Лекция: Моделирование непрерывных случайных величин.
Непрерывная случайная величина h задана интегральной функцией распределения
Где — плотность вероятностей.
Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения, как и для дискретных величин, можно воспользоваться методом обратной функции.
Взаимно однозначная монотонная функция , полученная решением относительно h уравнения , преобразует равномерно распределенную на интервале (0, 1) величину x в h с требуемой плотностью fn(у).
в практике моделирования систем часто пользуются приближенными способами преобразования случайных чисел, которые можно классифицировать следующим образом:
а) универсальные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом распределения любого вида;
б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.
универсальный способ получения случайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функции плотности. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел функцией плотности fn(у), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим fh(у) в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на т интервалов, как это показано на рис. 1.
рис 1
будем считать fn(y) на каждом интервале постоянной. Тогда случайную величину h можно представить
где аk— абсцисса левой границы k-тоинтервала; hk* — случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k — тоинтервала, т. е. на каждом участке ak ¸ ak+1величина hk* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимироватьfn(y) наиболее удобным для практических целей способом, целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины h в любой интервал (аk, аk+1) была постоянной, т. е. не зависела от номера интервала k. Таким образом, для вычисления аkвоспользуемся следующим соотношением:
(10.7)
Алгоритм машинной реализации этого способа получения случайных чисел сводится к последовательному выполнению следующих действий:
1) генерируется случайное равномерно распределенное число хiиз интервала (0, 1);
2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал (аk, аk+1);
3) генерируется число хi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (аk, аk+1) т. е. домножается на коэффициент (аk+1 — ak)xi+1;
4) вычисляется случайное число yj=ak+(аk+1 — ak)xi+1 с требуемым законом распределения.
Достоинства этого приближенного способа преобразования случайных чисел: при реализации на ЭВМ требуется небольшое количество операций для получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования (10.7) выполняется только один раз перед моделированием, и количество операций не зависит от точности аппроксимации, т. е. от количества интервалов т.
Понятие системы массового обслуживания (СМО). Основные понятия.
Система массового обслуживания (СМО) — система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на
- системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются;
- системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь;
- системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется.
Выбор требования из очереди на обслуживание производится с помощью так называемой дисциплины обслуживания. Их примерами являются FCFS/FIFO (пришедший первым обслуживается первым), LCFS/LIFO (пришедший последним обслуживается первым), random (англ.)(случайный выбор). В системах с ожиданием накопитель в общем случае может иметь сложную структуру.
Основные понятия СМО
Требование (заявка) — запрос на обслуживание.
Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО.
Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование.
Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.