Реферат: Количественные методы в управлении

Содержание.

Содержание… 2

1. Оптимальное производственное планирование… 3

1.1 Линейная задача производственного планирования… 3

1.2 Двойственная задача линейного программирования… 4

1.3 Задача о комплектном плане… 5

1.4 Оптимальное распределение инвестиций… 6

2. Анализ финансовых операций и инструментов… 9

2.1 Принятие решений в условиях неопределенности… 9

2.2 Анализ доходности и рискованности финансовых операций… 11

2.3 Статистический анализ денежных потоков… 13

2.4 Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг… 17

3. Модели сотрудничества и конкуренции… 19

3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одноготовара… 19

3.2 Кооперативная биматричная игра как модель сотрудничества иконкуренции двух участников.     20

3.3 Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества… 22

4. Социально-экономическая структура общества… 24

4.1 Модель распределения богатства в обществе… 24

4.2 Распределение общества по получаемому доходу… 26

 1. Оптимальное производственное планирование.1.1 Линейная задача производственного планирования.

                                   48    30    29    10   -      удельные прибыли

/>

нормы расхода     -    3     2     4     3          198

                                    2     3     1    2            96   -   запасы ресурсов

                                    6     5     1    0          228

Обозначим x1,x2,x3,x4 — число единиц 1-й,2-й,3-й,4-йпродукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать толькоимеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли.Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

P(x1,x2,x3,x4) =48*x1+30*x2+29*x3+10*x4  -->  max

                 3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4<=198

                 2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4<= 96

                 6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4<=228

                     x1,x2,x3,x4>=0 

  Для решения полученной задачи в каждое неравенство добавимнеотрицательную переменную. После этого неравенства превратятся в равенства, всилу этого добавляемые переменные называются балансовыми. Получается задача ЛПна максимум, все переменные неотрицательны, все ограничения есть равенства, иесть базисный набор переменных: x5 — в 1-м равенстве, x6 — во 2-м и x7 — в 3-м.

P(x1,x2,x3,x4)=48*x1+30*x2+29*x3+10*x4+ 0*x5+ 0*x6+ 0*x7-->max

                3*x1+ 2*x2+ 4*x3+ 3*x4+   x5            =198

                2*x1+ 3*x2+ 1*x3+ 2*x4      +   x6      = 96

                6*x1+ 5*x2+ 1*x3+ 0*x4            +   x7=228

                    x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7>=0

48 30 29 10

Hi /qis

 

С Б Н Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7

 

Х5 198 3 2 4 3 1 66

 

Х6 96 2 3 1 2 1 48

 

Х7 228 6 5 1 1 38

 

Р -48 -30 -29 -10

 

Х5 84 -0.5 3.5 3 1 -0.5 24 Х6 20 1.33 0.67 2 1 -0.33 30 48 Х1 38 1 0.83 0.17 0.17 228 Р 1824 10 -21 -10 8 29 Х3 24 -0.14 1 0.86 0.29 -0.14 Х6 20 1.43 1.43 -0.19 1 -0.24 48 Х1 34 1 0.86 -0.14 -0.05 0.19 Р 2328 7 8 6 5 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Так как все оценочные коэффициенты неотрицательны, тополучено оптимальное решение. Оптимальное решение: x1=34, x2=0, x3=24, x4=0,x5=0, x6=20, x7=0. Максимум целевой функции Pmax= 2328.

Ресурсы 1 и 3 являются «узким местом» производства, так какпри выполнении оптимального плана они используются полностью (без остатка).

1.2 Двойственная задача линейного программирования.

 исходная задача                                      двойственная задача

 CX-->max                                                YB-->min

 AX<=B, X>=0                                         YA>=C, Y>=0

P= 48*x1+30*x2+29*x3+10*x4-->max          S= 198*y1+96*y2+228*y3 -->min

   3*x1+2*x2+4*x3+3*x4<=198                           3*y1+2*y2+6*y3>=48

   2*x1+3*x2+1*x3+2*x4<=96                             2*y1+3*y2+5*y3>=30

   6*x1+5*x2+1*x3+0*x4<=228                           4*y1+1*y2+1*y3>=29

   x1,x2,x3,x4>=0                                                  3*y1+2*y2+0*y3>=10

                                                                                y1,y2,y3>=0

Первый способ:

По первой теореме двойственности, оптимальные решениядвойственной задачи (y1,y2,y3) равны оценочным коэффициентам при балансовыхпеременных последней симплекс-таблицы: у1=6, у2=0, у3=5. А экстремумдвойственной задачи Smin=2328.

Второй способ:

По второй теореме двойственности, если какая-то компонентаоптимального решения исходной задачи отлична от нуля, то соответствующее ейограничение двойственной задачи на ее оптимальном решении выполняется какстрогое равенство. А если какое-то из ограничений  исходной задачи на ееоптимальном решении выполняется как строгое неравенство, то соответствующаякомпонента оптимального решения двойственной задачи обязательно равна нулю.

Так как балансовая переменная второго ограничения (х6)отлична от нуля, следовательно оно выполняется на оптимальном решении какстрогое неравенство, а поэтому у2=0. Так как х1 и х3 отличны от нуля, тополучаем следующую системууравнений:                                               3*у1 +6*у3 = 48

                                                    4*у1+    у3 = 29

Решая их, получаем оптимальные решения двойственной задачи:у1=6, у2=0, у3=5.

1.3 Задача о комплектном плане.

Имеем соотношения:    x3:x1= 1;  x4:x2=3   или  х3=х1;  х4=3*х2. Подставив эти выражения, получим задачу ЛП с двумя переменными.

77*х1 +60*х2 àmax

  7*х1 +11*х2 ≤ 198

  3*х1 +  9*х2 ≤ 96

  7*х1 +  5*х2 ≤  228

/>Наносим этиограничения на плоскость х1х2  и ищем на допустимом множестве максимум функции.Для этого строим градиент grad(77,60). Искомая точка скоординатами х1=0; х2»28.29 и максимумприбыли max»2178.

/>

1.4 Оптимальное распределение инвестиций.

Имеем: 4 фирмы, инвестиции в размере 700 тыс. рублей. Поэтим 4 фирмам их нужно распределить. Размер инвестиций кратен 100 тыс. рублей.Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере m (сотен тыс. рублей)выражается функцией fi(m). Приходим к задаче:

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max

x1+x2+x3+x4<=7

x1,x2,x3,x4>=0

где xi — неизвестный размер инвестиций i-й фирме. Эта задачарешается методом динамического программирования: последовательно ищетсяоптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмамвыделено  m  инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, прикоторой сумма f2(z2(j))+f1(m-z2(j)), 0<=j<=m   максимальна, саму этумаксимальную величину обозначим  F2(m). Далее действуем также: находим функцииz3 и F3 и т.д. На k-ом шаге для нахождения  Fk(m) используем основноерекуррентное соотношение:

Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-j):0<=j<=7}

Исходные данные:

Таблица №1.

x 100 200 300 400 500 600 700

f1(x1)

28 45 65 78 90 102 113

f2(x2)

25 41 55 65 75 80 85

f3(x3)

15 25 40 50 62 73 82

f4(x4)

33 33 42 48 53 56 58

Заполняем следующую таблицу. Значения f2(x2)складываем со значениями  F1(m-x2)= f2(m-x2) и на каждой северо-восточной диагоналинаходим наибольшее число, которое отмечаем и указываем соответствующее значениеz2.

Таблица №2.

m-x2

100 200 300 400 500 600 700

x2

f2(x2)/ F1(m-x2)

28 45 65 78 90 102 113 28 45 65 78 90 102 113 100 25 25 53 70 90 103 115 127 200 41 41 69 86 106 119 131 300 55 55 83 100 120 133 400 65 65 93 110 130 500 75 75 103 120 600 80 80 108 700 85 85 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Голубым цветом обозначен максимальный суммарный эффект отвыделения соответствующего размера инвестиций 2-м предприятиям.

Таблица №3.

m 100 200 300 400 500 600 700

F2(m)

28 53 70 90 106 120 133

z2(m)

100 100 100 200 300 300

Продолжая процесс, табулируем функции F3(m)и z3(m).

Таблица №4.

m-x3

100 200 300 400 500 600 700

x3

f3(x3)/ F2(m-x3)

28 53 70 90 106 120 133 28 53 70 90 106 120 133 100 15 15 43 68 85 105 121 135 200 25 25 53 78 95 115 131 300 40 40 68 93 110 130 400 50 50 78 103 120 500 62 62 90 115 600 73 73 101 700 82 82 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Голубым цветом обозначен максимальный суммарный эффект отвыделения соответствующего размера инвестиций 3-м предприятиям.

Таблица №5.

m 100 200 300 400 500 600 700

F3(m)

28 53 70 90 106 121 135

z3(m)

100 100

В следующей таблице заполняем только одну диагональ длязначения m = 700.

Таблица №6.

m-x4

100 200 300 400 500 600 700

x4

f4(x4)/ F3(m-x4)

28 53 70 90 106 121 135 28 53 70 90 106 121 135 100 20 20 48 73 90 110 126 141 200 33 33 61 86 103 123 139 300 42 42 70 95 112 132 400 48 48 76 101 118 500 53 53 81 106 600 56 56 84 700 58 58 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> m 100 200 300 400 500 600 700

F4(m)

28 53 73 90 110 126 141

z4(m)

100 100 100

Сведем результаты в таблицу №7.

m 100 200 300 400 500 600 700

F1(m)=f1(x1)

28 45 65 78 90 102 113 z1=x1 100 200 300 400 500 600 700

F2(m)

28 53 70 90 106 120 133

z2(m)

100 100 100 200 300 300

F3(m)

28 53 70 90 106 121 135

z3(m)

100 100

F4(m)

28 53 73 90 110 126 141

z4(m)

100 100 100

Теперь F4(700)=141показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z4(700)=100 — размер инвестиций в 4-ю фирмудля достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых 3-х фирмосталось (700-100) и длядостижения максимального суммарного эффекта по первым 3-м фирмам в 3-ю надовложить 100  и т.д. Голубым цветом отмечены оптимальныезначения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.

Таким образом, наилучшим является следующее распределениекапитальных вложений по предприятиям: х1*=300; х2*=200; х3*=100;х4*=100. Оно обеспечивает производственному объединению наибольшийвозможный прирост прибыли 141 тыс.руб.

2. Анализ финансовых операций и инструментов.2.1 Принятие решений в условиях неопределенности.

Предположим, что ЛПР (Лицо, Принимающее Решения) обдумываетчетыре возможных решения. Но ситуация на рынке неопределенна, она может бытьодной из четырех. С помощью экспертов ЛПР составляет матрицу доходов  Q.Элемент этой матрицы  q[i,j]  показывает доход, полученный ЛПР, если импринято  i-е решение, а ситуация оказалась  j-я. В этой ситуации полнойнеопределенности могут быть высказаны лишь некоторые соображения о том, какоерешение принять. Сначала построим матрицу рисков. Строится эта матрица так: вкаждом столбце матрицы доходов находим максимальный элемент d[j], после чегоэлементы   r[i,j]=d[j]-q[i,j]  и образуют матрицу рисков.

Смысл рисков таков: если бы ЛПР знал что в реальности имеетместо  j-я ситуация, то он выбрал бы решение  с наибольшим доходом, но он незнает, поэтому, принимая  i-е решение он рискует недобрать  d[j]-q[i,j] -  чтои есть риск.

матрица доходов

Варианты (ситуации) max min Вальд Гурвиц: l*max+  +(1-l)*min; l=1/3 Решения 1 2 8 8 2,67 2 3 4 10 10 2 2 4,67 4 6 10 10 3,32 2 6 8 12 12 2 2 5,32

матрица рисков

Варианты (ситуации) max Сэвидж Решения 2 5 6 4 6 3 4 2 4 2 2 2 2 2

Правило Вальда называют правилом крайнего пессимизма: ЛПРуверен, что какое-бы решение он ни принял, ситуациясложится для него самая плохая, так что, принимая  i-е решение, он получитминимальный доход  q[i]=min{q[i,j]:j=1..4}. Но теперь уже из чисел  q[i]  ЛПРвыбирает максимальное и принимает соответствующее решение.

По правилу Сэвиджа находят в каждой строке матрицы рисковмаксимальный элемент  r[i] и затем из чисел  r[i]  находят минимальное ипринимают соответствующее решение.

  По правилу Гурвица для каждой строки матрицы доходовнаходят величину  z[i]=l*max{q[i,j]:j=1..4}+(1-l)*min{q[i,j]:j=1..4}, потом находят из чисел z[i] наибольшее и принимают соответствующее решение. Число  l  каждый ЛПР выбирает индивидуально — оноотражает его  отношение к доходу и риску, при приближении  l  к 0 правило Гурвица приближается к правилуВальда, при приближении   l   к 1  — кправилу розового оптимизма, в нашем случае   l равно 1/3.

Итак, по правилу Вальда нам следует принять либо 2-ое, либо4-ое решение. Сэвидж и Гурвиц нам советуют принять 4-ое решение.

Пусть теперь нам известны вероятности  ситуаций — p[j]. Имеяматрицу доходов Q  теперь можно сказать, что доход от i-го решения есть с.в.Q[i] с доходами  q[i,j]  и вероятностями этих доходов p[j]. Кроме того, рискi-го решения также есть с.в. R[i] с рисками  r[i,j]   и вероятностями этихрисков p[j].

Тогда М(Q[i]), М(R[i]) — средний ожидаемый доход и среднийожидаемый риск    i-го решения. Принимать решение (проводить операцию) нужнотакое, у которого наибольший средний ожидаемый доход, или наименьший среднийожидаемый риск.

Варианты (ситуации) М(Q[i]), М(R[i]) Доходы 1 2 8 2 2 3 4 10 4 4 6 10 4 2 6 8 12 6 Риски 2 5 6 4 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 p[j] 1/3 1/3 1/6 1/6 /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

М(Q[i])=S (q[i,j]* p[j])         М(R[i])= S (r[i,j]* p[j])

Голубым цветом выделен наибольший средний ожидаемый доход(4-ое решение), а красным цветом – наибольший средний ожидаемый риск (4-оерешение). Как видим, они соответствуют одному и тому же решения. Его и следуетпринять.

Операции: 1-я – (4;2), 2-я – (2;4), 3-я – (2;4), 4-я –(0;6).

/>

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), азеленым – недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальной по Паретоявляется 4-я операция.

Была проведена пробная операция, которая значительносместила распределение вероятностей.

Варианты (ситуации) М(Q[i]), М(R[i]) М*(Q[i]), М*(R[i]) Доходы 1 2 8 2 7,2 2 3 4 10 4 9,2 4 6 10 4 9 2 6 8 12 6 11 Риски 2 5 6 4 4 3,8 3 4 2 2 1,8 2 2 2 2 2 2 p[j] 1/3 1/3 1/6 1/6 p*[j] 0,1 0,9 /> /> /> /> /> /> /> />

Где p*[j] – вероятности после проведения пробной операции.М*(Q[i]), М*(R[i]) – средний ожидаемый доход и риск после проведения пробнойоперации.

Максимально оправданная стоимость пробной операцииравна                     М*(Q[i]) — М(Q[i])=11 – 6 = 5.

Теперь выберем какие-нибудь две операции (1-ю и 4-ю),предположим, что они независимы друг от друга и найдем операцию, являющуюся ихлинейной комбинацией и более хорошую, чем какая-либо из имеющихся.

1-я операция = (4,2);   4-я операция = (0,6)

Результат: нельзя подобрать такой операции, являющейся линейнойкомбинацией 1-ой и 4-ой операции, которая бы доминировала все имеющиесяоперации.

Пусть взвешивающая формула f(Q)=М[Q]/M[R],при M[R] не равным нулю, тогда для 1- 4 операций f1=0,5; f2=2; f3=2;f4= ¥. Следовательно 4-я операция является самой лучшей (max=¥), а 1-я – самая худшая.

2.2 Анализ доходности и рискованности финансовыхопераций.

Пусть доход от операции  Q  есть с.в., которую будемобозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q]=S(q[i]*p[i]) называютеще средним ожидаемым доходом, а риск операции  r = s =ÖD[Q]=Ö(M[Q2]-M2[Q])   отождествляют сосредним квадратическим отклонением.

номер операции Доходы (Q) и их вероятности (Р) M[Q] r 1 1 5 14 4,2 5,19 1/5 2/5 1/5 1/5 2 2 4 6 18 6,8 5,74 1/5 2/5 1/5 1/5 3 8 16 20 8 8,72 1/2 1/8 1/8 1/4 4 2 12 18 22 16,25 6,12 1/8 1/8 1/2 1/4

Необходимые расчеты:

/>

Красным цветом высвечены доминируемые точки (операции), азеленым – недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. Оптимальными по Паретоявляются 1-я,2-я и 4-я операции.

Теперь выберем две операции (1-ю: Q1 и 4-ю: Q4),предположим, что они независимы друг от друга и выясним, нет ли операции,являющейся их линейной комбинацией и более хорошей, чем какая-либо из имеющихся.

Пусть Q1 и  Q4 две финансовыеоперации  со средним ожидаемым доходом 4,2 и 16,25 и рисками 5,19 и 6,12 соответственно. Пусть t  — какое-нибудь число между 0  и 1. Тогда операцияQt=(1-t)Q1+tQ4  называется линейной комбинацией операцийQ1,Q4. Средний ожидаемый доход операции  Qt  равен M[Qt] = 4,2* (1-t) +16,25*t, а риск операции  Qt равен rt =Ö(26,94*(1-t)2+37,44*t2). Была найденаоперация Q*, являющаяся линейной комбинацией исходных операций, сосредним ожидаемым доходом 9,14 и риском 3,96, которая превосходит все имеющиесяоперации по риску.

/>

Определить лучшую и худшую операции можно также с помощьювзвешивающей формулы f(Q)= 2*M[Q] – r. Имеем: f(Q1)=3,21; f(Q2)=7,86; f(Q3)=7,28; f(Q4)=26,38. Следовательно,4-я операция является самой лучшей, а 1-я – самой худшей.

2.3 Статистический анализ денежных потоков.

Исходные данные для анализа: ежедневные (суммарные) денежныевклады населения в отделение сбербанка в течение 4-х недель (или аналогичныйкакой-нибудь денежный поток).

Исходные данные:

1-я неделя 2-я неделя 3-я неделя 4-я неделя 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 5 13 15 14 13 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 12 3 1 17 19 5 4

Денежный поток:

6 5 13 15 14 13 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 12 3 1 17 19 5 4

Ранжированный ряд:

1 3 4 5 5 6 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 12 13 13 14 15 17 19

Дискретный вариационный ряд:

значения 1 3 4 5 6 9 12 13 14 15 17 19 частоты 1 1 1 2 1 6 6 2 1 1 1 1 частости 1/24 1/24 1/24 2/24 1/24 6/24 6/24 2/24 1/24 1/24 1/24 1/24

Многоугольник частот:

/>

Интервальный вариационный ряд:

Границы интервалов 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Середины интервалов 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Частоты 1 1 3 1 6 8 2 1 1 Частости 1/24 1/24 3/24 1/24 6/24 1/24 8/24 2/24 1/24 1/24 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Многоугольник частостей:

/>

Выборочная функция распределения:

/>

Статистические характеристики:

По исходному ряду По дискретному ряду По интервальному ряду Выборочная средняя 10,4 10,4 10,42 Выборочная дисперсия 18,79 18,79 19,88 Выборочное СКО 4,33 4,33 4,46 Несмещенная оценка ген. диспер. 19,61 19,61 20,75

Необходимые формулы и расчеты:

2.4 Задача формированияоптимального портфеля ценных бумаг.3. Модели сотрудничества и конкуренции.3.1 Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынкеодного товара.

Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар.Пусть затраты  i-й фирмы при выпуске  x[i]  равны a[i]*x[i] (таким образом,a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенныйобеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает взависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx,c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль   i-ой фирмы равнаW[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])), гдеd[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизироватьсвою прибыль.

Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.

Тогда:       p(x)=77-9*x      d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8  d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89

W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))=9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))

W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))=9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е.объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизацииприбыли:

¶W[1]/ ¶x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2

Аналогично для второй фирмы:   x*[2]=(d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2

x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм приусловии, что они знают выпуск конкурента.

Теперь предположим, что производственные циклы фирмсовпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают своиоптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлыйпериод. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаютсяв точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точканазывается точкой Курно. Как видно на риссунке последовательность стратегийфирм сходится к этой точке. Так как а[1]=a[2], то d[1]=d[2]=8, тогда точкаКурно K(d/3,d/3),  x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=b*d2/9, ценаp=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d .

d[1]/2<d[2]<2d[1]     -      8/2<8<2*8  -   верно.

Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегийфирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 иx*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1], х[2]=d/3=8/3=2,67.Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d2/9=9*64/9=64,   p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29.

Теперь посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма знает этот выпуск своегоконкурента. Тогда, зная его она применяет свою оптимальную стратегию с цельюмаксимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций ониокажутся в точке Курно.

N Выпуск Цена Прибыли 1-я фирма 2-я фирма 1-я фирма 2-я фирма 7,8 0,1 1 3,95 0,1 40,55 140,42 3,56 2 2,99 2,03 31,89 80,33 54,45 3 2,75 2,51 29,72 64,93 62,09

Как видно уже при 3-ей операции выпуски и прибыли 1-ой и2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке Курно. Посмотрим этографически.

/>

Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, акрасным – точка Курно.

3.2 Кооперативная биматричная игра как модельсотрудничества и конкуренции двух участников.

Математической моделью конфликтов с двумя участникамиявляются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей  (aij,bij). Вкооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элементбиматрицы. Если они выбрали элемент  (a,b), то Первый игрок получает  a, аВторой получает  b. Цели игроков одинаковы — выиграть как можно больше врасчете на партию в среднем. Пусть (x,y),  (a,b) — две точки из CE. Говорят,что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этихнеравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, аих множество — множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множествоназывается переговорным. Оно определяется так: пусть Vk — максимальный выигрыш,который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока,тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множестваПарето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решитьдве задачи ЛП:

         V1-->max,a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;

         V2-->max,a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.

Дано:           

                                            биматрица

2 2 6 6 8 7 9 1

Нанесем на плоскость элементы биматрицы и начертимвыпуклую оболочку.

/>

Где красным и зеленым цветом обозначено множествооптимальности по Парето, а зеленым – та его часть, которая являетсяпереговорным множеством. V1=8, V2=4.

Цена игры первого игрока V1 находится легко, таккак в матрице аij есть седловая точка а[2,1]=8.Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанныхстратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V1= а[2,1]=8, аоптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать всевремя    2-ю строку.

Для того, чтобы найти цену игры и оптимальную стратегию 2-гоигрока необходимо решить задачу ЛП. Если все разделить на V2 исделать замену переменных, то получим:

 V2-->max                          y/V2=x1                 x1 + x2 àmin

 2*y+6*(1-y)>=V2,     (1-y)/V2=x2          2*x1 +6*x2>=1

 7*y+1*(1-y)>=V2,                                   7*x1 +1*x2>=1

 0<=y<=1.                                                          x1, x2 ≥0

Решая ее находим V2=4.

Итак, цена игры 2-го игрока V2=4

3.3 Матричная игра как модель конкуренции исотрудничества.4. Социально-экономическая структура общества.4.1 Модель распределения богатства в обществе.

Такой моделью является так называемая «диаграмма или криваяЛоренца».

Рассмотрим функцию распределения богатства в обществе  d(z),которая сообщает, что  z-я часть самых бедных людей общества владеет  d(z)-йчастью всего общественного богатства. Далее приведен график функции  d(z).Площадь заштрихованной линзы называется коэффициентом Джинни J. Эта величина неболее 1/2. Чем она меньше, тем равномернее распределено богатство в обществе.При  J>0.2 распределение богатства называется опасно несправедливым — этопреддверие социальных волнений. Из функции d(z)  можно получить другую функцию w(z), она сообщает долю общественного богатства, которой владеет z-я частьсамых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну функцию можно получить из  d(z):S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает, что  часть общества, которая богаче,чем (½-х) самых бедных, но беднее (½-х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства. График функции Sрасположен только над отрезком [0, 1/2].  Говорят, что в обществе есть среднийкласс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2  или, что то же самое  S(1/4)>=1/2.

Дано:        d(z)=  exp((7/2)*ln(z))

/>

Как видно на графиках d(0,5)=0,09, т.е.половина самых бедных членов общества владеет только 9% всего общественногобогатства. Вычислим коэффициент Джинни:

½ — J=( 0∫1 (exp(7/2*ln(z))dz)=0,22, значит J=0,28. Так как 0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опаснонесправедливо.

s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) — exp((7/2)*ln(1/2-х))

w(z)= 1 — exp((7/2)*ln(1-z))

Так как  s(0,25)=0,36 и 0,36<0,5, то можно сделать вывод об отсутствии в данномобществе среднего класса. w(0,1)=0,31 означает, чтодесятая часть самых богатых владеет 31% всего общественного богатства.

Производные функций d(z) и w(z):

4.2 Распределение общества по получаемому доходу.

Пусть F(z) есть доля имеющих месячный доход меньше z  поотношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членовобщества назовем налогоплательщиками). Функцию F(z)  вполне правильнотрактовать как функцию распределения случайной величины  I  — месячный доходслучайного налогоплательщика. С.в.  I  можно считать непрерывной. Функция F(z)  может быть интересна налоговой инспекции. С помощью функции F(z) можнонайти несколько интересных характеристик общества. Например, средний доход,который находится как интеграл от 0 до бесконечности функции   z*dF(z). Другойподобной характеристикой является коэффициент Рейнбоу, который находится какотношение решений уравнений F(z)=0.9 и  F(z)=0.1, т.е. этот коэффициентпоказывает отношение доходов 10%  членов общества с самыми высокими доходами кдоходам 10%  с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, тораспределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.

Дано:    F(z)= 1 – exp(6*ln(500/(500+z)))

/>

/>

/>

Как видно на графике 1, F(9)=0,1  и F(234)=0,9. Это говорит о том, что 10% низкодоходных членовобщества имеют доход не более 9 у.е., а 10% высокодоходных имеют доход более234 у.е. Если взять эти числа как отношение, то получим Коэффициент Рейнбоу.Так как 234/9=26 и 26>20, то распределение доходов вданном обществе можно считать несправедливым.