Реферат: Оценка потоков платежей
И.Я. Лукасевич
Проведениепрактически любой финансовой операции порождает движение денежных средств.Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, илимножеством выплат и поступлений, распределенных во времени.
Впроцессе количественного анализа финансовых операций, удобно абстрагироватьсяот их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые имидвижения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательностираспределенных во времени платежей CF0, CF1, ..., Cfn. Для обозначенияподобного ряда в мировой практике широко используется термин “поток платежей”или “денежный поток” (cash flow – CF).
Отдельныйэлемент такого численного ряда CFt представляет собой разность между всемипоступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) наконкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом,величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
Количественныйанализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени врезультате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либоактивов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик [7, 9,13, 15, 16]:
FVn– будущей стоимости потока за n периодов;
PVn– современной стоимости потока за n периодов.
Частовозникает необходимость определения и ряда других параметров финансовыхопераций, важнейшими из которых являются:
CFt– величина потока платежей в периоде t;
r– процентная ставка;
n– срок (количество периодов) проведения операции. Ниже будут рассмотренынаиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства, а такжетехнология автоматизации исчисления перечисленных характеристик и параметров сприменением ППП EXCEL.
Финансовые операции с элементарными потоками платежей
Простейший(элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующегопоступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных n — периодамивремени (например – лет).
Примерамифинансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты,единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, чточисленный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов – {-PV; FV} или{PV; -FV}.
Операциис элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV,PV, r, n. При этом величина любого из них может быть определена по известнымзначениям трех остальных.
Будущаявеличина элементарного потока платежей
Рассмотримтехнологию исчисления будущей величины элементарного потока платежей наследующем примере.
Пример1.2
Суммав 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10%годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величинадепозита в конце срока?
Поусловиям данной операции известными величинами являются: первоначальная суммавклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.
Определимбудущую величину вклада на конец первого периода:
FV1 = PV + PV r = PV(1 + r) =10000(1 + 0,1) = 11000.
Соответственнодля второго периода величина FV будет равна:
FV2= FV1 + FV1 r = PV(1 + r) + PV(1 + r) r = PV(1 + r)2 =
=10000(1 + 0,1)2 = 12100.
Дляпоследнего периода (n = 4):
FV4= FV3 + FV3 r = PV(1 + r)4 = 10000(1 + 0,1)4 = 14641.
Общеесоотношение для определения будущей величины имеет следующий вид:
/>. (1.3)
Нетруднозаметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например,будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 летсоставит 1174313,45!
Нарис. 1.1 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставкахсложных процентов.
/>
Рис.1.1. Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов
Напрактике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могутначисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. Вэтом случае соотношение (1.3) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующийвид:
/>, (1.4)
гдеm – число периодов начисления в году.
Очевидно,что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.
Допустим,что в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим FV4,4:
FV4,4= 10000,00 (1 + 0,10/4)16 = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислениипроцентов раз в год.
Частовозникает необходимость сравнения условий финансовых операций,предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случаеосуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовомуэквиваленту:
/>, (1.5)
гдеr – номинальная ставка; m – число периодов начисления.
Полученнуюпри этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentagerate – EPR) или ставкой сравнения.
Осуществимрасчет эффективной процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:
ЕPR= (1 + 0,1/4)4- 1 = 0,103813
FV= 10000,00 (1 + 0,103813)4 = 14845,06.
Такимобразом, условия помещения суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10%годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых разв год, являются эквивалентными.
Современнаявеличина элементарного потока платежей
Формулудля определения современной величины элементарного потока платежей можно легковывести из соотношения (1.3), путем деления его обеих частей на величину (1 +r)n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:
/>. (1.6)
Пример1.3
Выплаченнаяпо 4-х летнему депозиту сумма составила величину в 14641,00. Определитьпервоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 10% годовых.
PV= 14641,00 / (1 + 0,1)4 = 10000,00.
Нарис 1.2 приведена графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтированиясуммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
/>
Рис.1.2. Дисконтирование суммы в 1,00 при различных ставках r
Каки следовало ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции ипроцентной ставки, однако зависимость здесь обратная – чем больше r и n, темменьше текущая (современная) величина.
Вслучае, если начисление процентов осуществляется m-раз в году, соотношение(1.6) будет иметь следующий вид:
/>. (1.7)
Исчислениепроцентной ставки и продолжительности операции
Формулыдля определения величин r и n могут быть получены из (1.3) и приводятся ниже вготовом виде.
Приизвестных величинах FV, PV и n, процентную ставку можно определить по формуле:
/>. (1.8)
Пример1.4
Суммав 10000,00 помещенная в банк на 4 года составила величину в 14641,00.Определить процентную ставку (доходность операции).
r= (14141,00 / 10000,00)1/4 — 1 = 0,10 (10%).
Длительностьоперации определяется путем логарифмирования:
/>. (1.9)
Приведенныесоотношения (1.3 – 1.9) позволяют определить основные количественныехарактеристики финансовых операций, в результате проведения которых возникаютэлементарные потоки платежей. Автоматизация анализа элементарных потоковплатежей
Соотношения(1.3 – 1.9) могут быть легко реализованы в виде соответствующих формул ППП EXCEL.Например, соотношение (1.9), могло бы быть задано следующим арифметическимвыражением:
=LOG(FV/ PV) / LOG(1 + r), где
LOG– имя функции для вычисления логарифма;
FV,PV, r – соответствующие числовые значения.
Однакосовременные табличные процессоры содержат множество готовых функций,автоматизирующих проведение финансовых расчетов.
ВППП EXCEL для этих целей реализована специальная группа из 52 функций,получивших название финансовых.
Дляисчисления характеристик финансовых операций с элементарными потоками платежейудобно использовать функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(), ПЗ() (табл. 1.1).
Таблица1.1
Функциидля анализа потоков платежей
Наименование функции Формат функции Англоязычная версияРусская
версия
FV БЗ БЗ(ставка; кпер; платеж; нc; [тип]) NPER КПЕР КПЕР(ставка; платеж; нз; бс; [тип]) RATE НОРМА НОРМА(кпер; платеж; нз; бс; [тип]) PV ПЗ ПЗ(ставка; кпер; платеж; бс; [тип]) PMT ППЛАТ ППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип]) FVSHEDULE БЗРАСПИС БЗРАСПИС(сумма; массив ставок) NOMINAL НОМИНАЛ НОМИНАЛ(эф_ставка; кол_пер ) EFFECT ЭФФЕКТ ЭФФЕКТ(ном_ставка; кол_пер)Какследует из табл. 1.1, большинство функций имеют одинаковый набор базовыхаргументов:
ставка– процентная ставка (норма доходности или цена заемных средств – r);
кпер– срок (число периодов – п) проведения операции;
выплата– величина периодического платежа (CF);
нз– начальное значение (величина PV);
бс– будущее значение (FV);
[тип]– тип начисления процентов (1 – начало периода, 0 – конец периода),необязательный аргумент.
Каквы уже знаете, любая из 4-х характеристик FV, PV, r и п подобных операций можетбыть определена по известным величинам трех остальных. Поэтому списокаргументов каждой функции состоит из трех известных величин (аргумент “выплата”здесь не требуется, так как денежный поток состоит из единственного платежа),при задании которых мы будем использовать обозначения, введенные выше.
Дляпростого расчета необходимой характеристики достаточно ввести в любую ячейкуэлектронной таблицы имя соответствующей функции с заданными аргументами.
Напомним,что аргументы функций в русифицированной версии ППП EXCEL разделяются символом“;”, а признаком ввода функции служит символ “=”.
ФункцияБЗ(ставка; кпер; выплата; нз; [тип])
Этафункция позволяет определить будущее значение потока платежей, т.е. величинуFV.
Пример1.5
Определитьбудущую величину вклада в 10000,00, помещенного в банк на 5 лет под 5% годовых,если начисление процентов осуществляется:
а)раз в году; б) раз в месяц.
Введитев любую ячейку ЭТ:
=БЗ(0,05;5; 0; -10000) (Результат: 12762,82)
=БЗ(0,05/12;5*12; 0; -10000) (Результат: 12833,59).
Обратитеособое внимание на способы задания аргументов.
Значениепроцентной ставки (аргумент “ставка”) обычно задается в виде десятичной дроби:5% – 0,05; 10% – 0,1; 100% – 1 и т.д.
Еслиначисление процентов осуществляется m-раз в году, аргументы необходимооткорректировать соответствующим образом:
r= r/m и n = n m.
Аргумент“начальное значение – нз” здесь задан в виде отрицательной величины (-10000),так как с точки зрения вкладчика эта операция влечет за собой отток егоденежных средств в текущем периоде с целью получения положительной величины(12762,82) через 5 лет.
Однакодля банка, определяющего будущую сумму возврата средств по данному депозиту,этот аргумент должен быть задан в виде положительной величины, так как означаетпоступление средств (увеличение пассивов):
=БЗ(0,05;5; 0; 10000) (Результат: -12762,82).
Полученныйже при этом результат – отрицательная величина, так как операция означает расходованиесредств (возврат денег банком вкладчику).
Какуже отмечалось, аргумент «выплата» не используется при анализеэлементарных потоков, поэтому здесь и в дальнейшем он имеет нулевое значение.Его также можно задать в виде пустого параметра – ";", например:
=БЗ(0,05;5;; 10000) (Результат: -12762,82).
Особоотметим тот факт, что последний аргумент функции – “тип” в данном случаеопущен, так как начисление процентов в подобных операциях, как правило,осуществляется в конце каждого периода. В противном случае функция была бызадана с указанием всех аргументов.
ФункцияКПЕР(ставка; выплата; нз; бс; [тип])
ФункцияКПЕР() вычисляет количество периодов начисления процентов, исходя из известныхвеличин r, FV и PV.
Пример1.6
Повкладу в 10000,00, помещенному в банк под 5% годовых, начисляемых ежегодно,была выплачена сумма 12762,82. Определить срок проведения операции (количествопериодов начисления).
=КПЕР(0,05;0; -10000; 12762,82) (Результат: 5 лет).
Соответственнопри начислении процентов раз в месяц, число необходимых периодов будет равно:
=КПЕР(0,05/12;0;-10000;12762,82) (Результат: 60 месяцев).
Следуетобратить особое внимание на то, что результатом применения функции являетсячисло периодов (а не число лет), необходимое для проведения операции.
ФункцияНОРМА(кпер; выплата; нз; бс; [тип])
ФункцияНОРМА() вычисляет процентную ставку, которая в зависимости от условий операцииможет выступать либо в качестве цены, либо в качестве нормы ее рентабельности.
Определимпроцентную ставку для примера 1.6.
=НОРМА(5;0; -10000; 12762,82) (Результат: 0,05 или 5%).
Результатвычисления величины r выдается в виде периодической процентной ставки. Дляопределения годовой процентной ставки, полученный результат следует умножить наколичество начислений в году.
Необходимопомнить, что для получения корректного результата при работе функций КПЕР() иНОРМА(), аргументы «нз» и «бс» должны иметь противоположныезнаки. Данное требование вытекает из экономического смысла подобных операций.
Следующиетри функции БЗРАСПИС(), НОМИНАЛ() и ЭФФЕКТ() являются вспомогательными. Онипредназначены для удобства проведения соответствующих расчетов.
ФункцияБЗРАСПИС(нз; массив ставок)
ФункциюБЗРАСПИС() удобно использовать для расчета будущей величины разовой инвестициив случае, если начисление процентов осуществляется по плавающей ставке.Подобные операции широко распространены в отечественной финансовой и банковскойпрактике. В частности, доходы по облигациям государственного сберегательногозайма (ОГСЗ), начисляются раз в квартал по плавающей купонной ставке.
Пример1.7
Ставкабанка по срочным валютным депозитам на начало года составляет 20% годовых,начисляемых раз в квартал. Первоначальная сумма вклада — $1000. В течении годаожидается снижение ставок раз в квартал на 2, 3 и 5 процентов соответственно.Определить величину депозита к концу года.
Введеможидаемые значения процентных ставок в смежный блок ячеек электронной таблицы,например: 0,2/4 в ячейку B1, 0,18/4 в ячейку B2, 0,17/4 в ячейку B3 и 0,15/4 вячейку B4. Тогда функция будет иметь следующий вид:
=БЗРАСПИС(1000;B1.B4) (Результат: 1186,78).
Заметьте,что величина годовой ставки скорректирована на количество периодов начисления.
ФункцииНОМИНАЛ(эф_ставка; кол_пер), ЭФФЕКТ(ном_ставка; кол_пер)
ФункцииНОМИНАЛ() и ЭФФЕКТ() вычисляют номинальную и эффективную процентные ставкисоответственно.
Этифункции удобно использовать при сравнении операций с различными периодаминачисления процентов. При этом доходность финансовой операции обычно измеряетсяэффективной процентной ставкой.
Пример1.8
Ставкабанка по срочным валютным депозитам составляет 18% годовых. Какова реальнаядоходность вклада (т.е. эффективная ставка) если проценты выплачиваются:
а)ежемесячно
=ЭФФЕКТ(0,18;12) (Результат: 0,1956 или 19,56%);
г)раз в год
=ЭФФЕКТ(0,18;1) (Результат: 0,18 или 18%).
Функцияноминал() выполняет обратное действие, т.е. позволяет определить номинальнуюставку по известной величине эффективной. Например:
=НОМИНАЛ(0,1956;12) (Результат: 0,1799 или 18%).
Нарис. 1.3 приведен простейший пример шаблона, позволяющий решать типовые задачипо исчислению параметров финансовых операций с элементарными потоками платежей.На рис. 1.4 этот шаблон приведен в режиме отображения формул. Дадим необходимыепояснения.
Шаблонсостоит из двух частей. Первая часть занимает блок ячеек А2.В10 и предназначенадля ввода исходных данных (известных параметров финансовой операции). Текстоваяинформация в ячейках А2.А10 содержит наименование исходных параметровфинансовой операции, ввод которых осуществляется в ячейки B6.B10. Ячейка В7содержит принятое по умолчание число начислений процентов, равное 1 (т.е. раз вгоду). Для получения искомого результата необходимо ввести еще три величины.
/>
Рис.1.3. Шаблон для анализа элементарных потоков
/>
Рис.1.4. Шаблон для анализа элементарных потоков (формулы)
Втораячасть таблицы занимает блок ячеек А14.В18 и предназначена для выводарезультатов вычислений, т.е. искомой величины. При отсутствии исходных данных,эта часть таблицы содержит нулевые значения в ячейках В14 и В18, а такжесообщения об ошибках. Блок ячеек В14.В18 содержит формулы, необходимые дляисчисления соответствующих параметров финансовой операции (рис. 1.4).
Величиныr (процентная ставка) и n (срок операции) в формулах скорректированы на числоначислений процентов в году, путем деления и умножения на значение ячейки В7соответственно. Поскольку по умолчанию значение ячейки В7 равно 1, для операцийс начислением процентов раз в год, корректировка параметров r и n не будетоказывать никакого эффекта. При этом здесь и в дальнейшем подразумеваетсязадание параметра r в виде годовой процентной ставки, а срока проведенияоперации n – в количестве лет.
Руководствуясьрис. 1.3 – 1.4, подготовьте таблицу для элементарных потоков платежей исохраните ее на магнитном диске в виде шаблона под именем SINGL_AN.XLT.
Осуществимпроверку работоспособности шаблона на решении практических задач.
Пример1.9
Фирма“Х” предполагает взять кредит в 100000 на 5 лет под 12% годовых. Процентыначисляются ежеквартально и подлежат выплате вместе с основной суммой долга поистечению срока кредита. Определить сумму выплаты на момент погашения кредита.
Преждевсего, осуществим загрузку таблицы-шаблона.
Теперьнеобходимо ввести в соответствующие ячейки колонки В исходные данные – величиныPV, n, m, r.
Введите0,12 в ячейку В6, 4 в ячейку В7, 5 в ячейку В8 и 100000 в ячейку В9. Полученнаятаблица должна иметь следующий вид (рис. 1.5).
/>
Рис.1.5. Решение примера 1.9
Разработаннаятаблица-шаблон позволяет быстро и эффективно проводить анализ финансовыхопераций с элементарными потоками платежей. Так при изменении любойхарактеристики рассмотренной выше операции, достаточно ввести новое значение всоответствующую ячейку ЭТ. Кроме того, шаблон может быть легко преобразован дляодновременного анализа сразу нескольких однотипных ситуаций.
Допустим,что фирма “Х” имеет альтернативную возможность получения кредита в 100000 на 5лет под 11% годовых, выплачиваемых ежемесячно. Какой вариант получения кредитавыгодней?
Длярешения задачи просто скопируйте блок ячеек В14.В18 в блок ячеек С14.С18.Введите исходные данные альтернативного варианта в ячейки С6.С9. Полученнаятаблица должна иметь следующий вид (рис. 1.6).
/>
Рис.1.6. Анализ двух альтернатив
Изполученных результатов следует, что при прочих равных условиях второй вариантполучения кредита более выгодный.
Протестируйтеразработанный шаблон на решении примеров 1.2-1.8 и сравните полученныерезультаты с приведенными.
Напрактике, при проведении большинства финансовых операций возникают потокиплатежей, распределенные во времени.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/