Реферат: Аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа. Анализ одномерного временного ряда

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ

Вариант №2


Брянск — 2009


ЗАДАЧА 1

 

Решить графическимметодом типовую задачу оптимизации

Совхоз для кормленияживотных использует два вида корма. В дневном рационе животного должносодержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единицпитательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно наодного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Корма

Питат. вещества

Количество питательных веществ в 1 кг корма 1 2

А

В

2

2

1

4

Цена 1 кг корма, т.руб. 0,2 0,3

Построитьэкономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ееэлементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решатьзадачу на максимум и почему?

Решение. Данная задача оптимизации являетсязадачей линейного программирования. Обозначим виды кормов черезхх2. Целевой функцией задачи является общая стоимостькормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей.Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в составкормов — 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Знаяцены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулироватьматематическую модель задачи линейного программирования:

/>/>

Строим областьдопустимых решений задачи (см. рис.1).

Область допустимых решений задачи

Строим вектор-градиент целевой функциизадачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентамцелевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогдаконцом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0).Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризуетповедение целевой функции:

/>

/>Для определения положенияточки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту,смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимыхрешений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении иявляется точкой минимума.

В нашей задаче — это точка В,образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II. Ее координатыопределяются решением системы

уравнений этих прямых:

/>

откуда x1*=2;x2*=2 и />.

Таким образом, чтобы достичь минимальныхзатрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого видакорма при затратах в 1 тыс. руб.

Решение данной задачи линейногопрограммирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты накорм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум:наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает вточке (0; 6), и это значение равно


/>.

/> <td/>

/>

 

 


рис. 1 — Графическоерешение задачи линейного программирования

ЗАДАЧА 2

 

Использовать аппараттеории двойственности для экономико-математического анализа оптимального планазадачи линейного программирования

Дляизготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья,нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены втаблице.

Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы

сырья

А Б В Г

I

II

III

1

4

1

2

2

3

1

2

4

180

210

800

Цена изделия 9 6 4 7

 

Требуется:

1)   Сформулировать прямую оптимизационнуюзадачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получитьоптимальный план выпуска продукции.

2)   Сформулировать двойственную задачу инайти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3)   Пояснить нулевые значения переменныхв оптимальном плане.

4)   На основе свойств двойственных оценоки теорем двойственности:

-          проанализироватьиспользование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-          определить, какизменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшениина 60 единиц запасов сырья Iвида;

-          оценить целесообразностьвключения в план изделия «Д» ценой 12 ед., на изготовление которогорасходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение.1. Данная задачаоптимизации является задачей линейного программирования.

Обозначим количество выпускаемыхизделий х1, х2, х3, х4.

Целевой функцией задачи является общаястоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Числоограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 3.

Дополнительно вводится условиенеотрицательности переменных.

Зная цены изделий, нормы их расхода изапасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейногопрограммирования:

/>

Задачу оптимизации решаемс помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):


/> <td/>

/>

 

рис. 2 — Надстройка«Поиск решения»

Использование надстройкипозволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(95;210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значениеf(X*)=2115 (прил. 1).

Таким образом, дляполучения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x1*=95 изделий А, x2*=210 изделий Б и не производить изделия В(x3*=0) и Г (х4*=0).

2. Обозначимдвойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачиявляется общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, котораядолжна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числупеременных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной задачи имеетвид:

/>

При решении исходнойзадачи с помощью EXCEL одновременноопределяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете поустойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=0; y2*=1,5;y3*=2,25.

Наименьшее значениецелевой функции двойственной задачи

/>

совпадает с наибольшимзначением целевой функции исходной задачи f(X*).Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Выпуск изделий Ви Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затратыпо ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно:

/>

/>

Таким образом, выпускизделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли воптимальный план (x3*=0) и (х4*=0).

4. Проанализируемиспользование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограниченияисходной задачи значения переменных оптимального планаХ*=(95; 210; 0; 0)и проверим выполнение неравенств:

/>

Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являютсядефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные отнуля оценки y2*=1,5 и y3*=2,25.

Увеличение объема ресурсаII на одну единицу при неизменныхобъемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличениеобъема ресурса III на единицу- на 2,25 руб.

Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y1*=0) и является недефицитными, т. е.избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет наоптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколькоизменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья.Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят впределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение»и«Допустимоеуменьшение» правых частей ограничений вприл. 2), что даетвозможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализациивыпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

/>

При этом «новая»наибольшая выручка составит:

/> руб.

Изменение запасовресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс.руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась:изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены насырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и330 ед. изделий Б.

Для определенияцелесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданнымихарактеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этогоизделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

/>

Следовательно, продукцию Двыпускать выгодно, так как затраты на нее меньше, чем ее стоимость.


ЗАДАЧА 3

 

Исследовать динамикуэкономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девятипоследовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании.Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

t

yt

1 43 2 47 3 50 4 48 5 54 6 57 7 61 8 59 9 65

Требуется:

1) Проверить наличиеаномальных наблюдений.

2) Построить линейнуюмодель />, параметры которойоценить МНК (/> - расчетные,смоделированные значения временного ряда).

3) Построить адаптивнуюмодель Брауна /> с параметромсглаживания a= 0,4 и a= 0,7; выбрать лучшее значение параметрасглаживания α.

4) Оценить адекватностьпостроенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты,случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использованииR/S-критерия взять табулированныеграницы 2,7-3,7).

5) Оценить точностьмоделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенныммоделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительныйинтервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значенияпоказателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести содним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычисленийпредставить в таблицах (при использовании компьютера представитьсоответствующие листинги с комментариями).

Решение. 1. Для выявленияаномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для каждого уровня временногоряда рассчитывается статистика

/>,

где /> - стандартное отклонениеуровней ряда.

Стандартное отклонение определяется спомощью встроенной функции EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy=7,29 млн. руб. Расчет значений tдля всех уровней ряда, начиная со второго. Табличное значение критерия Ирвинадля уровня значимости a=0,05 и длинывременного ряда n=9 составляет l=1,5. Видно, что ни одно из значений ltне превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствиианомальных наблюдений.

2. Линейную трендовуюмодель /> строим с помощьюнадстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия»:

Уравнение линейноготренда имеет вид (см. «Коэффициенты»):


/>.

Угловой коэффициентпоказывает, что спрос на кредитные ресурсы финансовой компании за одну неделювозрастает в среднем на 2,58 млн. руб.

Коэффициент детерминацииуравнения R2»0,941 превышает критическое значение /> для a=0,05 и n=9, что свидетельствует о статистической значимостилинейной модели и наличии устойчивого линейного тренда во временном ряду. СамозначениеR2 показывает, что изменение спроса вовремени на 94,1 % описывается линейной моделью.

3. Построение адаптивной модели Брауна.Модель Брауна строится в несколько этапов.

1) По первым пятиточкам временного ряда методом наименьших квадратов оцениваем параметры аа1 линейной модели

/>.

Получаем начальныезначения параметров модели Брауна /> и />, которые соответствуютмоменту времени t=0(определены с помощью функций EXCEL«ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» соответственно.

/>

2) Находим прогнозна первый шаг (t=1):

/>.

3) Определяемвеличину отклонения расчетного значения от фактического:

/>.

4) Скорректируемпараметры модели для параметра сглаживания />=0,4по формулам:

/>;

/>,

где /> - коэффициентдисконтирования данных, отражающий степень доверия к более поздним наблюдениям;/> — параметр сглаживания (/>=/>); /> - отклонение (остаточнаякомпонента).

По условию />=0,4, следовательно значениеb равно:

/>.

Получим:

/>;

/>,

5) По модели соскорректированными параметрами a0(ta1(t) находим прогноз на следующий момент времени:

/>.

Для t=2:

/>.

6) Возвращаемся к пункту3 и повторяем вычисления до конца временного ряда.

7) Вычислим среднююотносительную ошибку для данного параметра сглаживания:

/>


8) Корректировкапараметров модели для />=0,7 и />=0,3:

/>;

/>

9) Средняя относительнаяошибка для данного параметра:

/>

Таким образом, судя посредней относительной ошибке при />=0,4 и />=0,7, в первом случае />=4,1%, а во втором случае />=5,0%. Следовательно, />=0,4 – лучшее значениепараметра сглаживания, т.к. средняя относительная ошибка меньше.

4. Оценим адекватность линейноймодели. Рассчитанные по модели значения спроса />,остатки /> и их график были полученывEXCEL одновременно с построением модели (см. «ВЫВОДОСТАТКА» в прил. 4).

Случайность остаточнойкомпоненты проверим по критерию поворотных точек. В нашем случае общее числоповоротных точек в ряду остатков составляет p=4.

Критическое числоповоротных точек для a=0,05и n=9 определяется по формуле

/>

Так как />, остатки признаютсяслучайными.

Проверим независимость остатков спомощью критерияДарбина–Уотсона (отсутствие автокорреляции).Длярасчетаd‑статистики используетсявыражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

d‑статистикаимеет значение (см. прил. 4):

/>;

/>;

Критические значения d‑статистики для a=0,05и n=9 составляют: d1=0,82; d2=1,32.Так как выполняется условие

/>,

то нет достаточных оснований сделатьтот или иной вывод о выполнении свойства независимости. Проверим независимостьостатков по коэффициенту автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил.4):

/>.

Для расчета коэффициента автокорреляциииспользовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

Критическое значение коэффициентаавтокорреляции для a=0,05 и n=9 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции непревышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствиеавтокорреляции в ряде динамики. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверим равенство нулюматематического ожидания уровней ряда остатков. Среднее значение остатков равнонулю: /> (определено с помощьювстроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 4). Поэтомугипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Нормальный законраспределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия,определяемого по формуле


/>,

где emax; emin — наибольший и наименьший остатки соответственно(определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); /> - стандартное отклонениеряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»;см. прил. 4).

Критические границы R/S-критерия для a=0,05 и n=9имеют значения: (R/S)1=2,7 и (R/S)2=3,7. Так как R/S-критерийпопадает в интервал между критическими границами, то ряд остатков признаетсясоответствующим нормальному закону распределения вероятностей. Модель по этомукритерию адекватна.

Таким образом,выполняются все пункты проверки адекватности модели: модель признаетсяадекватной исследуемому процессу.

Оценим адекватностьпостроенной модели Брауна: /> спараметром сглаживания /> (см.таблица2):

Таблица 2 — Анализ рядаостатков модели Брауна

Проверяемое свойство

Используемые статистики

Граница

Вывод

наименование

значение

нижняя

верхняя

Независимость

d–критерий Дарбина-Уотсона

r(1)-коэффициент автокорреляции

d=2,79

/>

-0,44

0,82

1,32

0,666

Нельзя сделать вывод по этому критерию

r(1)<0,666

адекватна

Случайность Критерий пиков (поворотных точек) 6>2 2 адекватна Нормальность RS-критерий

R/S=/>

2,7 3,7 неадекватна Мат.ожидание≈0 t-статистика Стьюдента

/>/>

2,306 адекватна Вывод: модель статистически неадекватна

5. Оценим точность линейной моделина основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Среднюю относительную ошибкуаппроксимации находим по формуле:

/> %

Значение Eотн показывает, что предсказанныемоделью значения спроса на кредитные ресурсы отличаются от фактических значенийв среднем на 2,57 %. Модель имеет хорошую точность.

Оценим точность моделиБрауна с параметром сглаживания />:

/> 

Модель Брауна также имеетхорошую точность, однако она несколько ниже, чем у линейной трендовой модели.

6. Строим точечный и интервальныйпрогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед для линейной модели:

Прогноз на 1 неделю вперед(период упреждения k=1):

1) Точечный прогноз />:

/> млн.руб.

Среднее прогнозируемое значение спросаравно 64,5 млн. руб.

2) Интервальный прогноз


/> 

с надежностью (доверительнойвероятностью) g=0,7. необходимыерасчеты приведены в таблице 3:

/> млн. руб.,

где tтаб=1,083- табличное значение t-критерия Стьюдента длядоверительной вероятности g=0,7.

С вероятностью 70 %фактическое значение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервалеот 62,13 до 66,87 млн. руб.

 

Таблица 3

t

yt

/>

1 43 16 2 47 9 3 50 4 4 48 1 5 54 6 57 1 7 61 4 8 59 9 9 65 16

Среднее

5

-

60

 

Прогноз на 2 недели вперед(период упреждения k=2):

1) Точечный прогноз:

/> млн.руб.

Среднее прогнозируемое значение спроса равно66,8 млн. руб.

2) Интервальный прогноз снадежностью g=0,7:

/>млн. руб.,

С вероятностью 70 % фактическоезначение спроса на кредитные ресурсы будет находиться в интервале от 64,29 до69,31 млн. руб.

Построим прогноз для модели Брауна наследующие 2 недели. Параметры модели, полученные для последнего уровнявременного ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса поформуле:

/>.

Прогноз на 1 неделю вперед (периодупреждения k=1):

/> млн.руб.

/>

С вероятностью 70 % значение спроса накредитные ресурсы будет находиться в интервале от 63,213 до 70,361 млн. руб.

Прогноз на 2 недели вперед (периодупреждения k=2):

/> млн.руб.

/>

Значение спроса на кредитные ресурсыбудет находиться в интервале от 65,603 до 73,167 млн. руб.

7. График временного ряда спроса строимс помощью надстройки «Диаграмма» EXCEL.Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «yt» вместе с заголовками, а затем выбираетсяпункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:

Далее строим линию линейного тренда(меню «Диаграмма» ® «Добавитьлинию тренда…» ® «Линейная»),и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, атакже вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2.

еще рефераты
Еще работы по экономико-математическому моделированию