Реферат: Випадкові процеси

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ

РУБІЖАНСЬКИЙ ФІЛІАЛ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ І КОМПЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ







ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ


ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ


2005

Випадкові процеси . Лабораторні роботи /укл. Кондратов С.О. - :Рубіжне, РФ СНУ ім. Володимира Даля, 2005 – 60 с.


Навчальний посібник для студентів денної і заочної форм навчання спеціальності 7.080201. Містять матеріали лабораторного практикуму дисципліни “Випадкові процеси”


Схвалено кафедрою вищої математики і комп’ютерних технологій

Протокол №___ від ___________


Зав.кафедри Кондратов С.О.


Схвалено методичною радою філіалу

Протокол № ____ “___” ________________ 2004 р.


Голова методичної ради Тімошин А.С.


ЗМІСТ







Частина 1. Організаційно методичні основи практикуму

4

1 Загальні положення

4

2 Порядок виконання, оформлення і захисту робіт

8

Частина 2. Лабораторні роботи

11

1 Вивчення перехідного процесу встановлення фінальних ймовірностей

11

2 Одержання і аналіз випадкових чисел із заданим законом розподілу

22

3 Чисельне рішення задач теорії ймовірностей методом Монте-Карло

38

4 Моделювання систем масового обслуговування

44

Додаток А. Титульний аркуш звіту

56


























^ ЧАСТИНА 1. ОРГАНІЗАЦІЙНО МЕТОДИЧНІ ОСНОВИ ПРАКТИКУМУ


1. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ


Дисципліна “Випадкові процеси” вивчається студентами спеціальності “Інформатика” денної форми навчання у 6-му семестрі, а студентами заочної форми навчання – у 8-му семестрі.

Робочою навчальною програмою передбачено виконання студентами 4-х лабораторних робіт. Для студентів денної форми навчання на лабораторний практикум відводиться 28 годин аудиторної роботи, а також, резерв часу, що відведений на самостійну роботу над дисципліною (66 год.). Студенти заочної форми навчання виконують 2 лабораторні роботи самостійно, як семестрову контрольну роботу.

Мета лабораторного практикуму – набуття студентами умінь, передбачених освітньо-кваліфікаційною характеристикою бакалавра за напрямком “Прикладна математика”, наведених у таблиці 1.1.

У відповідності до професійних вимог, викладених у таблиці 1.1, завдання усіх лабораторних робіт носять ситуаційний характер. У кожної з них описується модель деякої реальної ситуації, яка вимагає прийняття відповідного рішення на основі результатів математичного моделювання.

В рамках однакової постановки задач, кожне завдання має індивідуальний характер: студент одержує свій унікальний набір вхідних даних, які практично не повторюються.

Проходженню лабораторного практикуму попереджає інструктаж з мір безпечної роботи і протипожежної безпеки. Інструктаж проводиться викладачем з дисципліни у обов’язковому порядку для усіх студентів, незалежно від форми навчання. Студенти денної форми проходять інструктаж на 1-му лабораторному занятті, студенти заочної форми – під час установчої сесії.

Кожний студент, що пройшов інструктаж, ставить власноручно підпис і дату у журналі інструктажу. Студенти, що не пройшли інструктаж, до занять у комп’ютерному класі не допускаються.

Таблиця 1.1 – Перелік типових задач діяльності та уміння, яки засвоює студент у процесі проходження практикуму ( у відповідності до галузевого стандарту вищої освіти “Освітня характеристика бакалавра напряму підготовки 0802 – Прикладна математика”)



Зміст виробничої функції

Назва типової задачі діяльності

Шифр типової задачі діяльності

Зміст уміння

Шифр уміння

1

2

3

4

5

Аналітична

Аналіз природничих, соціально-економічних та екологічних процесів

ПФ.Д.01

Аналізувати предметну область і давати формальний опис реальних систем

ПФ.Д.01.ПР.Р.01

Врахування нелінійних залежностей між змінними системи

ПФ.Д.01.ПР.Р.01

Побудова математичної моделі реальних процесів та систем

ПФ.Д.02

Розробляти математичні моделі об’єктив і процесів, які комп’ютеризуються, використовуючи процедури формального уявлення про систему та результати дослідження реальних природничих або соціально-економічних систем

ПФ.Д.02.ПР.Р.01

Продовження таблиці 1.1


1

2

3

4

5




Вибір математичного алгоритму

ПФ.Д.06

Вільно володіти методами статистичного моделювання та прогнозування, виконувати оцінювання вихідних даних моделі, використовуючи системи і процедури статистичного аналізу

Вміти вибрати раціональні алгоритми вирішення математичних задач оптимізації та оптимального керування. Володіти градієнтними методами, методами лінійного програмування

ПФ.Д.06.ЗП.О.04


ПФ.Д.06.ЗП.О.06

Проектна

Формалізація прикладних проблем для подальшої комп’ютеризації

ПФ.Е.01

Вміти на основі математичної моделі сформулювати конкретну математичну постановку задачі (прогностичну, розрахункову, оптимізацій ну), визначити склад задачі, що реалізується в кожній підсистемі, режими функціонування системи за допомогою графічного, табличного таа інших способів уявлення, використовуючи матеріали технічного завдання.

ПФ.Е.01.ЗР.О.01

Продовження таблиці 1.1


1

2

3

4

5

Розробницька

Створення програм та програмних комплексів для ЕОМ

ПФ.С.01

Знати сучасні мови програмування для різних предметних галузей, вміти розробляти інформаційні моделі різних предметних середовищ

Використовуючи мови програмування високого рівня, вміти розробляти програмні комплекси для ЕОМ, які реалізують обрані алгоритми вирішення прикладних проблем

Орієнтуючись на прикладну проблему, уміти розробляти належним чином візуалізацію результатів розрахунків

ПФ.С.01.ЗП.Р.01


ПФ.С.01.ПР.О.01


ПФ.С.01.ПР.Р.02

Дослідницька

Узагальнення результатів досліджень

ПФ.Д.06

Міти оформлювати отримані результати у вигляді звітів та наукових статей

ПФ.Д.06.ЗП.Р.04



^ 2 ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ, ОФОРМЛЕННЯ І ЗАХИСТУ РОБІТ


2.1 Студент проходить інструктаж, ознайомитись з загальною структурою практикуму, графіком виконання та захисту робіт, точками контролю навчального процесу, вимогами, одержує перелік необхідних методичних матеріалів на першому, організаційному занятті

2.2 У процесі виконання окремих робіт практикуму відрізняються такі типові етапи:

а) Підготовка до виконання роботи

б) Виконання роботи згідно вимог завдання

в) Оформлення звіту з роботи

г) Підготовка до захисту роботи

д) Захист роботи

2.2.1 Підготовка до виконання роботи відбувається за рахунок часу, що виділений на самостійну роботу. У процесі підготовки до виконання роботи студент самостійно вивчає опис роботи, теоретичні основи згідно з рекомендацій, що містяться у практикумі та інших рекомендованих матеріалах, ознайомиться з літературою, укладає план виконання роботи, готує перелік запитань, які виникають у нього у процесі підготовки до виконання роботи.

2.2.2 Виконання роботи відбувається під час планових аудиторних занять (лабораторних занять, та консультацій) згідно з календарним планом, а також, під час самостійної роботи. У процесі виконання студент самостійно, згідно із складеним планом, розв’язує завдання лабораторної роботи, користуючись, в разі необхідності, консультативною допомогою з боку викладача. На заняттях студент з’ясовує у викладача відповіді на запитання, які у нього виникли у процесі підготовки і виконання роботи.

Як правило, одна робота розрахована на виконання протягом декількох занять.

2.2.3 Підготовка звіту є логічним продовженням виконання завдання. Вона відбувається під час аудиторних занять, а також, під час самостійної роботи.

Наявність звіту є необхідною умовою допуску до захисту роботи. Загальні положення про оформлення звітів викладені у розділі 3 частини 1.

2.2.4 Підготовка до захисту роботи полягає в узагальненні результатів роботи, повторенні матеріалу, пов’язаного з теоретичними та практичними основами лабораторної роботи, підготовкою відповідей на контрольні запитання, виправлення помилок, виявлених під час попередньої перевірки роботи викладачем.

Підготовка відбувається під час самостійної роботи над дисципліною.

2.2.5 Захист роботи відбувається від час аудиторних занять (лабораторних занять або планових консультацій). Захист полягає у перевірці викладачем звіту про роботу і програмного продукту, створених студентом, співбесіди за підсумками перевірки.

Під час співбесіди викладач вказує на виявлені недоліки роботи, задає питання, що стосуються роботи.

2.2.6 Оцінку знань та вмінь, що набув студент, оцінюється за двобальною шкалою “Зараховано” – “не зараховано”.

2.2.6.1 Лабораторна робота вважається зарахованою, якщо розроблений програмний продукт функціонує у відповідності до завдання роботи, наявний звіт, який не містить грубих помилок і значних відступів від правил оформлення, студент дає принципово вірні відповіді на запитання з роботи.

2.2.6.2 Підставою для не зарахування роботи є:

- невірне функціонування програмного продукту, створення якого передбачено завданням, або відсутність цього продукту;

- наявність грубих помилок при оформленні звіту або відсутність звіту;

- під час захисту студент не у змозі відповісти на запитання стосовно ходу виконання роботи та інтерпретації результатів.

У цих випадках робота повертається для виправлення помилок, повторної підготовки до захисту.

2.2.7 Студенти, у яких зараховані усі 4 лабораторні роботи, вважаються такими, що виконали навчальний план і автоматично одержують допуск до екзаменів.

2.2.8 Студенти, що не захистили роботи протягом семестру, зобов’язані зробити це до початку екзаменаційної сесії.

Якщо студент до початку екзаменаційної сесії не захистив усі роботи, що передбачені навчальним планом, він не допускається до іспиту з дисципліни.

2.2.9 Орієнтовний графік лабораторних занять, а також, орієнтовні трудовитрати на виконання окремих етапів наведено у таблицях 1.2 і 1.3. Графік складено з розрахунку на наявність у семестрі 7 лабораторних занять по 2 академічних години (без врахування часу на консультації)

Таблиця 2 - Орієнтовний графік лабораторних занять


№ заняття

Зміст заняття

Годин

1

Інструктивне заняття. Інструктаж з безпечних методів роботи, інформування про організацію практикуму, порядок виконання та захисту робіт, надання інформації про методичне забезпечення

2

2

Виконання лабораторної роботи №1,

2

3

Виконання лабораторної роботи №1

2

4

Оформлення звіту, захист лабораторної роботи № 1.

2

5

Виконання лабораторної роботи № 2

2

6

Виконання лабораторної роботи № 2

2

7

Оформлення звіту, захист роботи № 2

2

8

Виконання лабораторної роботи № 3

2

9

Виконання лабораторної роботи № 3

2

10

Оформлення звіту лабораторної роботи № 3, захист роботи № 3

2

11

Виконання лабораторної роботи № 4

2

12

Виконання лабораторної роботи № 4

2

13,14

Оформлення звіту, захист роботи № 4

4

15-17

Ліквідація заборгованостей з виконання, оформлення та захисту робіт





Таблиця 1.3 – Орієнтовні трудовитрати студентів при виконанні робіт


№ лаб.

роботи

Трудовитрати по етапам, год

Підготовка до виконання

Виконання роботи, оформлення звіту

Підготовка до захисту

Ауд.

СРС

Ауд

СРС

Ауд

СРС

1

0

4

6

4

1

2

2

0

4

6

4

1

2

3




4

6

4

1

2

4




4

6

4

1

2

Всього

0

8

24

16

4

8

Загальні трудовитрати, год

Ауд.

СРС

Всього

28

28

56

^ ЧАСТИНА 2. ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ


1 ВИВЧЕННЯ ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ

ВСТАНОВЛЕННЯ ФІНАЛЬНИХ ЙМОВІРНОСТЕЙ


1.1 Мета роботи:


1.1.1 Засвоїти складання рівнянь Колмогорова, користуючись матрицею інтенсивностей (інтенсивності –вимірюються у 1/год;

1.1.2 Засвоїти розрахунок фінальних імовірностей стаціонарного процесу.

1.1.3 Скласти програму чисельного інтегрування диференціальних рівнянь Колмогорова і вивчити перехідний процес встановлення фінальної імовірності.

1.1.4 Оформити звіт про роботу.


1.2 Завдання


1.2.1 Наявна технічна система, що має n можливих станів. Задано матрицю інтенсивностей переходів у системі

Необхідно:ї

а) Скласти граф переходів.

б) Скласти систему диференціальних рівнянь Колмогорова

в) Для стаціонарного випадку розрахувати фінальні імовірності станів

г) Промоделювати перехідний процес, встановити час наступу стаціонарного стану. Для моделювання скласти програму рішення систем звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кути.


1.3 Теоретична частина


1.3.1 Для виконання роботи студенту потрібно знати зміст розділів 1 і 2 лекційного курсу [ ].

1.3.2 Метод Рунге-Кути 4-го порядку для систем

диференціальних рівнянь, у яких права частина не залежить від часу


1.3.2.1 Необхідно чисельно знайти у момент часу t значення перемінних х1, х2,...,хn, що задовольняють системі диференціальних рівнянь:

(1.1)


при початкових умовах:: хi(t=0) = ai (I=1,2,…,n).

1.3.2.2 Для рішення цей задачі на практиці найчастіше використовується метод Рунге-Кути 4-го порядку. Він полягає у русі по часу від 0 до t за m кроків довжиною . Основна формула у векторному виді:


, (1.2)


де j=0,1,2,…,m, причому, ;



Розмірність кожного з наведених векторів дорівнює n.

1.3.3.3 Приклад програми буде наведено нижче. Метод Рунне-Кути відрізняється невеликою погрішністю, що є пропорційною від h5. Для підвищення точності і контролю досягнення потрібної точності необхідно виконувати розрахунки при двох значеннях h (друге значення обирають, як правило, у 2 рази менше за перше). Якщо результати розрахунків не відрізняються у межах потрібної точності – рішення вважають досягнутим.


1.4 Приклад виконання завдання


1.4.1 Задана матриця інтенсивностей:


0

2

0

0

1

0

0

2

0

4

0

1

0

0

3

0


1.4.2 На основі матриці інтенсивностей будуємо граф переходів (рис. 1.1)





Рисунок 1.1


1.4.3 Граф станів системи є ергодичним Марківським ланцюгом, бо з кожного стану можна попасти до всякого іншого.

1.4.4 Будуємо систему рівнянь Колмогорова для імовірностей, користуючись правилами, що викладені у підрозділі 3.2 лекційного курсу:

(1.3)


1.4.5 Укладаємо систему рівнянь у стаціонарному стані для знаходження фінальних ймовірностей. Для цього:

а) Усі похідні дорівнюємо до 0;

б) Замість четвертого рівняння записуємо умову того, що усі стани створюють повну групу:


р1 + р2 + р3 + р4 = 1 (1.4)


1.4.6 Записуємо систему рівнянь для стаціонарного стану у матричному виді:


-2

1

0

0



р1

=

0




(1.5)

2

-3

4

0

р2

0




0

0

-5

3

р3

0




1

1

1

1

р4

1





1.4.7 Розв’язуємо систему (1.5) у середовищі Excel. Робочий аркуш наведено на рис. 1.2.

а) У комірках (В2:F5) наведено розширену матрицю: матрицю коефіцієнтів з доданням стовпця вільних членів.

б) У комірках (В7:Е10) будуємо зворотну матрицю. Формула масиву (В7:Е10): =МОБР(B2:E5)

в) У комірках (Н7:Н10) будуємо масив фінальних імовірностей шляхом матричного множення. Формула масиву (Н7:Н10):

=МУМНОЖ(B7:E10;F2:F5)

г) Для уводу натиснути комбінацію клавіш: + + .





Рисунок 1.2


1.4.8 Для виконання подальших завдань необхідно скласти і відладити програму чисельного рішення диференціальних рівнянь методом Рунге-Кути.

Програма може бути складена на будь-якої мові програмування, якою краще володіє студент. Варіант листинга програми на мові VBA з прив’язкою до Excel наведено на рис. 1.3. Листинг підпрограми розрахунків функцій наведено на рис. 1.4. Робочий лист Excel, що зв’язаний з програмою, наведено на скріншоті (рис. 1.5).

1.4.8.1 У комірках В11:Е11 містяться початковіі наближення імовірностей. Вважаємо, що у початковий момент часу система находиться у стані 1 з імовірністю 1, а імовірності інших станів дорівнюють 1.

1.4.8.2 У комірках В12:Е12 містяться рішення – значення імовірностей у момент часу t, що міститься у комірці А12. Для його одержання слід пустити програму (у нашому випадку – шляхом натиснення на кнопку).




Рисунок 1.3





Рисунок 1.4





Рисунок 1.5


1.4.8.3 У комірках А4:D4 наведені довідкові значення фінальних ймовірностей для контролю розрахунків.

1.4.8.4 Розрахунки проводять таким чином:

а) У комірку А12 уводять значення часу.

б) У програмі встановлюють відносно велике значення кількості кроків m (100)

в) Натискують кнопку, одержують рішення

г) Збільшують кількість кроків m=200, одержують нове рішення.

д) Якщо “на око” різниця між двома рішеннями менше, ніж 0,001 – вважають, що рішення знайдено. У протилежному випадку збільшують кількість кроків і повторюють

е) Порівнюють, суттєво чи ні, відрізняється одержане рішення від довідкового значення фінальних імовірностей. Якщо різниця – менше за 0,01 – вважаємо, що стаціонарний стан досягнуто. Як випливає з рис. 1.5, через 4 години можна вважати, що досягнуто стаціонарний розподіл імовірностей.

ж) Виконуємо розрахунки у проміжних точках, копіюємо результати у таблицю, будуємо графіки (рис. 1.5). При цьому, час - підбираємо вручну. Виходячи з графіку, уточнюємо період наступу стаціонарного стану (у нашому випадку це – практично 2,5 год). При цьому, можна встановити кількість кроків при великому часі і далі його не змінювати.

1.4.9 За допомогою програми виконуємо такі дослідження:

1.4.9.1 Вивчаємо, яким чином впливає на фінальні імовірності початковий розподіл імовірностей. Для цього:

а) По черзі, встановити при t=0 спочатку р2=1, інші – нульові, потім р3=1, інші – нульові, потім p4=1, інші – нульові.

б) Порівняти результати розрахунків фінальних імовірностей, зробити висновок.

в) Вивчити, як впливає початковий розподіл імовірностей на час встановлення стаціонарного стану, зробити висновок.


1.5 Вимоги до звіту про роботу.


1.5.1 Звіт виконується у відповідності до загальних вимог, викладених у частині 1. Перший аркуш звіту – титульний аркуш, оформлюється за взірцем (додаток Б).

1.5.2 Основна частина звіту складається з таких розділів:

ВСТУП

^ 1 ВХІДНІ ДАНІ

2 ПОБУДОВА РІВНЯНЬ КОЛМОГОРОВА

3 РОЗРАХУНОК ФІНАЛЬНИХ ІМОВІРНОСТЕЙ

4 МОДЕЛЮВАННЯ ВСТАНОВЛЕННЯ СТАЦІОНАРНОГО СТАНУ

ВИСНОВКИ


1.5.3 У розділі ВСТУП:

а) Надається постановка задачі (умова роботи).

б) Надається принциповий шлях рішення.

Розділ пишеться свавільно, у дусі твору.

Приклад:


ВСТУП


За умовами завдання слід для технічної системи, що може знаходитись випадково у декількох станів, за її матрицею інтенсивностей переходів:

а) побудувати граф переходів,

б) одержати систему рівнянь Колмогорова,

в) розрахувати фінальні імовірності з рівнянь для стаціонарного стану

г) промоделювати час наступу стаціонарного стану, побудувати графіки часових залежностей,

д) вивчити, як впливає на величини фінальних ймовірностей і час наступу стаціонарного стану.


1.5.4 У розділі 1 ВХІДНІ ДАНІ наводяться у вигляді таблиці вхідні дані до роботи – матриця інтенсивностей.

1.5.5 У розділі 2 ПОБУДОВА РІВНЯНЬ КОЛМОГОРОВА:

а) Навести граф переходів (у виді рисунка у формати Word, Paint Brush або інших графічних редакторах, влучений, як об’єкт, у текст)

б) Описати принцип побудови рівнянь Колмогорова.

в) Навести систему рівнянь.

За взірець обрати опис у підрозділі 1.4.

1.5.6 У розділі 3 РОЗРАХУНОК ФІНАЛЬНИХ ІМОВІРНОСТЕЙ навести систему рівнянь для стаціонарного стану, навести опис послідовності розрахунків в Excel (можна влучили таблицю Excel у текст звіту), навести результати розрахунків. Взірець – підрозділ 1.4.

1.5.7 Розділ 4 МОДЕЛЮВАННЯ ВСТАНОВЛЕННЯ СТАЦІОНАРНОГО СТАНУ є найбільшім у звіті за обсягом і змістом. Його доцільно розбити на такі підрозділи:

4.1 Принципи моделювання. Метод Рунге-Кути.

У цьому підрозділі у свавільній формі висвітити суть методу, навести листинг складеної та налагодженої Вами програми (шляхом копіювання тексту з редактору програми у документ Word).

4.2 Результати моделювання

у цьому підрозділі навести:

а) Описання послідовності дій.

б) Таблиці результатів для побудови графіків для різних початкових розподілів імовірностей.

в) Надати інформацію відносно величини та часу наступу стаціонарного стану у залежності від початкового розподілу імовірностей, що випливає з результатів.

г) Навести графіки змін імовірностей станів у залежності від початкового розподілу.

1.5.8 У розділі ВИСНОВКИ послідовно навести:

а) Загальний висновок про роботу (що було зроблено).

б) Висновки і результати з кожного етапу роботи.

Приклад


ВИСНОВКИ


1 За заданою матрицею інтенсивностей переходів проведено розрахунки і моделювання встановлення розподілу ймовірностей, вивчено вплив початкового розподілу ймовірностей на величини фінальних імовірностей і час встановлення стаціонарного стану.

2 Розроблено граф станів, систему рівнянь Колмогорова, знайдено їх рішення у стаціонарному стані. Фінальні ймовірності складають:

(навести значення)

3 Розроблено і відлажено програму рішень системи диференціальних рівнянь методом Рунге-Кути. За допомогою цей програми проведено моделювання встановлення фінальних імовірностей у часі.

4 Встановлено, що фінальні імовірності...(описати, як залежать від початкового розподілу ймовірностей,)

5 Встановлено, що час досягнення стаціонарного стану .... (описати, як час залежить від початкового розподілу імовірностей)

1.6 Вхідні дані


1.6.1 Вхідна матриця інтенсивностй генерується програмою, що знаходиться на робочому аркуші “Лаб_1” книзі Віпад_Проц.xls. Книга знаходиться на кафедрі ВМКТ і в локальної мережі РФ СНУ.

1.6.2 Для генерації Вам необхідно:

а) Відкрити робочу книгу Віпад_Проц.xls .

б) Відкрити робочий аркуш “Лаб_1”

в) Натиснути на кнопку “Пуск” на аркуші

г) Скопіювати у власну робочу книгу дані.

1.6.3 Для запобігання пошкоджень програми копіювання відбувається під керівництвом викладача.


1.7 Контрольні запитання


1 Зміст понять “імовірність станів”, “інтенсивність переходів”, “Марковський випадковий процес”.

2 Що відображають рівняння Колмогорова?

3 Принцип побудови рівнянь Колмогорова (показати на прикладі роботи)

4 Зміст поняття “стаціонарний стан”.Властивості стаціонарного стану. Вигляд рівнянь Колмогорова у стаціонарному стані (показати на прикладі роботи)

5 Зміст поняття “фінальна імовірність”. Як їх можна розрахувати?

6 Як можна розв’язати рівняння Колмогорова у часі? Суть методу Рунне-Кути

7 Алгоритм методу Рунге-Кути (пояснити на прикладі власно створеної програми)

8 Як впливає початковий розподіл імовірностей на фінальні ймовірності? Чому? Для яких типів ланцюгів Маркова спостерігається протилежний вплив?


^ 2 ОДЕРЖАННЯ І АНАЛІЗ ВИПАДКОВИХ ЧИСЕЛ

ІЗ ЗАДАНИМ ЗАКОНОМ РОЗПОДІЛУ


2.1 Мета роботи


2.1.1 Засвоїти методи генерації випадкових чисел із заданим законом розподілу методом зворотних функцій і Неймана-Пирсона.

2.1.2 Засвоїти методи аналізу розподілу випадкових чисел.

2.1.2 Скласти звіт про роботу


2.2 Легенда і завдання


2.2.1 Ви – працівник фірми “Авант”, яка розробляє програмне забезпечення для систем управління. Вашої групі доручено розробити імітаційну модель системи управління рухом для навчання диспетчерів залізниці. До основи моделі слід покласти реальний набір статистичних даних, який Вам додається. Необхідно створити генератор, який дозволяє одержувати випадкові числа, що розподілені за тім ж самим законом, що експериментальні.

2.2.2 Друга частина Вашого завдання – створити послідовність випадкових чисел, що розподілені за відомим законом, за допомогою метода Неймана-Пирсона і методом обернених функцій і порівняти результати. Обсяг чисел: 2000.


2.3 Теоретична частина


2.3.1 Для виконання роботи необхідно ознайомитися з методами, що викладені у розділах 4.5 – 4.6 лекційного курсу.

2.3.2 Методика порівняння двох послідовностей випадкових чисел

а) розподіляємо обидві вибірки на 10 однакових частин з однаковими верхніми та ніжними границями;

б) підраховуємо частоти попадання випадкових величин у кожний з інтервалів;

в) для встановлення однорідності вибірок використовуємо непараметричний критерій Пирсона:


, (2.1)


де n1,n2 – кількість елементів першої та другої вибірок;

- кількість груп, на яке розподілена кожна з вибірок;

- кількість елементів першої вибірки, що попали у і-й інтервал;

- кількість елементів другої вибірки, що попали у і-й варіант.

Цей критерій при достатньо великих n1та n2 розподіляється по закону Пірсона “xі квадрат” з ступенем волі . Тому процедура перевірки полягає у :

1) розрахунку по (2.1) сподіваного значення критерію;

2) знаходженню критичного значення Хі квадрат при заданому рівні значимості по таблицям або за допомогою комп’ютерних програм;

Якщо сподіване значення менше за критичне – немає підстав відкинути гіпотезу про однорідність розподілу. Якщо навпаки – розподіл у обох вибірках слід вважати різним.


2.4 Приклад виконання завдання


2.4.1 Перша частина завдання – розробка програми-генератора випадкових чисел за даними спостережень, містить такі етапи:

а) обробку даних спостережень, побудова гістограми розподілу,

б) створення та відладку програми-генератора,

в) генерацію послідовності чисел та перевірку її відповідності розподілу

2.4.2 При роботі з великими вибірками використання “перетаскування” становиться незручним. Тому рекомендується такий прийом:

а) Поділити екран пополам, перетягнув на середину розподілювач, що міститься у верхньому правому куту, вище смуги вертикальної прокрутки.

б) У верхній частині розмістити початок вибірки, у ніжній частині - останні рядки вибірки.

в) Для виділення вибірки:

1) Встановити курсор на першу комірку вибірки.

2) Натиснути клавішу і, не відпускаючи її, встановити курсор на останню комірку.

3) Після відпускання клавіш діапазон буде виділеним, з ним можна проводити операції копіювання, форматування, т.д.

г) Для копіювання формули комірок по діапазону:

1) Створюємо формулу у перший комірці діапазону.

2) Копіюємо її у буфер за допомогою клавіші копіювання на панелі інструментів.

3) Виділяємо діапазон, де повинна міститись формула (як у пп. в))

Натискуємо на клавішу “Вставить” на панелі інструментів.

д) Аналогічно можна вставити декілька формул у суміжні комірки:

2.4.3 Обробка даних спостережень, побудова гістограми розподілу:

а) Дані завдання у кількості 2000 елементів переносяться у стовпець на робочому аркуші Excel. З метою економії місця повна вибірка у друкованому виді не наводиться. Робочий аркуш ділиться на 2 частини згідно пп. 2.4.2а).

б) За допомогою функції МАКС() визначається величина максимального елемента вибірки. Округляємо його у більшу сторону до найближчого кратного 10.

в) За найменший елемент приймаємо 0.

г) Поміщаємо значення верхніх границь діапазонів у рядку над першим рядком вибірки. При цьому, безпосередньо над першим елементом вибірки поміщаємо значення “0” (рис.2.1, рядок 3).

д) У комірці С4 створюємо формулу, яка поміщає у комірку 1 або 0, в залежності від того, міститься лі елемент вибірки між двома границями:


=ЕСЛИ(И($B4>B$3;$B4<=C$3);1;0)


е) Копіюємо формулу в буфер, виділяємо весь діапазон і вставляємо формулу.

ж) У рядку 2004 розраховуємо суми елементів рядків – абсолютні частоти. Формула комірки С2004:


=СУММ(C4:C2003)


Протягуємо формулу до кінця рядку.




Рисунок 2.1


з) У рядку 2005 розраховуємо накопичені частоти – суму абсолютних частот усіх комірок, що попереджають даної. У комірці В2006 поміщуємо значення “нуль”. У комірці C2005 будуємо формулу:


=B2005+C2004


Протягуємо формулу до кінця рядку таблиці.

и) Підраховуємо відносні накопичені частоти шляхом ділення вмісту комірок рядку 2005 на суму елементів вибірки (2000).

з) Одержуємо дані - таблицю накопичених відносних частот, прообраз інтегральної функції розподілу (табл. 2.1)


Таблиця 2.1


№

Інтервал

Р

№

Інтервал

Р




лів.

пр







лів.

пр




1

0

11

0,3065

6

55

66

0,9885

2

11

22

0,6565

7

66

77

0,9955

3

22

33

0,8515

8

77

88

0,997

4

33

44

0,9325

9

88

99

0,9995

5

44

55

0,9695

10

99

110

1



2.4.4 Побудова програми для моделювання

а) Описання алгоритму наведено у підрозділі 4.4 лекційного курсу.

б) Студент має право побудувати програму на всякій мові програмування, за його вибором. Але підсумкові результати повинні бути перенесені на робочий аркуш Excel для подальших розрахунків. Нижче наведено варіант листингу програми генерації на мові VBA для Excel.


Sub Генератор_Гистограмма()

''

Randomize

'**** Початок циклу розрахунків *****

For k = 1 To 2000

'****Генерація випадкового числа

a_rand = Rnd

'**** Вибір інтервалу за допомогою селектору***

Select Case a_rand

Case 0 To 0.3065

in_l = 1

Case 0.3065 To 0.6565

in_l = 2

Case 0.6565 To 0.8515

in_l = 3

Case 0.852 To 0.9325

in_l = 4

Case 0.9325 To 0.9695

in_l = 5

Case 0.9695 To 0.9885

in_l = 6

Case 0.9885 To 0.9955

in_l = 7

Case 0.9955 To 0.997

in_l = 8

Case 0.997 To 0.9995

in_l = 9

Case 0.9995 To 1

in_l = 10

End Select

'MsgBox a_rand & " " & in_l ' Відладочний оператор

'**Генерація випадкового числа всередині інтервалу**

aa = 11 * (in_l - 1) + 11 * Rnd

'*** Округлення до дісятих

aa = Int(10 * aa) / 10

'*** Розміщення результату на робочому аркуші***

Cells(3 + k, 2) = aa

Next k

End Sub


2.4.5 Розрахунок частот по генерованої вибірці.

а) Пускаємо програму на виконання розрахунків

б) Копіюємо одержані дані

в) Влучаємо їх на робочий аркуш з проектом обробки вибірки (див.2.4.3), замість заданої вибірки. Рекомендується попереднє скопіювати проект на новий робочий аркуш

г) Після влучення автоматично одержуємо нові абсолютні частоти для даної вибірки.

2.4.6 Перевірка гіпотези про однаковий розподіл. Дані для абсолютних частот влучення у інтервали наведено у таблиці 2.2 . Розрахунки проводимо за формулою (2.1) при n1=n2=2000, у середовищі Excel. Пропонується студентам самостійно скласти таблицю розрахунків за формулою (2.1).

Як випливає з результатів таблиці 2.2, критичне значення критерію Пирсона значно перевищує те, що спостерігається. Тому немає підстав відкинути гіпотезу про однорідність розподілу. Можна вважати, що програма-генератор генерує випадкові числа за тім ж самим законом, що наявний у заданої вибірці.

Таблиця 2.2



Интер-
вал

m1i

m2i





Добуток

1

613

597

0,000826

0,000064

5,2893E-08

2

700

699

0,000715

2,5E-07

1,787E-10

3

390

385

0,00129

6,25E-06

8,0645E-09

4

162

178

0,002941

0,000064

1,8824E-07

5

74

72

0,006849

0,000001

6,8493E-09

6

38

46

0,011905

0,000016

1,9048E-07

7

14

8

0,045455

0,000009

4,0909E-07

8

3

3

0,166667

0

0

9

5

4

0,111111

2,5E-07

2,7778E-08

10

1

1

0,5

0

0

 

 

 

 

Сума

8,8357E-07

Ст волі

розр

кр



Висновок

9

3,5343

16,9

0,05

Різниця не значима



2.4.7 Друга частина завдання – генерація випадкової величин, що мають задану аналітичну функцію розподілу. Задана густина розподілу на відрізку [0;2]:


(2.2)


2.4.7.1 Спочатку найдемо А:


а) Розрахуємо інтегральну функцію розподілу для інтервалу [0;2]:


. (2.3)


б) Підставимо х=2, знайдемо множник А з умови F(2)=1:





Звідси А=5/4, кінцевій вигляд диференціальної та інтегральної функцій розподілу:


. (2.4)


в) Будуємо в Excel графіки обох функцій (рис. 2.2 ).

2.4.7.2 Загальний алгоритм генерації випадкових чисел методом зворотних функцій:

а) Генеруємо рівномірно розподілене випадкове число R (0,1).

б) Знаходимо необхідне випадкове число Х, як рішення рівняння:

F(X) = R, (2.5)


де F(X) – задана інтегральна функція розподілу.

У прикладі, що розглядається, слід знайти рішення рівняння:


(2.6)


причому, з області визначення перемінної, х[0;2].

2.4.7.3 Вважаючи, що функція (2.6) є складною і може мати корені, що не належать ОДЗ, для запобігання знаходження “фіктивного” кореню доцільно використовувати метод дихотомії (половинного ділення), який не виводить за межі ОДЗ х[0;2]. Нагадаємо алгоритм цього методу:

а) Задаємо ліву (a) та праву (b) границі ОДЗ , потрібну точність eps.

б) Перевіряємо, чи виконується нерівності f(a)<0, f(b)>0. Якщо виконуються протилежні нерівності – міняємо місцями а та b.





Рисунок 2.2 – Графіки диференціальної та інтегральної функцій розподілу


в) Розраховуємо :


(2.7)


г) Перевіряємо виконання умови:


|b-a|

Якщо (2.8) виконується – вважаємо с за рішення, кінець задачі.

д) Якщо умова (2.8) не виконується – перевіряємо умову :

f(c) > 0. (2.9)

1) Якщо (2.9) виконується – позначаємо b = c і переходимо на в).

2) Якщо (2.9) не виконується – позначаємо а = с і переходимо на крок в).

2.4.7.4 Листинг програми генерації випадкових чисел на мові VBA, пов’язаної з робочим аркушем Excel наведено нижче:


Option Explicit

Dim r, a, b, c As Double

Dim i As Integer

Sub Equiatio_2()


Randomize

For i = 1 To 2000

r = Rnd


a = 0

b = 2

If FR(a, r) > 0 And FR(b, r) < 0 Then

c = a

a = b

b = c

End If

While Abs(b - a) > 0.00000001

c = (a + b) / 2

If FR(c, r) > 0 Then

b = c

Else

a = c

End If

Wend

'MsgBox c & " " & FR(c, r)

Cells(3 + i, 2) = c

Next i

'

End Sub

Function FR(x, r)

FR = 5/4*(x-0.6*Sgn(x-1)*Abs(x-1)^(5/3)-0.6)-r

End Function

2.4.7.5 За допомогою цей програми була генерована вибірка з 2000 чисел, що розподілені за законом (2.4). З даної вибірки одержали гістограму аналогічно описаному у 2.4.5. Розмах вибірки – від 0 до 2, розподіл – на 10 частин довжиною 0,2. Результати наведено у таблиці 2.3.

2.4.8 Од