Реферат: Экономико-математическое моделирование

1. Графы

 

Задание 1.1

 

1. Охарактеризоватьграф.

2. Выписать матрицусмежности графа.

3. Вычислить степенивершин.

 

/>

 

Решение:

Данный граф являетсянеографом, так как его ребра не ориентированные и не имеют начало и конец.

Ст. V1=3

Ст. V2=3

Ст. V3=3

Ст. V4=3

Ст. V5=2

Ст. V6=2

Матрица смежности графа

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

V1

1 1 1

V2

1 1 1

V3

1 1 1

V4

1 1 1

V5

1 1

V6

1 1

Задание 1.2

 

1. По матрицеинцидентности нарисовать граф.

2. Охарактеризоватьграф.

3. Назвать специальныевершины графа.

4. Вычислитьполустепени вершин.

5. Выписать цикл, цепь,простой цикл, простую цепь.

 

/>

 

Решение:

Данный граф называетсяорграфом, так как его ребра ориентированы и имеют начало и конец.

V4и V6 – висячие вершины;

V5– изолированная вершина.

Полустепень захода: V2= 1; V3 = 3; V4= 1; V6 = 1.

Полустепень исхода: V1= 3; V2 = 1; V3= 2.

Цепь:

Х1 /> Х2 /> Х6 /> Х3

Х5 /> Х6 /> Х3

Простая цепь:

Х1 /> Х2 /> Х3

Х5 /> Х3

Цикл: ????

V3/> V3

Простой цикл: ????

V3/> V3

Задание 1.3

 

1. Нагрузить графзадания 1.1. согласно матрице длин дуг и нарисовать.

2. По алгоритмуокрашивания найти кратчайший путь между вершинами V1и V6.

3. Построить покрывающеедерево с корнем в вершине V1.

 

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

V1

/>

4 6 3

/>

/>

V2

4

/>

3 2

/>

/>

V3

6 3

/>

/>

/>

2

V4

3 2

/>

/>

3

/>

V5

/>

/>

/>

3

/>

2

V6

/>

/>

2

/>

/>

Решение:

 

/>

Окрасила вершину V1.d(V1)= 0, d(x)= /> для любого x/> V1и x = V1.

1. d(V2)= 4

d(V3)= 6

d(V4)= 3 – наименьшее; закрашиваю вершину V4и дугу (V1, V4)или (V4, V2)

y= V4

2. d(V2) = 4 – наименьшее; закрашиваювершину V2 и дугу (V1,V2)

d(V3) = 6

d(V5) = min (6; 3+3) = 6

d(V6) = />

y= V2

3. d(V3) = 6 – наименьшее; закрашиваювершину V3 и дугу (V2,V3)

d(V5) = 6

d(V6) = />

y= V3

4. d(V5) = 6 – наименьшее; закрашиваювершину V5 и дугу (V4,V5)

d(V6) = min(8; 6+2) = 8

y= V5

5. d(V6) = 8 – закрашиваю вершину V6и дугу (V5, V6)

Кратчайший путь

V1/> V3/> V6.

Покрывающее дерево:

/>

2. Сетевое планирование

 

Задание 2.1

 

1. Для задачипланирования поставки товаров оптовым покупателям построить сетевой график,привязанный к оси времени, согласно структурно-временной таблицы. Заданиеконкретного варианта расположено в одной из пяти правых колонок таблицы.

Содержание работ Работа

Длитель-ность, ti

Коэффициент, сi

Обозначение, аi

Опорная, аj

отбор товара 0,1

a1

- 2 подготовка к отправке 0,2

a2

a1

3 выписка накладных 0,3

a3

a2

1 определение объема отгрузки 0,4

a4

a3

1 проверка цен 0,5

a5

a3

1 оформления счета 0,6

a6

a5

1 заказ автомашин для перевозки товара 0,7

a7

a4 а6

3 отправка счета покупателю 0,8

a8

a4 а6

1 проверка товара по счету 0,9

a9

a7

2 оплата счета 1

a10

a8

12 погрузка товара и проверка кол-ва 1,1

a11

a9 а10

2 перевозка товара 1,2

a12

a11

4 выгрузка и сверка с документами 1,3

a13

a12

4

 

2. Вычислить временныепараметры сетевой модели.

3. Построитькритический путь, вычислить критическое время, нанести критический путь насетевой график.

Решение:

 

/>

tij<sub/>–время выполнения работ;

Tp<sub/>–ранний срок наступления события;

K– номер вершины, при движении из которой было получено значение Tp;

Tп– поздний срок наступления события;

Rij–полный резерв времени;

rij– свободный резерв времени.

/>

— критический путь.

Резервы нашла поформуле:

Rij= /> -Ti — tij

rij= /> -/> -tij

На критическом путирезервов времени нет.

 

3. Система массовогообслуживания (СМО)

 

Задание 3.1

 

Решить задачу для СМО сотказами:

В вычислительный центрс mЭВМ поступаютзаказы на вычислительные работы. Если работают все mЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается. Пусть среднее время работы содним заказом составляет /> часов.Интенсивность потока заявок равна λ (1/ч). Найти вероятность отказа Ротки m3– среднее число занятых ЭВМ.

 

m 3 λ 0,25

Тобсср

3

 

Решение:

Интенсивность потокаобслуживаний /> = /> = /> = 0,33.Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле

р = />; р = /> = 0,75.

Предельные вероятностисостояний:

р0= (1 + р+ /> + … + /> + … + />)-1;р0= (1 + 0,75 + 0,752/ 2! + 0,753 / 3!)-1= 0,476 (нет ни одной заявки);

рк = рк/ k! * р0; р3 =(0,753 / 3!) * 0,476 = 0,033 (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа(когда заняты три ЭВМ), таким образом, Ротк = р3 = 0,033.

Относительнаяпропускная способность центра: Q= 1 — Ротк; Q= 1 – 0,033 = 0,967, т. е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центробслуживает 96,7 заявок.

Абсолютная пропускнаяспособность центра А = λ Q;А = 0,25 * 0,967 = 0,242, т. е. в один час в среднем обслуживается 0,242заявки.

Среднее число занятыхЭВМ: /> = А / />; /> = 0,242 / 0,033= 0,725, т. е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднемлишь на 72,5 / 3 = 24,2%.

Задание 3.2

 

Решить задачу для СМО сограниченной длиной очереди:

На автозаправочнойстанции установлены mколонок для выдачи бензина. Около станции находится площадка на Lмашин для их ожидания в очереди. На станцию прибывает в среднем λ машин вминуту. Среднее время заправки одной машины /> мин. Требуетсяопределить вероятность отказа Ротк и среднюю длину очереди Мож.

 

m 3 L 3 λ 2

/>

1

Решение:

/> = 1 / /> = 1 мин.

Нахожу:

р = λ / /> = 2 / 1 = 2, р/ m = 2 / 3, тогда

р0= [/> + /> * />]-1 =[1 + 2 + 22 / 2! + 23 / 3! + 24 / 3*3! * />]-1 /> 0.122

Ротк = Pm+L= /> * p0= (p/m)L* (pm/m!)*p0= (2/3)3 * (23/3!) * 0.122 = 0.048;

Мож = /> />i= (0.122*23/3!) * [2/3 + 2(2/3)2 + 3*(2/3)3] =0.35

Таким образом, Ротк= 0,048, Мож = 0,35 машины.

 

4. Игры

 

Задание 4.1

 

1. Решить игру в чистыхстратегиях.

2. Выписать седловыеточки.

3. Вычислить цену игры.

 

В1

В2

В3

В4

 А1

1 4 1 2

А2

5 3

А3

1 3 1 3

 

Решение:

/>

Седловые точки:(А1, В1); (А3, В1); (А1, В3); (А3, В3). V(цена игры) = 1.

Задание 4.2

 

1. Решить игру.

Указание: использоватьпринцип доминирования.

 

В1 В2 В3 В4 В5 А1 -2 1 3 1 А2 -3 -4 2 -1 -4 А3 1 -5 6 3 -5 А4 -2 1 3 1

Решение:

/>

Задание 4.3

 

1. Решить игру 2 х nграфическим методом.

 

В1 В2 В3 В4 А1 -1 1 -1 2 А2 -1 2 -2

 

Решение:

/>

B– верхняя цена игры

А = (0,4;0,6)

/> = 1.

 

5. Список литературы

 

1.Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман. Исследование операций вэкономике: Учебн. Пособие для вузов/ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: Банкии биржи, ЮНИТИ, 1997.

2.Е. В. Бережная, В. И. Бережной. Математические методы моделированияэкономических систем: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О.Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: Учеб. пособие. – М.: Дело,2001. – 464 с.

4. Шикин Е. В., Чхартишвили А. Г.Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. — М.: Дело, 2000. –440 с.

5. Шапкин А.С., Мазаев Н.П.Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – М.:Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2004.