Лекция: Билет 7 вопрос 3

Теория телетрафика. Модель центра обслуживания вызовов.

Теория телетрафика (от греческого Tele – далеко и английского Traffic – движение) — движение, нагрузка, то есть движение и обслуживание потоков сообщений в коммутируемых сетях.

Предметом теории телетрафика является количественная сторона процессов обслуживания потоков сообщений в системах коммутации.

Как и любая другая математическая теория, теория телетрафика оперирует не с самими системами коммутации, а с их математическими моделями.

Математическая модель системы телетрафика включает следующие три

основных элемента:

1. Входящий поток вызовов — П;

2. Схему системы коммутации — S;

3. Дисциплину обслуживания потока вызовов — Д

Схема математической модели:

Схема коммутатора на n входов и v выходов:

Поток вызовов — это последовательность однородных событий,

наступающих через некоторые интервалы времени.

Дисциплина обслуживания характеризует взаимодействие потока вызовов

с системой коммутации. Дисциплина обслуживания характеризуется:

• Способами обслуживания вызовов (с потерями, с ожиданием,

комбинированные);

• Порядком обслуживания вызовов (в порядке наступления, в случайном

порядке и др.);

• Режимами искания выходов схемы (свободное, групповое,

индивидуальное);

• Законами изменения длительности обслуживания вызовов

(показательный закон, постоянная или произвольная длительность

обслуживания);

• И другими характеристиками (наличие приоритетов, ограничений и т. д.)

В научной литературе для компактной записи математических моделей используются обозначения, предложенные Д. Кендаллом. Математическую модель обозначают последовательностью символов:

1. Первый символ обозначает функцию распределения промежутков между

вызовами (то есть поток вызовов);

2. Второй символ — функцию распределения длительности обслуживания

вызовов;

3. Третий символ — схему;

4. Последующие символы характеризуют дисциплину обслуживания.

Распределение обозначаются следующими символами:

• M — показательное (экспоненциальное) распределение;

• Е — эрланговское (гамма) распределение;

• Д — регулярное (детерминированное — латинское determinave –

определять, обуславливать) — поток с постоянными интервалами между

вызовами;

• G — произвольное распределение.

Пример записи математической модели: M/M/S. Такая запись обозначает, что на произвольную схему S поступает поток вызовов с показательной функцией распределения промежутков между вызовами (первый символ М). Функция распределения длительности обслуживания — показательная (второй символ М). Если схема системы коммутации представляет собой полнодоступный пучок из v линий, то вместо S пишется v.

Построение математической модели, адекватно отражающей реальную систему коммутации, является не тривиальной задачей. Правильно построить математическую модель — это уже половина дела.

Основная цель теории телетрафика заключается в разработке методов оценки качества функционирования систем коммутации.

Основными задачами теории телетрафика являются задачи анализа, синтеза и оптимизации.

Задача анализа заключается в отыскании функциональной зависимости между качеством обслуживания P, параметрами входящего потока вызовов П, схемы S и дисциплины обслуживания D. P= f (П, S, D)

Задача синтеза заключается в отыскании структурных параметров коммутационных систем при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания. S= f (П, P, D)

Задача оптимизации заключается обычно в минимизации объёма оборудования систем коммутации при заданных потоках, дисциплине и качестве обслуживания. K (S )= f (П, P, D)→min

Поток вызовов — это последовательность однородных действий, которые

наступают через некоторые интервалы времени.

Потоки подразделяются на детерминированные и случайные.

Если интервалы времени строго определены, заранее известны, то поток вызовов называется детерминированным, от латинского determinave – определять, обуславливать. Детерминированный поток однозначно определяется и задаётся последовательностью моментов наступления вызовов (например — отправление поездов по расписанию).

Пример детерминированного потока вызовов — сеансы связи с космическим кораблём, моменты начала и длительность которых определены программой на земле.

Случайный поток вызовов — такой поток, в котором события наступают через случайные интервалы времени.

Основными свойствами потоков вызовов являются:

1. Стационарность; Поток вызовов называется стационарным, если вероятность поступление. К вызовов за промежуток времени [t0; t0+Δ t) не зависит от t0, а зависит лишь от длины интервала Δt: Pk(Δt)=const при Δ t=const. Или: Pk(t0, t0+Δt)=const при Δt=const. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима поведения случайной величины по времени (постоянство среднего числа вызовов в единицу времени).

2. Ординарность; Поток вызовов называется ординарным, если вероятность поступления более одного вызова в интервал времени [t0; t0+Δt ) при Δt→0 и любом начальном моменте t0 является бесконечно малой более высокого порядка, чем Δ t .

3. Отсутствие последействия. Отсутствие последействия предполагает, что вероятность поступления. К вызовов в интервал времени [t0; t0+Δt) не зависит от того, сколько вызовов и как эти вызовы поступали до момента t0: Pk(t0, t0+Δt). Очевидно, что это свойство не всегда выполняется. Например, поток вызовов на выходе коммутационной системы может зависеть от состояния коммутационной системы, а, следовательно, от того, сколько вызовов поступило на КС до момента t0.

Потоки вызовов могут обладать либо всеми, либо только некоторыми из этих свойств. Примеры: потоки с простым последействием, с ограниченным последействием и т.д.

Основными характеристиками потоков вызовов являются их интенсивность и параметр.

. Пусть Λ(t) — математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервал [0,t ). Функцию Λ(t) называют ведущей функцией потока.

Где n – число наблюдений, ki (t) – число вызовов, поступивших за интервал времени [0,t ) в i -й период наблюдений.

По определению мгновенной интенсивностью потока называют предел:

Для стационарного потока мгновенная интенсивность одна и та же в любой момент времени в заданном интервале. Для стационарного потока интенсивность μ есть математическое ожидание числа вызовов, поступающих в единицу времени.

Плотность поступления вызовов:

По определению параметром потока вызовов λ(t) в момент t называют предел отношения вероятности поступления хотя бы одного вызова на интервале [t, t+Δt) к длительности этого интервала Δ t при Δ t →0.