Реферат: Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы и модели)

1.Основные эконометрические понятия и термины,используемые модели.

Слово“эконометрика” – соединение 2-х слов – экономика (наука об экон. сис-ах),метрика (наука об измерениях). Со временем, требовалось оценить точновозникающие связи между экономическими объектами (труд. ресурсами, ср. возрастрабочего, уровень безработицы, з/пл и т.д.) т.к. эти понятия носят как правилослучайный характер, то без таких понятий как регрессия, корреляция,эконометрическая модель, временной ряд не обойтись. Обычно, те объекты, которыеносят независимый характер, в экономике называют фактор признаками.

Например: х1 – время процесса, х2 – раб. период,х3 – выделяемые средства (V ср-в) – этовсе независимые переменные – экзогенные переменные (фактор признаки).

Аналогично, у1– V выпускапродукции, у2 – себестоимость, у3 — рентабельность, у4 – инвестиции в про-во – зависимыепеременные – эндогенные переменные (результативные признаки).

Невсегда затраты ведут к максимизации прибыли. Чтобы написать ту или иную зависимостьприм. ур-ие регрессии.

Уравнение регрессии –ур-ие, связывающее между собой фактор признаки и результативные признаки. Ур-иерегрессии бывают линейные и нелинейные. Сама регрессия бывает парная(зависимость между 1-им фактор признаком и результатом) и множественная.

y =y(x)  (1) (з. между 1-им ф. признаком и рез-ом)

y= a + bx (2)(парная линейнаярегрессия, т.к. х и у участвуют в 1-ой степени, а и b – параметрырегрессии имеющие экономический смысл).

Чтобыучесть возникающие помехи (погрешности в уравнении (2)) обычно пишут: у =a + bx + e, где e– искажение модели, учитывающее ряддругих фактор признаков не явно участвующих в процессе.

Существуюти другого вида регрессии:

1) Линейные – по фактор признаку.

2)  Нелинейные – по параметрам.

Например: /> (регрессия линейная, а и b под зн. log)

Однако, часть нелинейныхрегрессий легко сводится к лин. регрессиям:

Например: y = Ax + B, где />

Однако, сущ. ур-ия регрессиине сводящиеся никаким способом к линейным.

Например: /> (здесьрегрессия нелинейная по фактор признаку х и по параметрам а и b)

Теория корреляции учитываеттесноту связи между признаками х и у.

Основными характеристикамислужат:

1)  линейный коэффициент парной корреляции;

2)  средняя ошибка аппроксимации модели.

2.1. Общая классификация математических моделей исоответствующие подходы.

Модели управления рыночной экономикой подразделяются на 4основных вида:

1) Ординарная модель.

Она предназначена для расчета оптимизации т.н.бизнес-планов, структур управления, где структурированная схема моделипредполагает построение графа, не содержащее контуров “дерево решение”, где каждой вершине приписывается вполне конкретныйобъект. Связь между вершинами “траекторийграфов” есть цели, которые бывают 3-х видов.

основные задачи, решаемые ординарной моделью:

1.  Оптимальное распределениефинансовых средств, выделенных на создание проектируемого объекта, по критериюминимизации времени реализации бизнес-плана.

2.  Расчет максимальной окупаемостивеличины финансовых затрат, необходимых для создания проектируемого объекта.

3.  Расчет определения оптимальныхзначений мощности каждой из подсистем объекта.

2)  Композиционная модель.

Состоит в точном формировании и последующей оптимизациибизнес-плана, проектируемой коммерческой структуры. Основа модели – методанализа иерархий, с точным указанием весовых характеристик каждой изсоставляющих. С помощью композиционной системы решаются аналогичные задачи.Разница лишь в том, что операционные характеристики модели строятся с учетом “интересов”, т.н. весов для моделируемого объекта в целом.

3)  Модель планирования.

Она предназначена для системного планирования в условияхнеопределенности и риска принимаемых решений.

4)  Комплексная модель.

Комплексная модель состоящая из 2-х моделей:

1.  Модель по формированию и ведениюоптимальных портфелей ценных бумаг;

2.  Модель по оценке ликвидностивыдаваемых заемщиком кредитов.

2.2.  Статистические модели и методы их оценки.

Преждевсего, сформируем основные задачи и этапы статистической обработки эксперимента:

1)  Анализ данных, обработка анализируемых измерений. Этот этапсвязан с неоднородностью по качеству экспериментальных измерений. 

2)  Экспериментальная проверка законовраспределения, оценка параметров экономических показателей и индексовизмерений.

3)  Сжатие (группировка) исходнойинформации при большом объеме данных.

4)  Модель как таковая (из вышеотмеченных 4-х видов)

5)  Уточнение модели и ееидентификация.

Перечислимосновные методы, применяемые в экспериментах:

1| Корреляционныйанализ. Его суть –определение случайных связей (как правило линейной) между двумя и болеепризнаками, входящими в эксперимент. Он позволяет отобрать факторы имеющиесущественный характер и построить соответствующее уравнение регрессии. Далее,оценить точность выбранной модели с помощью коэффициента корреляции, кдетерминации к общей ошибке аппроксимации. На основе 1-го можно производитьпрогнозирование.

2|Факторный анализ. Итак,во всякой модели есть фактор признаки, часть из которых носят количественныйхарактер, другая часть – качественный характер. Суть факторного анализа состоит в том, что внешние факторы,используемые в модели и сильно коррелированные между собой должны быть замененывнутренними факторами, которые определяют поведение внешних факторов, и в целомэкономический процесс.

Р= ((Ц-С)/C)* 100%  (определение рентабельности)

Ясно, что эти факторы влияют на производительность. Задачав том, чтобы выделить из них более существенные внутренние факторы и определитьдолю каждого в процессе.

3|Дисперсионный анализ.Он предназначен для обработки и соответствующего прогнозированияэкспериментальных данных, зависящих только от качественных факторов. Сущностьего состоит в том, чтобы разложить дисперсию результата на независимыесоставляющие эксперимента, каждое из которых характеризует влияние того илииного фактора на результат. Сравнения этих составляющих дисперсий есть оценкасущественности этих факторов.

2.3. Некоторые основные положения, используемые вординарной модели.

Формы линии регрессии – есть зависимость между двумя иболее случайными величинами определяется выбором из следующих типовзависимостей.

а) y = a + bx + e, где х – независимый фактор, у – рез-ат, а и b – параметры, е – искажение;

б) y = a + b/x+ e, — гиперболическая регрессия.

в) y = axb + e, — степенная регрессия.

г) y = a + b * ln x + e, — логарифмическая регрессия.

д) y = a + bx + ex2 + … + e, — параболическая регрессия.

Каждая из них, для оценки параметров строится на основеМНК. Его суть – подбирают параметры уравнения регрессии, исходя из минимальныхквадратов отклонений экспериментальных данных и теоретических значений вуравнениях регрессии. Он включается в систему корреляционных уравнений.Получаемые этим методом оценки параметров должны обладать следующими свойствами:

1.  Песьмицинностью, т.е.математические ожидания цен должны быть равны их истинным значениям, полученнымих экспериментальным соответствиям.

2.  Оценка параметров должна бытьсостоятельной, при росте объема наблюдений должна стремится к нулю.

3.  Должны быть эффективными, должныиметь минимальную дисперсию по сравнению к другим оценкам.

3. Постановка и методы решения оптимизационных задач с многими критериями.

Оченьчасто приходится ставить и решать следующие задачи:

1)Максимизировать прибыль исвязанный с ней доход предприятия,

Q1 – max P;

2) Минимизироватьсебестоимость (повышать рентабельность), Q2 – min S, Q3max R;

3)  Минимизировать численностьработающих, Q4;

4)  Максимизировать з.пл. рабочим, Q5 max

Как видим, множество критериев противоречащих друг другу.Как решить поставленную задачу с учетом моделей производства. Существует 4метода решения таких задач:

1-ыйметод. Методанализа иерархий при принятии окончательных управленческих решений. Сутьметода: точно написать дозированныекоэффициенты (т.н. весовые) при принятии решения и распределения ресурсов поцелям. Для этого потребуются вспомогательные сведения, такие как идеальнаяматрица сравнения, индекс согласованности решений, распределениесогласно целям и иерархии.

------------

Идеальная матрица сравнения: Рассматриваются n-объектов (элементов экон. сис-мы) – з.пл.,соц.страх., осн.фонды, численность. Каждый элемент находится во взаимодействиис другими. Обозначим p1,p2,… pn. Всего n-объектов. С этими элементами свяжем матрицу А. Аij, i–номер строки, j-номер столбца. Идеальной матрицей сравнения называетсяисходная матрица А, подчиненная 2-ум правилам:

1)  если Аij = />,то тогда Аji = 1//>, />/>

2)  если суждение (относительно рассм. эл-ов)piи pj таковы, что объект pi одинаков с объектом pj поважности, то элемент aij=1, а значит аji=1. В частности диагональный элемент аii=1. Матрица А отвечающая правилам1) и 2) называется идеальной матрицей сравнения.

Индекс согласованности решений: Пусть дана матрица А и пусть данвектор />; />. />-называется называется собственным вектором матрицы А, ачисло /> — собств. значением матрицыА, если выполняется условие />, /> В принципе, для двухкоординат х1, х2 действие матрицы превращается в 2действия – деформацию вектора и поворот на плоскости.

------------

2-ойметод. Лексикографическийметод стратегий.

3-ийметод. Методидеальной точки (ОптимумПарретто).

4-ыйметод. Методмозговой атаки (коллективного распознавания).

4. Метод базовой точки в экономических системах.

К настоящему времени численные методы (приближенные методы)применяются тогда, когда переменных или критериев много.

В IXXстолетии фр. Физик Ле Шателье открыл следующий принцип:

Б

  />/>/>

Рис 2

 

А

  />/>/>/>/>/>/> Рис 1   Если система находитсяв состоянии устойчивого равновесия, то под действием внешних сил она может бытьвыведена из этого состояния, но так что будет обладать минимумом энтропииэнергии. Это значит (см. рис.1), что если система находится в положении А, топо направлениям 1 и 2 ее бесполезно выводить из состояния устойчивого равновесия.

/>/>/>Если же система находится в положении Б, то, при выведенииее по направлениям 1 и 2 (см. рис.2) система не вернется.

Лауреат нобелевской премии,Пригожин И., в 1989 году, используя принцип Ле Шателье, о том что всякаясистема непременно возвращается в зону устойчивого равновесия, открыл новыйметод в экономике – метод базовой точки:

     Пусть состояние экономическогопроцесса зависит от ряда параметров. Целевая функция имеет следующий вид:

/>/>/>     />

 

  X       A       E

  х–набор свободных параметров x1,x2,…xn, которыенадо оптимизировать.

a1,a2,…ap – набор техническихпараметров, влияющих также на поведение целевой функции.

e1,e2,…em – наборстоимостных характеристик процесса, влияющих на поведение функции. Даннаясистема широко применяется в настоящее время. Например, хорошо всем известнаясистема налогообложения.

/>

Множественная регрессия. Коэффициент эластичности.

Как правило, парной регрессией не обойтись,когда имеется группа взаимосвязанных признаков. Например, в моделиучаствуют след. хар-ки:

x1 – трудовые ресурсы, L

x2 – стоимость основныхфондов, k

x3 – время, Т

x4 – зар. плата

x5 – средний возраст рабочего, и т.д.

Аналогично парной строится и множественнаярегрессия.

Сначала рассмотрим случай, когда одинрезультативный признак  у и фактор признак х1, х2,… хn.

Различают аддиктивную (суммарную) линейнуюмножественную регрессию вида />

И мультипликативную (в форме произведения) />

Параметрымодели есть т.н. эластичности модели. Они показывают на сколько %-ов изм. рез-ту при изменении на 1% фактор признака хi.

5. Идеальная матрица сравнений. Шкала сравнений.

При анализе интересующей насструктуры экономического объекта очень часто приходится принимать точныерешения. Например, на поведение рыночной устойчивости предприятия (обеспечениемаксимального выпуска, связанного с ним дохода, в условиях инфляции, паденияимпорта, падения экспортных цен), нужно точно знать, сколько распределитьсредств, с учетом основных факторов производства на каждый из видовдеятельности, зная цели.

Схема задачиследующая:

/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> />