Лекция: Модели в экономике

Экономические науки – одна из наиболее важных сфер применения моделирования, именно здесь модели дают наибольшую эффективность, например если оптимизировать в одной модели траты всего государства, эффект будет выражаться в миллиардах долларов. Можно выделить следующие типы моделей:

1) — модель ЛП (линейные) – модель ресурсов, запасов и т.д.

2) — модели, построенные на транспортной задаче (распространение и перевозка грузов)

3) — модели целочисленного программирования (результат принадлежит области целых чисел, количество человек, число заводов и т.д.) – модели первого типа с целочисленными параметрами.

4) — модели динамического программирования – в основном связанные с развитием какого-либо производства, фирмы и т.д.

5) — игровые модели, связанные с противоборством, конкуренцией.

6) — прогностические модели, связанные с прогнозом ситуации при недостатке информации или случайных событиях.

7) — модели автоматического управления (сделать систему управления оптимальной)

нелинейные модели решаются только в отдельных случаях.


31. Стохастическое моделирование. Метод Монте-Карло в моделировании. Генерирование случайных и псевдослучайных чисел. Методы и алгоритмы генерации.

Стохастическое программирование – раздел математического программирования, совокупность методов решения оптимизационных задач вероятностного характера. Это означает, что либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты).

Оптимизационная задача — экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимальной модели методами математического программирования, т. е. путем поиска максимума или минимума некоторых функций при заданных ограничениях (условная оптимизация) и без ограничений (безусловная оптимизация). Решение оптимизационной задачи называется оптимальным решением, оптимальным планом, оптимальной точкой.

Случайные величины характеризуются средними значениями, дисперсией, корреляцией, регрессией, функция распределения и т.д.

Статистическое моделирование – моделирование с использованием случайных процессов и явлений.

Существует 2 варианта использования статистического моделирования:

– в стохастических моделях может существовать случайные параметры или взаимодействия. Связь между параметрами носит случайный или очень сложный характер.

– даже для детерминированных моделей могут использоваться статистические методы. Практически всегда используются статическое моделирование в имитационных моделях

Модели, где между параметрами существует однозначная связь и нет случайных параметров называются детерминированными.

Детерминированные процессы – определенные процессы, в которых всякие процессы определены законами.

Человек считает все процессы детерминированными, однако со временем обнаружены случайные процессы. Случайный процесс – это такой процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая, причем вероятность того или иного течения определена.

Исследование процессов показало, что они бывают 2-х типов:

а) Случайные по своей природе процессы;

б) Очень сложные детерминированные процессы;

Доказана центральная теорема, в соответствии с которой сложение различных процессов увеличивает случайный характер. Так, если сложить совершенно разные последовательности, не связанные между собой, то результат в пределе стремится к нормальному распределению. Но известно, что нормальное распределение – независимые события, следовательно, объединение детерминированных событий в пределе ведет к их случайности.

Т.о. в природе не существует совершенно чисто детерминированных процессов, всегда есть смесь детерминированных и случайных процессов. Действие случайного фактора называется “шумом”. Источники шума – сложные детерминированные процессы (броуновское движение молекул).

В имитационном моделировании часто сложные процессы заменяют случайными, следовательно, для того чтобы сделать имитационную модель, нужно научиться моделировать случайные процессы методами статического моделирования. Представляют случайные процессы в КМ последовательностью случайных чисел, величина которых случайно меняется.

В статистическом моделировании очень часто используется метод статистических испытаний Монте-Карло. Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Суть метода: для того, чтобы определить постоянную или детерминированную характеристику процесса можно использовать статический эксперимент, параметры которого в пределе связаны с определяемой величиной. Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину, математическое ожидание которой равно:. Практически же поступают так: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве оценки (приближенного значения) искомого числа:.Рассмотрим суть метода на примерах его использования:

1) проверка равномерности распределения генератора случайных чисел.

В статическом моделировании принято источники случайных чисел называть генераторами. Обычно используют генератор случайных чисел равномерно распределенных на диапазоне от 0 до 1. Распределение называется равномерным, если вероятность появления числа на любом из отрезков одинакова. После создания генератора можно проверить, насколько равномерно его распределение. Это можно сделать методом Монте-Карло. Рассмотрим ПДСК (x;y) и построим окружность R=1. Вокруг окружности построим квадрат. Рассмотрим первую четверть:

Найдём площади квадрата и окружности:

Sкв.=1; Sчасти кр.= Sкр./4=πR2/4=π/4.

Проводим статистический эксперимент, для этого генерируем 2 последовательности и. Пара этих чисел дает точку на плоскости. Т.о., эти две последовательности дают последовательность точек, но часть точек попадает в окружность, а часть будет вне окружности. Подсчитываем количество точек внутри Nвн. и общее количество точек Nобщ… С точки зрения теории вероятности, если множество точек равномерно распределено по площади, то кол-во точек зависит от размера площади: .

Проверяем, так ли это в нашем эксперименте. В принципе точно π/4 мы не получим, но должны получить число близкое к нему. Проводят несколько экспериментов, а потом найденную величину усредняют.

Если средняя величина ближе к π/4, чем каждое из вычисленных величин, то считают, что гипотеза о равномерном распределении оказалась правильной. Для метода Монте-Карло это характерно: делаем гипотезу, затем проводим статистический эксперимент и проверяем эту гипотезу. Если гипотеза справедлива, то распределение равномерно, в противном случае – не равномерно.

2) Вычисление интеграла.

, где — площадь под кривой, там где функция >0. — площадь под кривой, там где функция <0.

Рассмотрим прям.1 и проведем в нем эксперимент, найдем. Проведем эксперимент в прям.2 и найдем. Потом можно найти интеграл. Основания прям. одинаковые (от a до b), а высота разная (высота Прям.1, а высота Прям.2 ). Если, =0, значит, функция внизу; если, = 0, то функция вверху. Поэтому, чтобы найти интеграл одномерной функции, нужно найти максим. и миним. значения функции на этом отрезке, проверить или. Интеграл равен — . Для того чтобы определить, что точка попадает в положительную область, при этом и, при этом, .

3) Методы случайного поиска

Поиск – задача определения максимума или минимума функции, она сложная для многомерного случая. Если нет дополнительных условий-ограничений, то можно использовать методы градиентного поиска и метод координатной релаксации. Но существует возможность использовать и метод Монте-Карло:

Пусть задана некая область в системе координат. В этой области есть одна точка экстремума (максимума или минимума). Нужно найти эту точку. Для метода Монте-Карло сгенерируем две последовательнсти: n, сгенерируем

,, и, где,,, — границы области. Тогда точки лежат в области. Вычислим в этих точках значения функций. Затем среди этих значений найдем максимальное/минимальное. По теории вероятности следует, что если количество опытов устремить в бесконечность, то это экстремальное значение стремится к искомому значению. Тогда существуют следующие варианты:

а) простой поиск, берем побольше точек и считаем, что максимальное значение соответствует нашему максимальному значению;

б) поиск с аккомодацией – проводим несколько экспериментов, но каждый раз область уменьшаем так, чтобы максимальное значение было в центре. При этом центр области выбирается в текущем максимальном значении. Очевидно, что этот метод более быстрый и требует меньше случайных точек, так как при этом уменьшается область, их плотность увеличивается.

в) метод последовательного поиска – точки с самого начала берутся в маленьком окошке, но это окошко перемещается так от шага к шагу, чтобы максимальное значение было в центре.

Так как во 2 и 3 случаях повторять процесс можно до бесконечности, то мы остановимся тогда, когда размер области или расстояние перемещения для центра окна меньше заданной погрешности. Существуют так же варианты, которые совмещают в себе 2-й и 3-й подходы.

В статистич. моделировании принято использовать случайные числа, кот-е наз генераторами. Обычно используют генератор случ чисел равномерно распределенных на диапазоне от 0 до 1. Имея такой генератор можно строить все другие последовательности. Распределение наз равномерным если вероятность появления на любом из отрезков равновероятна. Вероятность на отрезке прямопропорциональна длине отрезка.

Псевдослучайные числа отличаются от случайных тем, что они не случайные, но очень похожи на случайные, фактически они генерируются по формуле:.

xi+1= f (xi,xi-1,…)

Псевдослучайная последовательность всё время одна и та же, повторяется, её менять можно только меняя точку входа.Как правило, в псевдослучайной последовательности существует период Т, т.е. через период элемент повторяется: xi+Т= xi. Этот период должен быть больше чем длина последовательности. Последействие выражается в том, что есть корреляция между элементами. Корреляция – это зависимость между двумя последовательностями случайных чисел, определяется коэффициентом корреляции.Для построения генератора равномерно распределенной пос-ти дейст-х чисел от 0 до 1 исполь. следующие методы:

1)аппаратный, в этом мет-е генер-р предст-т из себя отдельный прибор, в кот-м есть источник шума, теплового, квантового или радиоактив-го. Тепловой шум может создавать радиоакт. лампа или полупроводниковый прибор. Однако данный вариант не очень надежен, т.к. накладные шумы от внешней температуры. Источник квантового шума-это туннельный диод. Это самый дешевый способ, есть проблема надежности из-за влияния окружающей среды. Радиоакти-й источник надежно, но дорого. Аппарат создает эл. эмпульсы величина или расстояние м/д кот-ми меняется случ. образом. Далее спец. схема оцифровки превращает этот сигнал в после-ть чисел.

2)табличный, кем-то спец-м образом сгенерированы десятки-тысяч чисел, к-рые проверены и помещены в спец. таблицу, таб. расположена в файле, оттуда мы можем брать начиная с любого места нужную нам пос-ть чисел. Здесь одна проблема таб. должна быть большой.

3)алгоритмический, исполь-ся итерац-я фор-ла вида по кот-ой выч-ся эл-ты пос-ти псевдослучайных чисел. Псевдослуч-ое число похоже на слу-ое, но опреде-ся всетаки детерминированным процессом т.е. итерац. фор-ой. Изуч-е псевдослуч. чисел показывает, что по сравнению с случ числами у них есть след. недостатки: а)каждый раз генерир-ся одна и таже пос-ть; б) в этой пос-ти есть период Т, такой, что; в)в пос-ти есть последействия, т.е. текущий эл-т зависит от предшествующих, хотя для настоящих случ. чисел такой пос-ти не должно быть. Последействие опред-ся спец фун-ей корреляцией, к-ая опред-т зависим-ть м/д величинами. В тоже время алгоритмический генер. обладает большими достоинствами- нет необ-ти покупать спец. прибор, можно всегда сгенирировать столько чисел сколько нужно не занимая места на диске, поэтому ученые стали стали изучать различные генер-ы пытаясь сделать так, чтобы период был очень большим, последействие очень мало, а первая проблема снималась тем, что точка входа в итерац-ю посл-ть постоянно меняется, т.е.меняется .

Генератор Фон-Неймана. Исторически одним из1-ых был предложен Ф- Ней., но использовал метод середины квадрата. Пусть начальное целое число, ко-ое состоит из 5 цифр. Тогда квадрат этого числа будет содержать 10 цифр, тогда возьмем из середины этого числа 5 цифр. Эти 5 цифр дадут число. В рез-те такого проц-са получ послед-ть чисел, кот-ые похожи на случ-ые их можно представить как дробную часть числа распределенную от0 до 1. Однако изуч. этой посл-ти показало, что в ней возник-т проц-ы вырождения. Обычно число приходит к 0 или 1. Поэтому этот мет-д не получил большого распространения.

Линейный конгруэнтный метод. Он сущ. в 2-х вариантах виде смешанного генератора (Леммера) и мультипликативного. Мультипликативный–частный случай смешанного при с=0. Было док-но, что период такого генератора яв-ся простым сомножителем числа М что М выгоднее выбирать простым числом, чтобы период был больше. Возникла проблема найти такие большие простые числа. Очень удачным оказалось число Мерсона-это наибольшее простое число, к-ое могло быть записано в 32-х разрядах ЭВМ, т.к. долгое время компью-ы были 32-х разрядными. То число Мерсона стало стандартным. Кроме числа Мерсона матем-ки исследовали посл-ть при различных значениях а и с, были найдены оптимальные значения а и с.

Сдвиговый генератор Таусворта. Выпол. выч-я в таб. приходится не с 10-ми числами, а с двоичными. Поэтому Таусворд предложил модификацию генератора Леммера с учетом двоичных вычислений. На каждом шаге приходится умножать и делить целые числа, что довольно сложно в двоичной системе. Поэтому он предложил заменить эти операции на двоичное умножение и взятие двоичного остатка. Вместо больших чисел в его итерац-х числах получили разряды двоичных чисел 0 или 1. Если брать вместо числа М число 2, то фактическое значение последнего разряда произведения, определяется умножением последних разрядов произведения. Т.о. в методе Таусворда мы фактически вычисляем только 1 разряд по предыдущему разряду. в рез-те действия генератора Таусворда формируется длинная пос-ть 1 и 0. Наилучший период, n –число разрядов числа С. Далее из этой пос-ти 1 и 0 можно нарезать разных чисел. Данные генераторы были использованы с помощью следующих тестов: 1) тест на равномерность распределения; 2) тест на последействие, использовалась корреляция; 3) выборочный тест; 4) определение периода. Для того, чтобы улучшить качества генератора были созданы спец. методы улучшения кач-ва: метод возмущений и модификация с использованием разных последовательностей.


еще рефераты
Еще работы по информатике