Лекция: Безусловный минимум функции конечного числа переменных

Введение

Пусть – -мерное вещественное евклидово пространство, элементами которого являются векторы Пусть на задана функция. Как обычно, через обозначим значение функции в точке .

Определение 1. Вектор называется точкой безусловного глобального минимума функции на, если для всех выполняется неравенство

. (1)

Обозначим .

Для краткости будем использовать термин «минимум функции», имея в виду точку минимума функции на. В литературе по математическому анализу глобальный минимум также называютабсолютным минимумом.

Задача поиска и называется задачей безусловной минимизации функции .

Наряду с понятием минимума также существует понятие максимума. Задача максимизации функции легко сводится к задаче минимизации:. Понятия «минимум» и «максимум» объединяются термином «экстремум».

Определение 2. Вектор называется точкой локального безусловного минимума функции на, если неравенство (1) выполняется для всех из некоторой окрестности точки .

Локальный минимум также называют относительным минимумом.

Пусть функция дифференцируема в точке. Градиент функции в точке (то есть вектор, состоящий из первых частных производных функции ) будем обозначать через .

Теорема 1. (Необходимое условие безусловного минимума первого порядка) Пусть функция определена на и дифференцируема в точке .Тогда для того, чтобы точка была ло-

кальным безусловным минимумом функции необходимо, чтобы выполнялось равенство

. (2)

Условие (2) можно записать покоординатно

как систему равенств .

Определение 3. Вектор называется стационарной точкой функции, дифференцируемой в, если .

Таким образом, стационарная точка – это решение системы уравнений

.

Точки локального минимума содержатся среди стационарных точек функции. Однако не всякая стационарная точка является точкой минимума. В частности, точки локального максимума и так называемые седловые точки также являются стационарными. Среди стационарных точек могут быть и точки, не являющиеся точками экстремума.

Пусть функция дважды дифференцируема в точке. Матрица

,

состоящая из вторых частных производных функции , называется гессианом (матрицей Гессе) функции в точке .

Пусть – квадратная симметричная матрица. Функция называется квадратичной формой.

Определение 4. Говорят, что матрица неотрицательно определена, если при всех , иположительно определена, если,, .

Аналогично определяются понятия неположительно и отрицательно определенных матриц.

Теорема 2. (Необходимое условие безусловного минимума второго порядка) Пусть функция определена на и дважды дифференцируема в точке. Тогда для того, чтобы точка была локальным безусловным минимумом функции на

, необходимо, чтобы матрица была неотрицательно определена.

Эта теорема позволяет отсеять те из стационарных точек функции , которые не могут быть точками минимума.

Теорема 3. (Достаточное условие безусловного минимума второго порядка) Пусть функция определена на и дважды дифференцируема в стационарной точке. Тогда для того, чтобы была локальным безусловным минимумом, достаточно, чтобы матрица была положительно определена.

При помощи этого условия можно из стационарных точек, прошедших через «сито» предыдущей теоремы, отобрать точки локального минимума. Оставшиеся точки, а также особые точки функции, которые вместе со стационарными точками объединяются термином «критические» точки, требуют дополнительного исследования. При этом может потребоваться использование производных более высокого порядка.