Реферат: Математическое моделирование экономических ситуаций

Тема 1

Задача 1

Имеется информация о количестве книг, полученных студентами по абонементуза прошедший учебный год.

2 4 4 7 6 5 2 2 3 4 4 3 6 5 4 7 6 6 5 3 2 4 2 3 5 7 4 3 3 2 4 5 6 6 10 4 3 3 2 3

Построить вариационный,ранжированный, дискретный ряд распределения, обозначив элементы ряда.

Решение:

Ранжированныйвариационный ряд:

2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 10

Дискретный вариационныйряд:

2 3 4 5 6 7 10

7 9 9 5 6 3 1

7/40 9/40 9/40 5/40 6/40 3/40 1/40

/>– варианты, />– частоты, />=/>/(7+9+9+5+6+3+1)=/>/40

Тема 2

Задача 1

В таблице приведены данные о продажах автомобилей в одном изавтосалонов города за 1 квартал прошедшего года. Определите структуру продаж.

Марка автомобиля Число проданных автомобилей Skoda 245 Hyundai 100 Daewoo 125 Nissan 274 Renault 231 Kia 170 Итого 1145

Решение:

Показатель структуры(ОПС):

ОПС = Число проданныхавтомобилей / 1145

Skoda245/1145=0.214

Hyundai100/1145=0.087

Daewoo125/1145=0.109

Nissan274/1145=0.239

Renault231/1145=0.203

Kia 170/1145=0.148

Марка автомобиля Число проданных автомобилей Доля в продажах (%) Skoda 245 21.4 Hyundai 100 8.7 Daewoo 125 10.9 Nissan 274 23.9 Renault 231 20.3 Kia 170 14.8 Итого 1145 100

Тема 3

Задача 1

Имеется информация о численности студентов ВУЗов города иудельном весе (%) обучающихся студентов на коммерческой основе:

ВУЗы города Общее число студентов (тыс. чел.) Из них удельный вес (%), обучающихся на коммерческой основе. УГТУ—УПИ 15 15 УрГЭУ 3 10 УрГЮА 7 20

Определить: 1) среднийудельный вес студентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе; 2) число этихстудентов.

Решение:

1) Средний удельный весстудентов ВУЗов, обучающихся на коммерческой основе (%): (15+10+20)/3=15 %

Число студентов,обучающихся в этих трёх ВУЗах на коммерческой основе в сумме:15*0.15+3*0.1+7*0.2=2.25+0.3+1.4=3.95 тыс. чел.

2) Число студентов ВУЗов,обучающихся на коммерческой основе в среднем: 3.95/3=1.317 тыс. чел.

Тема 4

Задача 1

При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вкладав банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

Размер месячного вклада, рубли Число вкладчиков Банк с рекламой Банк без рекламы До 500 3 500-520 4 520-540 17 540-560 11 15 560-580 13 6 580-600 18 5 600-620 6 620-640 2 Итого 50 50

Определить:

1) для каждого банка: а) средний размервклада за месяц; б) дисперсию вклада;

2) средний размер вклада за месяц длядвух банков вместе.

3) Дисперсию вклада для 2-х банков,зависящую от рекламы;

4) Дисперсию вклада для 2-х банков,зависящую от всех факторов, кроме рекламы;

5) Общую дисперсию используя правилосложения;

6) Коэффициент детерминации;

7) Корреляционное отношение.

Решение:

(0+500)/2=250,(500+520)/2=510, (520+540)/2=530, (540+560)/2=550,

(560+580)/2=570,(580+600)/2=590, (600+620)/2=610, (620+640)/2=630.

Размер месячного вклада, рубли Средний размер месячного вклада, рубли Число вкладчиков Банк с рекламой Банк без рекламы До 500 250 3 500-520 510 4 520-540 530 17 540-560 550 11 15 560-580 570 13 6 580-600 590 18 5 600-620 610 6 620-640 630 2 Итого 50 50

1) Для банка с рекламойсредний размер вклада за месяц составил:

(550*11+570*13+590*18+610*6+630*2)/50=580руб.

Для банка без рекламысредний размер вклада за месяц составил:

(250*3+510*4+530*17+550*15+570*6+590*5)/50=528,4руб.

Для банка с рекламойдисперсия вклада будет:

/>=((550-580)²*11+(570-580)²*13+(590-580)²*18+(610-580)²*6+

+(630-580)²*2)/50=(900*11+100*13+100*18+900*6+2500*2)/50=23400

/50=468

Для банка без рекламыдисперсия вклада будет:

/>=((250-528,4)²*3+(510-528,4)²*4+(530-528,4)²*17+(550-528,4)²*15+

+(570-528,4)²*6+(590-528,4)²*5)/50=

= (232519,68+1354,24+43,52+6998,4+10383,36+18972,8)/50=

= 270272/50=5405,44

2) Средний размер вкладаза месяц для двух банков вместе:

(250*3+510*4+530*17+550*(11+15)+570*(13+6)+590*(18+5)+610*6+63

0*2)/(50+50)=(750+2040+9010+14300+10830+13570+3660+1260)/100=55

4,2 руб. (или(580+528,4)/2=554,2 руб.)

3) Дисперсия вклада для2-х банков, зависящая от рекламы:

/>=((550-554,2)²*11+(570-554,2)²*13+(590-554,2)²*18+

+(610-554,2)²*6+(630-554,2)²*2)/50=

=(17,64*11+249,64*13+1281,64*18+3113,64*6+5745,64*2)/50=

=56682/50=1133,64

4) Дисперсия вклада для2-х банков, зависящая от всех факторов, кроме рекламы:

/>=((250-554,2)²*3+(510-554,2)²*4+(530-554,2)²*17+(550-554,2)²*15+

+(570-554,2)²*6+(590-554,2)²*5)/50=

=(92537,64*3+1953,64*4+585,64*17+17,64*15+249,64*6+1281,64*5)/50

=303554/50=6071,08

5) Определить общуюдисперсию используя правило сложения:

/>=((250-554,2)²*3+(510-554,2)²*4+(530-554,2)²*17+(550-

554,2)²*(11+15)+

+(570-554,2)²*(13+6)+(590-554,2)²*(18+5)+(610-554,2)²*6+(630-

554,2)²*2)/

/100=(277612,92+7814,56+9955,88+458,64+4743,16+29477,72+18681,84+

+11491,28)/100=360236/100=3602,36

Тема 5

Задача 1

Имеется информация овыпуске продукции (работ, услуг), полученной на основе 10% выборочногонаблюдения по предприятиям области:

Группы предприятий по объему продукции, тыс. руб. Число предприятий (f)

До 100

100-200

200-300

300-400

400-500

500 и >

164

108

итого 400

Определить:

1) по предприятиям,включенным в выборку:

а) средний размерпроизведенной продукции на одно предприятие;

б) дисперсию объемапроизводства;

в) долю предприятий собъемом производства продукции более 400 тыс. руб.;

2) в целом по области свероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать:

а) средний объемпроизводства продукции на одно предприятие;

б) долю предприятий собъемом производства продукции более 400 тыс. руб.;

3) общий объем выпускапродукции по области.

Решение:

Группы предприятий по объему продукции, тыс. руб. Средний объём продукции на группу, тыс. руб. Число предприятий (f)

До 100

100-200

200-300

300-400

400-500

500 и >

150

250

350

450

550

164

108

итого 400

1) Средний размерпроизведенной продукции на одно предприятие:

(50*28+150*52+250*164+350*108+450*36+550*12)/400=110800/400=

=277 тыс. руб.

Дисперсия объемапроизводства:

/>=((50-277)²*28+(150-277)²*52+(250-277)²*164+(350-277)²*108+

+(450-277)²*36+(550-277)²*12)/400=4948400/400=12371

Доля предприятий собъемом производства продукции более 400 тыс. руб.:

(36+12)/400= 0,12 или 12%

2) Определить в целом пообласти с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать:

а) средний объемпроизводства продукции на одно предприятие:

/> />111,225

Величина tопределяется по таблице значений функции Лапласа из равенства

/>.

Следовательно, в нашемслучае последнее равенство принимает вид

Ф(t)=0,954/2=0,477.

Из этого равенства потаблице значений интегральной функции Лапласа /> находим значение t=2,00.

√n=√400=20

Найдём нижний предел:

277-2*111,225/20=265,8775тыс. руб.

Найдём верхний предел:

277+2*111,225/20=288,1225тыс. руб.

Iγ(a)=( 265,8775; 288,1225)

б) долю предприятий собъемом производства продукции более 400 тыс. руб.:

Средняя: (450+550)/2=500тыс. руб.

Найдём нижний предел:

500-2*111,225/20=488,8775 тыс. руб.

Найдём верхний предел:

500+2*111,225/20=511,1225 тыс. руб.

Iγ(a)=( 488,8775; 511,1225)

3) Общий объем выпускапродукции по области:

50*28+150*52+250*164+350*108+450*36+550*12=110800тыс. руб.

Тема 6

Задача 1

Данные о площадях подкартофелем до и после изменения границ района, тысяч гектаров:

периоды

площадь

под картофелем

1 2 3 4 5 6 7 До изменения границ района 110 115 112 После изменения границ района 208 221 229 234 230

Сомкнуть ряд, выразивплощадь под картофелем в условиях изменения границ района.

Решение:

208/112=1,857 –коэффициент

110*1,857=204.27

115*1,857=213.55

115/112*100=102,68%

110/112*100=98,21%

221/208*100=106,25%

229/208*100=110,096%

234/208*100=112,5%

230/208*100=110,58%

периоды

площадь

под картофелем

1 2 3 4 5 6 7 До изменения границ района 110 115 112 ----- ----- ----- ----- После изменения границ района ----- ----- 208 221 229 234 230 Сомкнутый ряд 204.27 213.55 208 221 229 234 230 Сомкнутый ряд относительных величин в % к 3 периоду 98,21 102,68 100,0 106,25 110,096 112,5 110,58

Тема 7

Задача 1

По нижеприведенным данным ответить на вопросы, поставленные втаблице, т.е. определить недостающие показатели

Показатели Изменение показателей в % к предыдущему кварталу «+»-увеличение, «-» — уменьшение II квартал III квартал IV квартал Цена ? +10 -2 Натуральный объем продаж Без изменения ? +5 Товарооборот в денежном выражении +8 +5 ?

Решение:

Найдём в III квартале ip – так как 110-100=10% (+10) в этойячейке, то значение индекса запишем 110/100=1,1 По аналогии заполним всеячейки.

Индексы Значения индексов II квартал III квартал IV квартал ip x 1,1 0,98 iq 1,0 y 1,05 Ipq 1,08 1,05 z

Теперь найдём x,y,z:

Ipq= ip* iq

x= Ipq / iq=1,08/1=1,08(+8)

y=1,05/1,1=0,95 (-5)

z=0,98*1,05=1,03 (+3)

Таблица примет вид:

Показатели Изменение показателей в % к предыдущему кварталу «+»-увеличение, «-» — уменьшение II квартал III квартал IV квартал Цена +8 +10 -2 Натуральный объем продаж -5 +5 Товарооборот в денежном выражении +8 +5 +3

Тема 8

Задача 1

По пяти рабочим цеха имеются данные о квалификации и месячнойвыработке. Для изучения связи между квалификацией рабочих и их выработкойопределить линейное уравнение связи и коэффициент корреляции. Датьинтерпретацию коэффициентам регрессии и корреляции.

Табельный номер рабочего Разряд (y) Выработка продукции за смену, шт. (x)

130

110

Решение:

Линейное уравнение связи:

y=a+bx

6=a+130*b,a=6-130*b

5=a+110*b,a=5-110*b

6-130*b=5-110*b;6-5=130*b-110*b; 1=20*b; b=1/20=0,05

6=a+0,05*130; a=6-0,05*130;a=-0,5

Линейное уравнение приметвид:

y=-0,5+0,05x

Проверка:

4=-0,5+0,05*90, 4=4;3=-0,5+70/20, 3=3; 2=-0,5+60/20, 2=2,5 –

работник 2-го разрядаперевыполняет норму и не вписывается в общую зависимость.

Коэффициент корреляции:

Найдём числитель (n=5):

(2*60+3*70+4*90+5*110+6*130)-(2+3+4+5+6)*

*(60+70+90+110+130)/5=2020-20*460/5=180

Σx²-(Σx)²/n=(60²+70²+90²+110²+130²)-(60+70+90+110+130)²/5=

=45600-211600/5=45600-42320=3280

Σy²-(Σy)²/n=(2²+3²+4²+5²+6²)-(2+3+4+5+6)²/5=90-400/5=90-80=10

r=180/√3280*√10=180/181,1077=0,99388

По шкале Чеддока связьклассифицируется как функциональная. Поскольку (0,99388>0,99100), модельнадёжна, связь статистически значима.

Тема 9

Задача 1

Имеютсяследующие данные за 2006 год:

· Численностьнаселения, тыс. чел.: на 1 января — 430,0; на 1 апреля — 430,2; на 1 июля430,3; на 1 октября — 430,7; на 1 января 2007 г. 430,8

· Число умерших,чел. — 8 170

· Число выбывших напостоянное жительство в другие населенные пункты, чел. — 570

· Коэффициентжизненности — 1,075

· Доля женщин вобщей численности населения, % — 58

· Доля женщин ввозрасте 15-49 лет в общей численности женщин, % -39

Определите: коэффициенты рождаемости, смертности,естественного, механического и общего прироста населения; число родившихся;число прибывших на постоянное жительство из других населенных пунктов;специальный коэффициент рождаемости.

Решение:

Коэффициент рождаемости

/>:

N – кол-во родившихся, S – численность населения.

Средняя численностьнаселения:

/>=

=(430/2+430,2+430,3+430,7+430,8/2)/(5-1)=

=1721,6/4=430,4

N=430,8-430,0=0,8 тыс. чел. (800 чел.)– За весь 2006 г.

n=1000*0,8/430,4=1,859 (чел./тыс.чел.)

Коэффициент смертности

/>:

M – кол-во умерших.

m=1000*8,17/430,4=18,982 (чел./тыс.чел.) – за 2006 г.

Коэффициентестественного прироста населения

/>:

Kn-m=1,859-18,982=-17,123(чел./тыс. чел.)

Коэффициентмеханического прироста населения

/>:

Коэффициент выбытиянаселения:

/>=1000*0,57/430,4=1,324 (чел./тыс.чел.)

Коэффициент прибытиянаселения:

/>=0

(В условиях задачи неуказано сколько прибыло населения или чему равен Kпр,решение с двумя неизвестными невозможно. Будем считать его равным 0)

/>=0-1,324=-1,324 (чел./тыс. чел.)

Коэффициент общегоприроста населения:

/>=-17,123+(-1,324)=-18,447

Специальныйкоэффициент рождаемости:

/>=1000*0,8/(430,4*0,39)= 4,766

Тема 10

Задача 1

Имеются данные на конецгода по РФ, млн. чел.:

— численность населения –146,7

— экономически активноенаселение – 66,7

— безработных, всего — 8,9,в том числе

зарегистрированных вслужбе занятости – 1,93.

Определить: 1) уровеньэкономически активного населения; 2) уровень занятости; 3) уровень безработицы;4) уровень зарегистрированных безработных; 5) коэффициент нагрузки на 1занятого в экономике.

Решение:

Коэффициентэкономически активного населения:

/>=66,7/146,7=0,45467=45,467%

Коэффициент занятости

/>:

занятые = экономически активные — безработные =66,7-8,9=57,8 млн. чел.

/>=57,8/66,7=0,8666=86,66%

Коэффициентбезработицы:

/>=8,9/66,7=0,1334=13,34%

Уровеньзарегистрированных безработных:

зарегистрированные вслужбе занятости / экономически активные=1,93/66,7 = 0,0289=2,89%

Коэффициент нагрузкина одного занятого в экономике – это число незанятых в экономике, приходящееся на одногозанятого: