Реферат: Влияние математики на философию и логику

АКАДЕМИЯ ГРАЖДАНСКОЙ ЗАЩИТЫ

«Влияние математики на

философию и логику»

                       Выполнил: Русскин А. В.

                               Проверил:  Ксенофонтов В. Н.

Новогорск — 2005

Содержание.

1.  Введение……………………………………………………………3

2.  Влияниематематики на философию…………….………………..4

3.   Соотношение математики и логики………………….…………...19

4.   Заключение…………………………………………………………31

5.   Литература………………………………………………………….32

1. Введение.

    Математика оказала огромное влияние на философию илогику. Это просматривается в работах Зенона, Пифагора и пифагорейцев, Декарта,Рассела, Платона, Канта и многих других. Многие мыслители пришли к философии илогике через математику. Числа и числовые отношения рассматривались как ключ кпониманию вселенной и ее структуры. Так, Галилей говорил: “ Книга природынаписана на языке математики.”   

2. Влияние математики на философию.

знаменитых рассуждения древнегреческого философа Зенона«Ахиллес и черепаха», «Дихотомия» и др., называемых обычно апо-риями (затруднениями).Они были направлены будто бы против движения и существования многих вещей. Самаидея доказать, что мир — это одна-единственная и к тому же неподвижная вещь,нам сегодня кажется странной. Странной она казалась и древним. Нас-толькостранной, что доказательства, приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены кпростым уловкам, причем лишенным в общем-то особой хитрости. Такими они исчитались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь. Посмотрим, какони формулиру-ются, и обратим внимание на их внешнюю простоту инезамыслова-тость.

     В «Ахиллес и черепаха» говорится, что самоебыстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллесни-когда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи,она продвинется немного вперед. Он быстро преодо-леет и это расстояние, ночерепаха уйдет еще чуточку вперед.

      И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будетдостигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бынемного, но впереди.

      В «Дихотомии» обращается внимание на то, что движущийсяпредмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет егоконца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этойчетвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться кконечной точке, но так никогда ее не достигнет.

     Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобыпройти половину пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этогонужно пройти половину этой четверти и т.д. Предмет в итоге так и не сдвинется сместа.

     Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотнифило-софских и научных работ. В них десятками разных способов доказы-вается,что допущение возможности движения не ведет к абсурду, что наука геометриясвободна от парадоксов и что математика спо-собна описать движение безпротиворечия.

     Обилие опровержений доводовЗенона показательно. Не вполне ясно, в чем именно состоят эти доводы, что онидоказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообщедоказа-тельство? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруд-нениявсе-таки есть. И прежде чем опровергать Зенона, нужно выяс-нить, что именно оннамеревался сказать и как он обосновывал свои тезисы. Сам он не формулировалпрямо ни проблем, ни своих реше-ний этих проблем. Есть, в частности, толькокоротенький рассказ, как Ахиллес безуспешно пытается догнать черепаху.

     Извлекаемая из этого описания мораль зависит,естественно, от того более широкого фона, на котором оно рассматривается именя-ется с изменением этого фона.

     Рассуждения Зенона сейчас, надо думать, окончательно выведеныиз разряда хитроумных уловок. Они, по словам Б. Рассела, «в той или иной формезатрагивают основания почти всех теорий прост-ранства, времени и бесконечности,предлагавшихся с его времени до наших дней».

     Понять, какой вклад внесламатематика в философию, можно, изучая учения Пифагора и пифагорейцев. Интереснопонимание числа у ранних пифагорейцев.

      С самого начала существованиярелигиозного ордена, учрежденного Пифагором, в нем ставилисьпрактически-нравственные и религиозные цели: очищение человеческой души дляспасения ее от круговорота рождений и смертей. Поэтому существовал целый рядстрогих предписаний, регламентировавших жизнь членов ордена. Одним из важнейшихсредств очищения пифагорейцы считали научные занятия, прежде всего занятия математикойи музыкой. Как отмечает А.О. Маковельский, «вера врелигиозно-катартическое действие науки дала силы Пифагору положить основаниечистой математики».

      Действительно, именно в Грециимы наблюдаем изменение роли математического знания по сравнению с той, какуюоно играло в Египте и Вавилоне. Там математика, как уже отмечалось, носилапрактически-прикладной характер, она была техникой расчета, решения задач. Прихарактерном для древнего мира делении всех сфер жизни на сакральные и профанные(священные и светские) математика принадлежала ко второй. Без ее помощи немогли обойтись землемеры и купцы, строители и мореходы, но она не имеланепосредственного отношения к мифологическим представлениям и религиознымкультам. Но это не противоречит тому известному факту, что некоторым числам вдревнем мире придавалось сакрально-мифологическое значение; к ним относится,например, число пять в Древнем Китае или число семь, игравшее важную роль в религиозно-мифологических и магическихпредставлениях вавилонян и египтян более чем за два тысячелетия до н.э. Вот чтопишет американская исследовательница Л. Торндайк, анализируя сакральноезначение семерки в Древней Вавилонии: «В древневавилонском эпосе осотворении мира, например, семь духов бури, семь злых болезней, семь областейподземного мира, закрытых семью дверями, семь поясов надземного мира и неба ит.д.… Число семь было очень распространено, носило священный и мистическийхарактер, считалось совершенным и обладающим особой силой»21. Число семьсчиталось сакральным не только у вавилонян, но и у древних евреев и греков: вВетхом Завете, у Гесиода и Гомера семерка выступает как священное число. Как мыувидим далее, ранним греческим философам, и особенно пифагорейцам, отнюдь небыло чуждо выделение сакральных чисел, к которым, кроме семерки, относили такжетройку, а позднее — десятку (декаду). Но не само это выделение священного числаи не перечисление различных «семериц» или «декад» из разныхобластей природной жизни или человеческих установлений составляли главноенаправление развития пифагорейской мысли.

      Что же касаетсядревних восточных культур, то в них математическое исчисление, носившеепрактически-прикладной характер, не было внутренне связано с выделениемсвященных чисел — семерок, пятерок или троек. Священное число выступало вовсене как математическая реалия — к нему обращались скорее либо в магическихзаклинаниях, где перечислялись различные «семерицы» илипрактиковались тройные, семеричные и т.д. ритуальные повторы, либо в других ритуальныхкультовых действиях. Подбирались и перечислялись группы явлений или процессов,которые представали как воплощение «семериц» и «троек», иэта процедура тоже представляла собой одну из древних форм упорядочения иклассификации явлений, подобно тому как в племенах первобытных народовупорядочение производится, например, по странам света, которым соответствуютопределенные цвета (черный, белый, красный и желтый), виды животных и т.д.Таким образом, ни развитие математической техники счета и решения задач, принадлежавшеесфере хозяйственно-практической, ни выделение священных чисел, имевшееритуальное, культовое и мифологическое значение, не привело на Древнем Востокек возникновению математики как системы теоретического знания.

Пифагорейцыпервыми возвысили математику до ранее неведомого ей ранга: числа и числовыеотношения они стали рассматривать как ключ к пониманию вселенной и ееструктуры. Они впервые пришли к убеждению, что «книга природы написана наязыке математики»,

как спустя почтидва тысячелетия выразил эту мысль Галилей.

Для представлений онауке, как они сложились к XVII-XVIII вв., особенно у философов эпохиПросвещения, характерно убеждение в том, что наука по своему существупротивоположна религии. Это представление отражает тот период в развитии науки,когда ученым приходилось вести борьбу с религией за возможность свободногонаучного исследования. Но применительно к другим периодам развития науки этопредставление оказывается не всегда справедливым. Исторически научное знаниевступало в самые различные — и порой весьма неожиданные — отношения смифологической, религиозной и художественной формами сознания. Так, перемещениематематических исследований из сферы практически-прикладной в сферуфилософско-теоретическую, еще не отделившуюся от религиозно-мистическоговосприятия мира, послужило тем историческим фактором, благодаря которомуматематика превратилась в теоретическую науку.

      Нет ничегоудивительного в том, что мыслители, впервые попытавшиеся не просто техническиоперировать с числами (т.е. вычислять), но понять саму сущность числа, сущностьмножества и характер отношений различных множеств друг к другу, решали этузадачу первоначально в форме объяснения всей структуры мироздания с помощьючисла как первоначала. Прежде чем появилась математика как теоретическаясистема, возникло учение о числе как некотором божественном начале мира, и это,казалось бы, не математическое, а философско-теоретическое учение сыграло рольпосредника между древней восточной математикой как собранием образцов для решенияотдельных практических задач и древнегреческой математикой как системойположений, строго связанных между собой с помощью доказательства. Вот почемунам кажется неправомерной попытка некоторых историков науки принципиальноотделить пифагорейских математиков эпохи Платона от ранних пифагорейцев.

    Историческиеисточники свидетельствуют, что Пифагор занимался не только математикой. Так,Гераклит упрекает его в «многознании»: «Пифагор, сын Мнесарха,предался исследованию больше всех людей и, выбрав для себя эти сочинения,составил себе (из них) свою мудрость: многознание и обман». Помимо ученияо бессмертии души, ее божественной природе и ее перевоплощениях, Пифагор учил отом, что все в мире есть число, занимался исследованием числовых отношений какв чистом виде, так и применительно к музыкальной гармонии, которая, попреданию, именно им была открыта. Ему, видимо, принадлежит также учение обеспредельном и пределе и представление о беспредельном как четном, а о пределе- как нечетном числе.

     С представлением опротивоположности предела и беспредельного связана также космология раннихпифагорейцев, согласно которой мир вдыхает в себя окружающую его пустоту итаким образом в нем возникает множественность вещей. Число, т.е. множествоединиц, возникает тоже из соединения предела и беспредельного. Мир,следовательно, мыслится здесь как нечто завершенное, замкнутое (предел), аокружающая его пустота — как нечто аморфное,неопределенное, лишенное границ — беспредельное. Противоположность «предел- беспредельное» первоначально была близка к таким мифологическимпротивоположностям, носящим ценностно-символический характер, как свет — тьма,доброе — злое, чистое — нечистое и т.д. Из этих противоположностей строится всесуществующее, и само число рассматривается тоже как состоящее изпротивоположностей — чета и нечета. Как сообщает Аристотель, «элементамичисла они ( пифагорейцы) считают чет и нечет, из коих первый являетсянеопределенным, а второй определенным; единое состоит у них из того и другого — оно является и четным и нечетным, число <образуется> из единого, а<различные> числа, как было сказано, это — вся вселенная».

     В пифагорейскомсоюзе первоначально уделялось много внимания числовой символике. Так, к ужеранее найденным семеркам — семь элементов, семь сфер вселенной, семь частейтела, семь возрастов человека, семь времен года и т.д. — пифагорейцы прибавилисемь музыкальных тонов и семь планет. Однако уже первые операции над числамипривели к тому, что семерка уступила место десятке. Десятка «рождает»- значит, в десятке уже скрыто содержится ряд важных числовых соотношений ифигур.

Новое понимание числамогло возникнуть только тогда, когда существенным стало различение чисел четныхи нечетных, первых (простых) и вторых (сложных) и когда стремление проанализироватьотношения между числами, формы их связи между собой привело к установлениюотношений прежде всего двух последовательных чисел натурального ряда, n и n +1. В этом смысле первая десятка, по убеждению пифагорейцев, уже содержит в себевсе возможные типы числовых отношений (а пифагорейцы признавали 10 видов этихотношений).

     Делая, такимобразом, первые — и решающие — шаги в создании математики как теоретическойсистемы, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали открываемые имиотношения чисел как символы некоторой божественной реальности. Согласносвидетельству Прокла (из комментариев к «Началам» Евклида), «упифагорейцев мы найдем, что одни углы посвящены одним богам, другие — другим.Так, например, поступил Филолай, посвятивший одним богам угол треугольника,другим — (угол) четырехугольника и иные (углы) иным (богам), и приписавший одини тот же (угол) нескольким богам, и одному и тому же богу несколько угловсоответственно различным силам, (находящимся) в нем»40.

Здесь нетрудно увидеть единство,в каком для сознания пифагорейцев выступали соотношения чисел и связьбожественных сил и природных стихий.

     Итак, декадасодержит в себе все виды числовых отношений, а эти отношения лежат в основе какприродных процессов, так и жизни человеческой души. Числовые отношениясоставляют самую сущность природы, и именно в этом смысле пифагорейцы говорят,что «все есть число». Поэтому познание природы возможно только черезпознание числа и числовых отношений. Платон ограничил значение числа, полагая, чтопоследнее не само выражает сущность всего существующего, а есть лишь путь кпостижению этой сущности. Число, как мы дальше увидим, Платон помещает как быпосредине между чувственным миром и миром истинно сущего. Аристотель подвергкритике пифагорейский тезис «все есть число» с другой позиции, чемПлатон. Если для пифагорейцев математика лежит в фундаменте всякого знания оприроде, то Аристотель в корне переосмысливает соотношение математики и физики,создавая направление научного исследования («научную программу»), вкорне отличное от пифагорейского.

В декаде, по убеждениюпифагорейцев, не только содержатся все возможные отношения чисел, но она являеттакже природу числа как единства предела и беспредельного. Декада — это«предел» числа, ибо, перешагнув этот предел, число вновь возвращаетсяк единице. Но поскольку можно все время выходить за пределы декады, посколькуона не кладет конца счету, то в ней присутствует и беспредельное. В этомотношении декада есть как бы модель всякого числа, числа вообще. Как мы ужеотмечали, декада пифагорейцев предстает также как священная четверица, которая,по преданию, была клятвой пифагорейцев.

Таким образом, вастрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы увидели общие числовыепропорции, гармонические соотношения, познание которых, согласно им, и естьпознание сущности и устройства мироздания. Из отрывков, которые древниесвидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что пифагорейцы уже в V в. до н.э.размышляли над вопросом о возможности познания и сформулировали положение,впоследствии ставшее кардинальным для математического естествознания, а именно:точное знание возможно лишь на основе математики. У Платона же мы находимизложение пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, атакже систематизацию различных областей математического знания, соединение их вединую систему наук.

     Аристотель сообщаетследующее: "… пифагорейцы признают одно — математическое — число, тольконе с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности состоят из этогочисла: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них это — не числа,состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они приписывают<пространственную> величину; а как получилась величина у первого единого,это, по-видимому, вызывает затруднение у них".

     Пространственныевещи у пифагорейцев состоят из чисел. А это, в свою очередь, возможно в томслучае, если, как и подчеркивает Аристотель, числа имеют некоторую величину,так что могут мыслиться занимающими пространство. И не в том смысле, что то илииное число можно изобразить в качестве геометрической фигуры — как, например, 4- это площадь квадрата со стороной, равной 2, а именно в том смысле, что самочисло, как единица, двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит,складывается из чисел.

     Но в таком случаеединицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают как телесные единицы, ине случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия, «первый объявилпифагорейские монады телесными».

При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми — это их важнейший атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началамивсего сущего. То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимыеединицы, из которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики сними Аристотеля: «То, что они не приписывают числу отдельногосуществования, устраняет много невозможных последствий; но что тела у нихсоставлены из чисел и что число здесь математическое, это — вещь невозможная.Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже> если бы этобыло допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы величины неимеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная величинаслагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком случае состоитиз <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа — это вещи; покрайней мере, математические положения они прилагают к телам, как будто теласостоят из этих чисел». В пифагорейском понимании числа, таким образом,оказываются связанными два момента: неотделенность чисел от вещей исоответственно составленность вещей из неделимых единиц – чисел.

     Связь математики и философии так же видна в рассужденияхКанта об априорности восприятия пространства и времени.

     Кант пересматривает прежнее представление о человеческойчувственности, согласно которому чувственность лишь доставляет нам многообразиеощущений, в то время как принцип единства ис-ходит из понятий разума.

     Многообразие ощущений, говорит Кант, действительно даетнам чувственное восприятие; ощущение – это содержание, материя чувственности.Но помимо того наша чувственость имеет свои до-опытные, априорные формы, вкоторые с самого начала как бы “ук-ладываются” эти ощущения, с помощью которыхощущения как бы упорядочиваются. Эти формы – пространство и время. Пространство– априорная форма внешнего чувства ( или внешнего созерцания), тогда как время– априорная форма чувства внутреннего (внутренне-го созерцания).

     Синтетические суждения могут быть априорными в томслучае, если они опираются на форму чувственности, а не на чувственный материал.А таковы, по Канту, именно суждения математики, кото-рая конструирует свойпредмет, опираясь либо на чистое созерцание пространства (геометрия), либо начистое созерцание времени (арифметика). Это не значит, конечно, что тем самымматематика не нуждается в понятиях рассудка; но из одних только понятий, безоб-ращения к интуиции, т.е. созерцанию пространства и времени, она не можетобойтись. Исходные положения геометрии, например, что прямая есть кратчайшеерасстояние между двумя точками, не могут быть получены аналитически, ибо,говорит Кант, из самого понятия прямой нельзя логически вывести признаквеличины расстояния; тут имеет место синтез разных понятий, а он не можетосновыватьься на случайном, единичном опыте, поскольку тогда математическоезна-ние не было бы всеобщим. Только чистая форма чувственности – пространство –позволяет нам, опираясь на  созерцание, в то же вре-мя получить необходимуюсвязь двух разных понятий. Мы чертим прямую линию и непосредственно видим, чтоона есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Таким образом, рассмотрениепространства и времени не как форм бытия вещей самих не себе, а как априорныхформ чувственности познающего субъекта позволяет Канту дать обоснованиеобъективной значимости идеальных конст-рукций — прежде всего конструкцийматематики. Тем самым и дается ответ на вопрос: как возможны синтетическиесуждения a priori. 

     Интересны слова Бертрана Рассела: “Я пришел к философиичерез математику, или скорей через желание найти некоторые основания дляверы в истинность математики. С ранней юности я страстно верил, что в ней можетбыть такая вещь, как знание, что сочеталось с большой трудностью в принятиимногого того, что проходит как знание. Казалось, что наилучший шанс обнаружитьбесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из аксиом Евклидабыли, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно малых, когда я егоизучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог справиться сам. Но я неимел никаких оснований сомневаться в истинности арифметики, хотя тогда я незнал, что арифметика может рассматриваться как охватывающая всю традиционнуючистую математику. В возрасте восемнадцати лет я прочел “Логику” Милля, но былглубоко разочарован его доводами для оправдания арифметики и геометрии. Я непрочел еще Юма, но мне казалось, что чистый эмпиризм (который я был расположенпринять) должен скорее привести к скептицизму, чем к подтверждению выдвигаемыхМиллем научных доктрин. В Кембридже я прочел Канта и Гегеля, так же как иЛогику” Брэдли, которая глубоко повлияла на меня. (Брэдли Фрэнсис Герберт(1846—1924) — главный представитель английского абсолютного идеализма.Критиковал традицию британского номинализма и эмпиризма, а также ассоциативнуюпсихологию. По Брэдли, в процессе познания всегда дается нечто универсальное,поэтому ориентация эмпиристов на фиксацию и обобщение изолированных фактовнесостоятельна. Объективно-идеалистическая метафизика Брэдли построена напротивопоставлении противоречивой сферы “видимости” и подлинной реальности —“Абсолюта” Для его “Принципов логики” (1883) характерно влияние гегелевскойдиалектической логики и антипсихологистская установка. Брэдли негативновоспринял новую математическую логику— прим.ред.). Несколько лет я былучеником Брэдли, но примерно в 1898 г я изменил свои взгляды в значительноймере в результате дискуссии с Д. Э. Муром Я не мог больше полагать, чтопознание оказывает влияние на то, что познается. Также я убедился всправедливости плюрализма Анализ математических утверждений склонил меня ктому, что они не могут быть объяснены даже как частичные истины, если недопускается плюрализм и реальность отношений Случай привел меня в это время кизучению Лейбница, и я пришел к заключению (впоследствии подтвержденномумастерскими исследованиями Кутюра), что большинство его характерных мнений былообязано чисто логической доктрине, что каждое суждение имеет субъект ипредикат. (Кутюра Луи (1868-1914) — французский логик, одним из первыхобративший внимание на современное значение логических идей Лейбница) Этудоктрину Лейбниц разделял со Спинозой, Гегелем и Брэдли. Мне показалось, чтоесли ее отвергнуть, то весь фундамент метафизики этих философов разрушится. Я,таким образом, вернулся к проблеме, которая вначале привела меня к философии, аименно к основаниям математики, применив к ней новую логику, разработанную восновном Пеано и Фреге, которая доказала (по крайней мере, так я считаю)значительно большую плодотворность, чем логика традиционной философии. (ПеаноДжузеппе (1858-1932) — итальянский математик, разработавший систему логическихаксиом, на основе которых должна была строиться арифметика). В первую очередь яобнаружил, что многие из прежних философских аргументов о математике(заимствованных в основном от Канта) оказались тем временем несостоятельнымиблагодаря прогрессу математики. Неевклидовы геометрии подорвали аргументациютрансцендентальной эстетики. Вейерштрасс показал, что дифференциальное иинтегральное исчисления не требуют концепции бесконечно малых, и,следовательно, все то, что было сказано философами о таких предметах, какнепрерывность пространства, времени и движения должно рассматриваться как явнаяошибка. (Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) — немецкий математик,занимавшийся логическим обоснованием математического анализа). Кантор освободилконцепцию бесконечного числа от противоречий и тем самым справился сантиномиями как Канта, так и Гегеля. Наконец, Фреге показал детально, какарифметика может быть выведена из чистой логики без привлечения каких-либоновых идей или аксиом, таким образом, опровергнув утверждение Канта, что “7 + 5- 12” является синтетическим — по крайней мере в обычной интерпретации этогоутверждения. (Кантор Георг (1845—1918) — немецкий математик, один из создателейсовременной теории множеств. Фреге Готлоб (1848—1925) — немецкий математик илогик, один из создателей логической семантики). Поскольку все эти результатыбыли получены не с помощью какого-либо героического метода, а посредствомтерпеливых детальных рассуждений, я стал думать, что философия, вероятно,заблуждалась, применяя героические средства для разрешения интеллектуальныхтрудностей, которые можно было преодолеть просто с помощью большейвнимательности и аккуратности в рассуждениях. Такой взгляд со временем всебольше и больше укреплялся и привел меня к сомнению относительно того,отличается ли философия как исследование от науки и обладает ли она своимсобственным методом, являющимся чем-то большим, чем неудачным наследиемтеологии.”

3. Соотношение математики и логики.

Чтобы правильно поставитьсам вопрос о соотношении математики и логики, необходимо, очевидно, рассмотретьего в исторической перспективе. Это обстоятельство не игнорирует и сам Б.Рассел. «Математика и логика,— пишет он,— исторически говоря, были целикомразличными занятиями. Математика обычно ассоциировалась с естествознанием,логика — с греками. Но обе развились в настоящее время: логика стала болеематематической, а математика — более логической. Следствием этого является то,что сейчас стало совсем невозможно провести разграничительную линию между ними:фактически они стали единым исследованием. Они отличаются друг от друга так же,как юноша от мужчины: логика есть юность математики, а математика — зрелостьлогики».

В этом отрывке Расселсправедливо подчеркивает тесное взаимодействие между математикой и логикой впроцессе их исторического развития, выявившееся с особой силой в нашемстолетии. Именно в силу этого оказывается весьма трудным решить, какая из этих.наук генетически предшествовала другой. Многие специалисты склоняются к мысли,что математическое знание по крайней мере в полуэмпирической форме существовалозадолго до того, как были открыты правила дедуктивных рассуждений. Прежде чемгреческие геометры стали логически систематизировать результаты, найденные ихпредшественниками — египтянами, должна быжа существовать довольно развитаясовокупность математических знаний, непосредственно связанных с различнымивычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно допустить, чтобы приполучении этого знания не применялись те или иные принципы позднее возникшейлогики.

Применение логическихправил рассуждения нельзя отождествлять с обоснованием и дальнейшей разработкойэтих правил. Человек, не знакомый с логикой, может тем не менее рассуждатьправильно, т. е. приходить к истинным заключениям. Разумеется, только у грековматематика превратилась в систематизированное научное знание, сталатеоретической наукой, в которой широко использовались не только дедуктивныерассуждения, но и позднее возникший аксиоматический метод.

Все это показывает, чтогенетически логика вряд ли могла возникнуть раньше математики. Во всякомслучае, если говорить о ясно сформулированных принципах дедуктивных рассужденийи их использовании и математике, то впервые они были развиты греческимифилософами. Аристотель и стоики в значительной мере усовершенствовали исистематизировали эти принципы, так что их работа представляет скорее неначало, а завершение длительного этапа многочисленных исследований в этойобласти, восходящих еще к VI в. до н. э.

Вряд ли, однако, теснуювзаимосвязь и взаимодействие между логикой и математикой можно рассматриватькак аргумент в пользу их идентичности, или тождества. И такое доказательство ихидентичности вовсе не есть дело деталей, как в этом пытается уверить насРассел, хотя, как показала дальнейшая критика, не все эти детали являютсяубедительными и бесспорными. «… Начиная с предпосылок,— пишет он,— которыевсеми будут допускаться как принадлежащие к логике, и придя посредствомдедукции к результатам, которые с очевидностью принадлежат к математике, мынаходим, что там не имеется пункта, где может быть проведена разграничительнаялиния, с логикой слева и математикой справа».

Но как мы уже видели,такие аксиомы, как аксиома бесконечности или аксиома свободного выбора,относятся скорее к теории множеств, т. е. к математике, чем к логике. Даже самоопределение понятия числа в терминах теории классов, которое играет такуюважную роль в осуществлении программы логицизма, является в сущностиопределением в рамках теории множеств, поскольку термин класс всегда можнозаменить термином множество. Наконец, некоторые исходные понятия теориимножеств неявно используются в самом построении логических исчислений, которыеприменяются Фреге и Расселом при дедукции теорем из аксиом.

Все это показывает, что вподлинном смысле слова речь может идти не о строгой дедукции всей чистой математикииз логики, а о тесной взаимосвязи между ними в процессе математическогопознания и исследования оснований обеих наук. Впрочем, это обстоятельство вряде мест своей книги «Введение в математическую философию» и в приведенныхвыше цитатах признает, кажется, и сам Рассел.

С философской точкизрения при решении вопроса о соотношении логики и математики болеесущественными являются аргументы, относящиеся не столько к технической сторонесамих деталей дедукции математики из логики, сколько к выяснению общности иразличия их объектов исследования. Как мы подробно покажем в последней главе,предметом изучения современной математики являются различные абстрактные формыи структуры, которые обладают той особенностью, что в рамках математическогоисследования они могут рассматриваться независимо от конкретного содержанияпредметов и процессов, которым присущи эти формы и структуры. Простейшими изтаких структур являются количественные отношения и пространственные формы,которые изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшегоабстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и ихкомбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структурыоказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами,числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно инойприроды. С их помощью можно исследовать, например, логические отношения междувысказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода, как это делается вматематической логике.

При рассмотрении вопросао соотношении логики и математики нередко возникают недоразумения в силунеоднозначности употребления самого термина «логика».

Во-первых, можно говоритьо логике как науке, изучающей законы правильного мышления. В этом смысле логикапонимается как исследование структур и форм мысли и поэтому справедливоназывается формальной логикой.

Во-вторых, в рамках самойформальной логики можно выделить такую важную и доминирующую ее отрасль, кактеория дедуктивного вывода, и соответственно говорить о дедуктивной логике.

В-третьих, нередко подлогикой понимают применение математических методов для построения формальнойтеории дедуктивного вывода. Для этого обычно строятся различныеформально-логические системы, или языки, с помощью которых оказываетсявозможным точно выразить логические взаимосвязи между высказываниями в процессевывода. Поскольку при этом высказывания рассматриваются как некоторыедискретные объекты, то в принципе вполне допустимо интерпретироватьотображающие их формальные системы с помощью объектов нелогической природы.Хорошо известно, например, что исчисление высказываний интерпретируется спомощью релейно-контактных схем и других технических устройств. Этот примерпоказывает, что в данном случае речь действительно идет о применении некоторыхобщих формальных методов к логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасльисследований получила название математической логики.

В-четвертых, в рамках нетолько общей, но и математической логики можно выделить целый ряд разделов,теорий и формально-логических систем, которые исследуют разные аспекты нетолько дедуктивной теории вывода, но и тесно связанных с ней проблем, напримеропределения терминов и понятий, семантической теории значений и т. п. В этомсмысле часто говорят, например, о многозначной, модальной, вероятностной,эпистемической, нормативной и других логиках. Подобного рода не-классическиелогики анализируют такие типы логического вывода, в котором высказыванияхарактеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются истина иложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например возможность инеобходимость, степень подтверждения, или вероятность и другие. В настоящеевремя исследования по неклассическим логикам получили заметный размах в связи спотребностями не только специальных наук, но и философии, в силу чего возниклодаже особое направление под названием философской логики.

Какую же логику имеют ввиду Рассел и его последователи, когда говорят о дедукции из нее чистойматематики?

Как мы уже видели, длятакой дедукции у Фреге используется формальная система «Основных законоварифметики», а у Рассела и Уайтхеда — логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят ологике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в видеформализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом случае идет ологике в четвертом значении термина «логика». При этом важно обратить вниманиена то, что в такой системе логические термины и принципы строго не отделены отматематических, а иногда отдельные принципы вроде аксиомы бесконечности исвободного выбора без какой-либо аргументации объявляются логическими, хотябольшинство математиков относит их к теории множеств, а следовательно, кматематике.

Если бы логицисты подлогикой понимали математическую логику в собственном смысле этого слова, т. е,подразумевали под ней применение математических методов к логике, чтосоответствует третьему значению термина «логика» в вышеприведеннойклассификации, тогда было бы невозможно вывести из нее чистую математику. Ктому же при таком понимании следовало скорее рассматривать саму логику или покрайней мере ее формально-логические системы как часть математики, кав науки обабстрактных структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалистыи интуиционисты.

Таким образом,несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г. Фреге и Б. Расселом наранней стадии эволюции этого направления, подтверждается не только чистонаучными, логико-математическими аргументами, но более общими, философскимисоображениями. Вот почему логицизм в той форме, в какой он был сформулирован Б.Расселом и который часто называют радикальным, в настоящее время утратилпрежнюю популярность.

В 60-е годы известныйамериканский логик и математик Алонзо Чёрч на Стэнфордском конгрессе по логике,методологии и философии науки предложил новый вариант логицизма, который можноназвать умеренным логицизмом". Радикальный логицизм, по мнению Чёрча,характеризует отношение между логикой и математикой, исходя из двух основныхпринципов:

(1) все математическиепонятия могут быть определены в терминах чисто логических понятий или, какпредпочитает говорить Чёрч, «математический словарь есть

часть логическогословаря»;

(2) все математическиепредложения (аксиомы, постулаты) могут быть выведены из чисто логическихзаконов посредством использования чисто логических способов рассуждения.

Чёрч считает, что второйпринцип радикального логицизма оказался несостоятельным и поэтому математикунельзя рассматривать буквально как часть логики. Что касается первого принципа,то он склоняется к мнению, что утверждение о том, что математический словарьесть часть логического словаря, подтверждается всем ходом исследований пооснованиям математики. Такое заявление, хотя и не говорит о том, что математикабуквально составляет часть логики, но оно устанавливает первичность логики поотношению к математике в смысле предшествования. Это значит, что никакойматематический термин, утверждение и доказательство не могут быть осмысленными,если не будут осмысленны соответствующие логические термины. Поскольку обратноене имеет места, то в строгом смысле здесь можно говорить о первичности логикипо отношению к математике только в смысле обоснования, т. е. логика необходимадля построения математики.

Что же касается заявленияумеренного логицизма о том, что математический словарь составляет частьлогического словаря, то обоснованность его зависит от ответа на главный вопрос:определимо ли понятие множества (или класса) и некоторые тесно связанные с нимтеоретико-множественные понятия в чисто логических терминах? Рассел и егопоследователи считают понятие множества понятием логики и соответственно этомурассматривают теоретико-множественные аксиомы, в том числе и аксиомубесконечности, как логические аксиомы. Сторонники умеренного логицизма, хотя иотвергают полное отождествление теории множеств в его аксиоматической форме слогистической системой, тем не менее молчаливо допускают экспликацию понятиямножества в чисто логических терминах. Некоторые вообще считают этот вопросчисто терминологическим. Большинство же творчески работающих математиков испециалистов по ее основаниям выступают против растворения теории множеств влогике. Конечно, подобного рода вопросы нельзя решать путем подсчета голосов.

Какие же аргументы можновыдвинуть в пользу того, что понятие множества, хотя и является весьма общим иабстрактным, но тем не менее специфично именно для математики, а не для логики?

Во-первых, понятиемножества, как и формализующие его аксиоматические системы, можноинтерпретировать с помощью объектов самой различной природы. Логические жетермины во всех интерпретациях имеют одно и то же значение. Это, разумеется, незначит, что эти термины и логические связки, такие, как отрицание, конъюнкция ит. п., во всех логических системах, например классической и конструктивной,понимаются одинаково. Но если мы выбрали определенную логику, то ее термины,операции и правила вывода должны пониматься всегда одинаково, независимо отинтерпретации других математических терминов.

Во-вторых, понятиемножества в прежнем, канторов-ском, смысле, как мы видели, оказалось затронутымпарадоксами. Поэтому в настоящее время оно уточняется с помощью различныхаксиоматических систем. Эти системы часто исходят из разных задач и оказываютсявзаимно несовместимыми. К тому же результаты Гёделя и П. Коэна свидетельствуюто возможности существования несовместимых друг с другом теорий множеств врамках одной и той же аксиоматизации. Если мы согласимся включить такиенесовместимые друг с другом аксиоматические теории множеств в состав логики,тогда последняя превратится в весьма запутанную и внутренне противоречивуюнауку.

В-третьих, противвключения теории множеств и тем более всей чистой математики в состав логикисвидетельствует и тот факт, что некоторые основные арифметические итеоретико-множественные понятия используются, хотя и неявно, уже в самомпроцессе построения формально-логических систем, которые впоследствииприменяются для дедукции математики из логики. В самом деле, уже в исчислениивысказываний мы апеллируем к счетно бесконечному списку пропозициональныхпеременных и других неопределяемых символов исчисления. Все это показывает, чтохотя логика и необходима для построения чистой математики, но, с другойстороны, она уже предполагает некоторые фундаментальные понятия арифметики итеории множеств.

В-четвертых, сам характерлогики как нормативного мышления предполагает, что эти мыслительные операциидолжны совершаться над некоторыми внелогическими объектами. Это обстоятельствосправедливо подчеркивают как формалисты, так и интуиционисты. УтверждениеГильберта о том, что математика не может целиком основываться на логике. Вкачестве предварительного условия для применения логики он считает необходимымналичие определенных внелогических конкретных объектов. По мнению Карри,сказать, что математика есть логика,— это значит заменить один неопределенныйтермин другим.

Интуиционисты считаютлогику частью математики, а ее принципы наиболее общими теоремами математики.«Логические теоремы,— подчеркивает Гейтинг,— являются математическимитеоремами. Логика не может служить основанием математики, напротив, онапредставляет концептуально усложненную и утонченную часть математики».Отношение между логикой и математикой, по его мнению, примерно таково же, какотношение между частными и общими утверждениями математики. Нo не всякое общее утверждениематематики относится к логике.

Дискуссии, которыевозникают в связи с отношением логики и математики, очень часто происходятиз-за неопределенности исходных терминов. Не составляют здесь исключения иформально-логические системы, с помощью которых обычно пытаются осуществитьдедукцию математики из логики. Действительно, в такой формализованной системе,как «Principia Mathematica», чисто логическая часть не отделенаот математической. Естественно поэтому Рассел мог бросить вызов и заявить:«Если существуют люди, которые не допускают тождества логики и математики, мыможем поспорить с ними и попросить их указать нам, в каком пункте впоследовательности определений и дедукций «Principia Mathematica» кончается логика и начинаетсяматематика» ".

Конечно, в такой ситуацииспор окажется беспредметным. Но, как показал Д. А. Бочвар, в формализованнойсистеме типа «Principia Mathematica» всегда можно выделить чистологическую часть и специфическую, математическую. Он справедливо отмечает, чтов логике мы никогда не имеем дела с индивидуальными предикатами, такими, как«быть числом», «конгруэнтный», «параллельный» и т. п. Когда логическая системавключается в состав более обширной формализованной системы, в которой наряду слогическими терминами и предикатами встречаются математические, пусть даженеявно, то это не приводит к поглощению математики логикой.

Формализованнаяаксиоматическая теория математики, как и любой другой науки, обязательносодержит индивидуальные термины и предикаты специальной теории. Без них не былобы смысла говорить о применении логики к другим наукам. Не случайно поэтому приформализации математики говорят о логико-математических системах. «Математика,—резюмирует Д. А. Бочвар,— не выводима из формальной логики, ибо для построенияматематики необходимы аксиомы, устанавливающие определенные факты областиобъектов и прежде всего — существование в последней определенных объектов. Нотакие аксиомы обладают уже внелогической природой».

Все вышесказанное, на нашвзгляд, достаточно убедительно показывает, что о приоритете логики надматематикой нельзя говорить не только в генетическом отношении, т. е. в смыслеисторического возникновения этих наук, но и в смысле обоснования математикивсецело и исключительно с помощью понятий и принципов логики. Можно поэтомуприсоединиться к мнению американского философа Г. Мельберга, который считает,что между математическими и логическими понятиями существует симметрическоеотношение, которое не может привести к установлению ассимметрического отношенияприоритета логики над математикой ". В связи с этим он выдвигает взаменрадикального и умеренного логицизма логицизм плюралистический.

Такой логицизм в сущностивесьма далек от тех амбициозных программ, которые пытались осуществитьоснователи этого направления обоснования математики. Пожалуй, в немсформулированы те рациональные идеи, которые остаются в результате критическогоанализа логицистической программы. Мельберг называет его плюралистическимпотому, что он не дает никакой монополии какой-либо частной системе логики,будь то классическая двухзначная логика, или логика конструктивная, иликакая-либо иная неклассическая логика.

Плюралистический логицизмособо подчеркивает роль логических законов при доказательстве теорем ваксиоматических системах математики. «Особенность математического познания,которую выделяет плюралистический логицизм,— пишет Мельберг,— состоит в том,что он подчеркивает, что для каждой математической теории существует некотораялогика, способная обеспечить необходимые средства дедукции всех существенныхтеорем этой теории, без обращения к какой-либо экстралогической интуиции». Тотфакт, что логика играет решающую роль в развертывании математической теории, поего мнению, служит основанием для того, чтобы рассматривать эту концепцию какверсию логицизма.

4. Заключение.

    Анализируя работы Зенона, Пифагора, Платона, Канта,Рассела и других, можно сделать вывод о том, какой большой вклад внесла математикав философию. Мыслители не просто оперировали с числами, они пытались датьобъяснение всей структуры мироздания с помощью числа как первоначала. Ониуделяли много внимания числовой символике. Многие философы ассоциировали числас различными понятиями мира. Поэтому благодаря пониманию числовых отношенийприходили к разгадке мироздания.

    Об одностороннем влиянии математики на логику говоритьтрудно, это спорный вопрос. На протяжении многих веков шли споры об этом. 

6.  Литература.

1.  Гайденко П. Историяновоевропейской философии в ее связи с наукой.

2.  Гайденко П. История греческойфилософии в ее связи с наукой.

3.  Рузавин Г.И. Философские проблемыоснований математики.

4.  Ивин А.А.Логика.

5.  Рассел Б. Логическийатомизм.