Лекция: Математические ожидания сигналов на выходе стационарных САР.
Дана САР, к которой приложены в разных точках полезное X(t) и возмущающее Y(t) воздействия (полученные здесь результаты легко распространяются на любое количество входных сигналов). САР описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, поэтому будем считать заданными передаточные функции САР по полезному сигналу X(t)
, (1)
где Z(P) и X(P) изображения по Лапласу выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях;
и возмущающему воздействию Y(t)
. (2)
В силу однозначной связи между передаточными и весовыми функциями системы тем самым заданы и эти весовые функции:
где L-1 – символ обратного преобразования Лапласа,
— весовая функция САР по выходному полезному сигналу,
— весовая функция САР по возмущающему воздействию.
Сигналы; (здесь и — случайные составляющие сигналов, а и — неслучайные составляющие, т.е. математические ожидания этих процессов) считаем стационарными случайными процессами. Для нашей задачи существенно то, что математические ожидания процессов X(t) и Y(t) известны и постоянны, т.е. задано, что, .
Необходимо найти математическое ожидание выходного сигнала (поскольку неизвестно, какой будет выходной процесс — стационарный и нестационарный, мы вынуждены пока считать его нестационарным и, значит, его математическое ожидание зависящим от времени, а не постоянным).
Поскольку САР линейна, то к ней применим принцип суперпозиции, т.е. ее выходной сигнал будет складываться из частей, обусловленных полезным X(t) и возмущающим Y(t) сигналами, т.е., где
— доля в математическом ожидании выходного сигнала, обусловленная сигналом X(t),
— доля в математическом ожидании выходного сигнала, обусловленная сигналом Y(t).
Эти доли при известных,,, находятся с помощью интегралов Дюамеля
; (3)
. (4)
Из курса ТАУ известно, что
.
где L – символ прямого преобразования Лапласа.
Если в этих двух последних формулах положить p=0, то получится с учетом (1) и (2)
.
и, следовательно, исключая из (3) и (4) получается
,, т.е.
Итак, математическое ожидание установившегося выходного процесса в стационарной линейной системе при стационарных входных и возмущающих воздействиях постоянно.