)

Стационарные концентрации неравновесных носителей заряда. устанавливающиеся после длительного воздействия внешней гене­рации, равны

(6^=g^, (6p)s-gp^. (2.6)

Величины Хп и Гр зависят от физических особенностей элементар­ных актов рекомбинации электронов и дырок. При этом Тл и т^, вообще говоря, могут сами зависеть от неравновесных концентраций 6д и 6р, а также от температуры. Поэтому Тд и Гр не являются харак­теристиками данного полупроводника, но зависят еще от условий опыта. Эти вопросы будут подробнее рассмотрены в гл.IX (см. также § XVI 1.9). Сейчас же мы будем считать т^ и Гр заданными феноменологическими величинами, определяющими кинетику элек­тронных процессов.

В простейшем случае, когда Тд и т^ не зависят от п и р, интегри­рование уравнений (2.5) дает

6п = gntn — С ехр (— thn)

и такое же выражение для концентрации неравновесных дырок бр. Здесь С—постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Так, если вначале полупроводник находился в термо­динамическом равновесии и затем в момент времени / == 0 было включено внешнее воздействие, мы имеем / ==- 0, бп = 0. Это дает

С - gn^n - (6п)„ 6п = (6п), [1 » ехр (~ //т,)]. (2.7а)

Если в некоторый момент времени t == /i генерация выключается, то для / ^ /I, gn == 0, а начальное условие есть / =- /i, 6п = (6/?)i. Тогда

С^ — (6n)i ехр /1, 6п - (6n)i ехр (- (/ - ^)/т„). (2.76)

-rt

При постоянном Тд установление избыточной концентрации элек­тронов и ее исчезновение описываются экспоненциальным законом, а среднее время жизни т„ есть время, в течение которого концентра­ция неравновесных электронов изменяется в e раз. То же справедли­во и для неравновесных дырок.


В общем случае Хп и Гр, изменяющихся вместе с п и р, соотноше­ния (2.3) определяют мгновенное времена жизни. Величины 1/т/г и 1/Тр в этом случае дают вероятности рекомбинации одной частицы в единицу времени при данных значениях п и /?, а Тд и Гр определяют времена, за которые неравновесные концентрации электронов или, соответственно, дырок изменились бы в e раз, если бы вероятность их рекомбинации сохранялась постоянной и равной данному мгно­венному значению.


7 (1) Подвижность носителей (T)

^ Рассмотрим самым примитивным образом
роль заряженных центров и фононов.


Неупругое рассеяние происходит на оптических фононах благодаря межэлектронному взаимодействию.

^ Упругое рассеяние происходит на дефектах и акустических фононах.


Поскольку  = (e/2m)<>, то для определения температурной зависимости подвижности  надо искать, как зависит от температуры <> – среднее время свободного побега.

В свою очередь, <> обусловлено – средней скоростью электронов и < – средней длиной их свободного пробега:

<> = <v>

Согласно примитивной модели Друде, все электроны имеют одинаковую скорость, то есть, v> = v = Const. Поскольку в металлах дрейфовая скорость не может быть соизмеримой с тепловой скоростью, то можно принять: v = vT + vD  vT ~ T1/2 (из: электронов ~ v2 ~ T).

Итак, v ~ T1/2

Остается оценить <> при рассеянии на фононах и заряженных центрах рассеяния.

^ Рассеяние на фононах.

Число столкновений электронов на колеблющихся атомах, обозначим его через Z, пропорционально квадрату амплитуды их колебаний A2:

Z ~ A2.

В свою очередь, амплитуда колебаний A пропорциональна квадратному корню от температуры:

A ~ T1/2.

Стало быть: Z ~ T.

Поскольку, чем больше центров рассеяния, тем короче свободный пробег, то:

<Ф ~ 1/Z ~ 1/T.

Окончательно для рассеяния на фононах <Ф = <Ф/v имеем:

<Ф ~ T–3/2


^ Рассеяние на заряженных центрах.

Будем для упрощения считать, что число заряженных центров в металле от температуры не зависит.

Согласно результатам опытов Резерфорда по рассеянию -частиц (отклонение в электростатическом поле) длина свободного пробега пропорциональна четвертой степени скорости частиц:

<> ~ 4

Значит, для рассеяния на заряженных центрах (ионах) имеем:

<И = <И/v ~ 4/v ~ 3 ~ T3/2

<И ~ T3/2

1 (2) СИММЕТРИЯ (Жданов, с.133)


Глава V
^ СИММЕТРИЯ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И КРИСТАЛЛОВ

§ 1. СИММЕТРИЯ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ ФИГУР

Симметрия3). Операции симметрии.

Волновые функции атома водорода и образуемые из них гибридные вол­новые функции и распределения электронной плотности в атомах обладают симметрией. Симметрия атомов и образуемых ими связей приводит к опре­деленной симметричной структуре молекул и кристаллов. Знание основ учения о симметрии и способов изображения симметрии существенно для понимания и описания структуры молекул и кристаллов и анализа их свойств.

Симметрия какого-либо тела заключается в его свойстве самосовме­щаться в различных своих положениях. Это свойство проявляется в повто­рении частей тела в пространстве.

Симметрия расширяет понятие равенства фигур (А. В. Шубников). Равными можно назвать фигуры, в которых расстояния между соответст­вующими точками одинаковы. Это условие необходимо, но недостаточно для обычного равенства, когда фигуры совмещаются при наложении. Это условие соблюдается также и для правых и левых фигур, которые не сов­мещаются друге другом при наложении (например, правая и левая перчатки, правая и левая молекулы винной кислоты, правый и левый кварц). Подоб­ные фигуры совмещаются только после зеркального отражения, переводя­щего правую фигуру в левую и наоборот. Различие правых нулевых форм молекул и кристаллов проявляется как в структуре, так и в некоторых физи­ческих свойствах и может быть установлено, например, по вращению плос­кости поляризации.

Совмещение разных тел или самосовмещение одного тела

осуществ­ляется с помощью:

отражений;

поворотов;

инверсий;

параллельных переносов;

называемых операциями симмет­рии

или

симметрическими преобразованиями.

Симметрические преобразо­вания являются преобразованиями координат (x, y, z) – (x', y', z') без рас­тяжений, сжатий и сдвигов, то есть такими, при которых расстояния между точками до и после преобразования не изменяются.

Симметрию кристаллов можно описывать двояко. Во-первых, кристаллы представляют собой конечные тела, обладающие анизотропией свойств, что часто проявляется в правильной их форме. В этом случае кристаллы можно заменить многогранниками, имеющими одинаковую с ними симметрию, и описывать их симметрию (с некоторыми ограничениями, рас­сматриваемыми далее) аналогично симметрии атомов и молекул и вообще конечных фигур.

Во-вторых, кристаллы обладают правильными периодиче­скими структурами и их можно рассматривать, как бесконечные тела, само­совмещающиеся при параллельных переносах, кратных периодам структуры.

В этом случае операцией симметрии является параллельный перенос (трансляция), отсутствующий у конечных фигур.

Представление о кристаллах, как о телах, имеющих правильную периодическую структуру, зародилось уже давно и первоначально было получено путем дедукции на основании данных о макроскопических свойствах кристаллов.

Достаточно строгое обос­нование теории решетчатого строения дало изучение симметрии и в первую очередь фе­номенологически установленный закон симметрии кристаллов (стр. 142).

З