Реферат: Экзамен по алгебре 9 класс, демо-версия 2007, решения заданий

Решения заданий демонстрационной версии

экзаменационной работы по алгебре 2007 г.

Часть 1

Задания с выбором ответа

Задание 1, часть 1.

Для каждого выражения из первого столбца укажите равное ему выражение из второго столбца, вписав соответствующую букву в клетку таблицы:

1) />

а) b14

б) b12

2) (b4b3)2

в) b10

3) b4(b3)2

г)b9

Ответ:

1)

2)

3)

б

а

в

Задание 4, часть 1.

Укажите выражение, которое имеет смысл при любых значениях переменной m.

1) />2) />3) />4) />

//Ответ: 4

//Решение. Выражение />не содержит деления на переменную.

Задание 5, часть 1.

Автомобиль расходует aлитров бензина на 100 км пути. Сколько литров бензина потребуется, чтобы проехать 37 км?

1) />л 2) />л 3) />л 4) />л

//Ответ: 1

//Решение: Обозначим искомую величину буквой х. Имеем пропорцию />.

Другой способ: На 1 км пути расходуется />л бензина, значит, на 37 км расходуется />л бензина.

Задание 6, часть 1.

Расстояние от Венеры – одной из планет Солнечной системы, до Солнца равно 108 млн. км. Как эта величина записывается в стандартном виде?

1) 1,08∙106км 2) 1,08∙107км 3) 1,08∙108км 4) 1,08∙109км

//Ответ: 3

//Решение: 108 млн. км =/>км = />км.

Задание 7, часть 1.

Результаты районной контрольной работы по алгебре в 9 классе представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 320 девятиклассников?

/>

1) 5 учащихся 2) 16 учащихся 3) 64 учащихся 4) 160 учащихся

//Ответ: 2

//Решение: />(уч.).

Задание 8, часть 1.

На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что его длина равна 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь рулон при этом условии?

1) 10 м 2) 9,98 м 3) 10,04 м 4) 9,92 м

//Ответ: 4

//Решение: l– длина обоев в рулоне, />; 9,92 < 9,95.

Задание 9, часть 1.

Какое из уравнений имеет два различных корня?

1) />

2) />

3) />

4) />

//Ответ: 3

//Решение: 1)/>2)/>3) />.

Задание 11, часть 1.

Из прямоугольного листа картона, размеры которого 56 см и 32 см, надо сделать коробку без крышки. Для этого по углам листа вырезают одинаковые квадраты и загибают края вверх. Чему должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы дно коробки имело площадь 640 см2?

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна хсм. Какое уравнение соответствует условию задачи?

/>

1) (56 – х)(32 – х) = 640

2) 56∙(32 – 2х) = 640

3) (56 – 2х)(32 – 2х) = 640

4) 56∙32 – 4х2= 640

//Ответ: 2

//Решение: Если хсм – длина стороны вырезаемого квадрата, то дно коробки имеет размеры />см и />см. Площадь дна равна />см2. Имеем уравнение: />.

Задание 13, часть 1.

О числах аи сизвестно, что а> c. Какое из следующих неравенств неверно?

1) 3а> 3c2) –2а> –2c3) />4) 1 – а< 1 – с

//Ответ:2

//Решение: Неравенство 3а> 3c— верно, неравенство–2а> –2c– неверно, так как если а> c, то –2а< –2c.

--PAGE_BREAK--Задание 14, часть 1.

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите ее.

1) 1; 2; 3; 5… 2) 1; 2; 4; 8… 3) 1; 3; 5; 7… 4) />...

//Ответ:3

//Решение: В случае В имеем />.

Задание 15, часть 1.

На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

/>

1) у= />2) у= />3) у= />4) у= />

//Ответ:3

//Решение. Возможны различные способы рассуждения. Например, следующий.

Так как ветви параболы направлены вверх, то она является графиком одной из двух функций – А или В. Графики обеих функций пересекают ось у в точке (0;–3), поэтому надо найти другой способ распознавания. Найдем нули функций. В случае А нулями функции являются числа –3 и 1, в случае В – числа 3 и –1. Следовательно, на рисунке изображен график функции у= />.

Выбрать из этих двух формул можно также непосредственной подстановкой в формулу абсцисс каких-либо точек графика, например, точек пересечения с осью х.

Задание 16, часть 1.

Рейсовый автобус проделал путь из города А в город В и после стоянки вернулся обратно. На рисунке изображен график его движения: по горизонтальной оси отложено время (в часах), а по вертикальной – расстояние по шоссе (в километрах), на котором находится автобус от города А. Какое из следующих утверждений неверно?

/>

1) Расстояние между городами А и В по шоссе равно 180 км.

2) Скорость автобуса на пути из А в В была меньше, чем на обратном пути.

3) Стоянка в городе В длилась 2 ч.

4) На обратный путь автобус затратил на 1 ч больше, чем на путь из А в В.

//Ответ: 2

//Решение: />км/ч; />км/ч;

но 60 км/ч >45 км/ч.

Задания с кратким ответом.

Задание 2, часть 1

Упростите выражение />.

Ответ: __________________

//Ответ: />. Варианты ответа: />; />.

//Решение: />.

Задание 3, часть 1

Упростите выражение />.

Ответ:____________________

//Ответ: />. Варианты ответа: 0,5.

//Решение:/>.

Задание 10, часть 1

Решите систему уравнений />/>.

Ответ: __________________

//Ответ: (3;1). Варианты ответа: />; />

//Решение: />

у= 1; х= 4у– 1 = 3.

Задание 12, часть 1

Решите неравенство х– 1 ≤ 3х+ 2.

Ответ: _____________________

//Ответ: x≥ –1,5. Варианты ответов: [–1,5; +∞); х/>[–1,5; +∞).

//Решение: />.

Часть 2

Задания с развернутым ответом.

Эти задания направлены на проверку овладения материалом курса на повышенных уровнях. Они выполняются на отдельном листе с записью хода решения. Условия заданий не переписываются, рисунки не перечерчиваются.

Требования к выполнению заданий повышенного уровня заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным, содержать рассмотрение всех возможных случаев (если таковые имеются), из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Никаких специальных требований к подробности пояснений, оформлению решения не выдвигается.

Общие критерии оценки заданий второй части экзаменационной работы таковы. За полное и правильное выполнение задания учащемуся засчитывается балл, указанный в тексте работы для этого задания. Если в решении допущена ошибка или описка, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного. Другие случаи критериями не предусматриваются. Это объясняется трактовкой качественных свойств, на измерение которых направлена вторая часть работы: умение выполнять задания комплексного характера, способность к интеграции знаний из различных тем курса алгебры. Эти качества проявляются, только если учащийся обнаруживает умение решить задачу предложенного уровня и содержания.

В описании критериев оценки выполнения конкретных заданий содержатся примеры ошибок/описок, позволяющих засчитать балл, на 1 меньший указанного. Эти примеры, однако, не исчерпывают всех возможных ошибок такого рода. При проверке работ предметной комиссии придется в ряде случаев принимать решение, как квалифицировать тот или иной недочет учащегося.

Задание 1, часть 2

Постройте график функции />. При каких значениях аргумента выполняется неравенство />?

//Ответ: график изображен на рисунке. Неравенство />выполняется при />.

/>

//Решение. График функции />– прямая. Найдем координаты точек пересечения этой прямой с осями координат:

если х= 0, то у= 1,5; если у= 0, то х= 3. Точки пересечения с осями: (0; 1,5), (3; 0). По графику находим, что неравенство />выполняется при />.

Другие возможные решения.

График может быть построен по каким-либо другим точкам.

Ответ на вопрос может быть получен решением двойного неравенства />: />, />, />. (Двойное неравенство может быть заменено системой двух линейных неравенств).

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

2

Верно построен график и дан правильный ответ на вопрос.

1

При правильно построенном графике допущена ошибка при ответе на вопрос, или ответ на вопрос отсутствует.

Неверно построенный график и другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий.

При правильно построенном графике отсутствие ссылки на то, что график – прямая, или указания на рисунке координат точек графика не должны служить основанием для снижения выставляемого балла.

    продолжение

--PAGE_BREAK--Задание 2, часть 2

Упростите выражение />.

//Ответ: 4.

//Решение.

1) Корни квадратного трехчлена m2+ m– 2: m1= –2, m2= 1. Значит, m2+ m– 2 = (m+ 2)(m– 1). />=/>.

2) />.

Другие возможные решения.

Деление на дробь заменяется умножением на целое выражение и далее используется распределительное свойство:

/>=/>.

В ходе упрощения не использована возможность упрощения дроби />:

/>=/>.

Кроме того, что не сокращена дробь />, может быть не использована также возможность вынесения за скобки множителя m+ 2 при преобразовании числителя.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

4

При выбранном способе решения все преобразования выполнены верно и получен верный ответ

3

Допущена однаошибка: или при преобразовании числителя в ходе упрощения разности в скобках (при правильно найденном общем знаменателе), или неверно выполнено вынесение за скобки множителя в выражении (2m– 2)2, но с учетом полученного результата решение доведено до конца.

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий.

Нерациональное решение при верно выполненных преобразованиях не может служить основанием для снижения балла.

Задание 3, часть 2

Существует ли геометрическая прогрессия, в которой b2= –6, b5= 48 и b7= 192?

//Ответ: существует.

//Решение.

Если в геометрической прогрессии b2= –6 и b5= 48, то />и q= –2. При этом условии b7= b5∙ q2= 48∙4 = 192, т.е. такая прогрессия существует.

Другое возможное решение.

Из системы уравнений />находим, что b1= 3, q= –2. Далее: b7= b1∙ q6= 3∙(–2)6= 192.

Возможны также некоторые вариации первого и второго способов. Например, для первого способа нахождение qиз условий b5= 48 и b7= 192 и затем проверка условия b2= –6.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

4

Правильно найден способ решения и получен верный ответ.

3

При правильном ходе решения и верном использовании формул допущена техническая ошибка в подсчетах (например, вычислительная, или ошибка в знаке), ответ дан с учетом полученного результата.

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям

Задание 4, часть 2.

При каких положительных значениях кпрямая у= kх– 7 пересекает параболу у= х2+ 2х– 3 в двух точках?

//Ответ: при к> 6.

//Решение.

Если прямая у= kх– 7 пересекает параболу у= х2+ 2х– 3 в двух точках, то уравнение kх– 7 = х2+ 2х– 3 имеет два корня. После преобразований получим уравнение х2+ (2 – k)х+ 4 = 0. Выясним, при каких kвыполняется неравенство D> 0:

D= (2 – k)2– 16 = k2– 4k– 12; k1= –2, k2= 6. Значит, D> 0 при k< –2 и k> 6.

Учитывая условие k> 0, находим, что k> 6.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

6

Найден правильный способ решения, все его шаги выполнены верно, получен правильный ответ

5

Или допущена одна ошибка технического характера (при преобразовании уравнения, упрощении дискриминанта), но с учетом полученного результата решение доведено до конца, или не учтено условие к> 0.

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.

Комментарий.

Ошибки при составлениидискриминанта квадратного уравнения, при решенииквадратного неравенства (с учетом найденных корней) относятся к числу существенных. При их наличии решение не может быть засчитано.

Задание 5, часть 2

Автомобиль едет сначала 2 минуты с горы, а затем 6 минут в гору. Обратный путь он проделывает за 13 минут. Во сколько раз скорость автомобиля при движении с горы больше, чем скорость при движении в гору? (Считайте, что скорость при движении с горы (в гору) одинакова в обоих направлениях).

//Ответ: в 6 раз.

//Решение.

Пусть хкм/мин – скорость автомобиля при движении с горы, а укм/мин – при движении в гору. Тогда на пути туда он едет 2хкм с горы и 6укм в гору. Двигаясь в обратном направлении, на путь с горы он тратит />мин, а на путь в гору />мин. Получаем уравнение: />.

Введем замену />. Имеем />, т.е. />.

Корни уравнения: t1= 6; t2= />; t2не подходит по смыслу, т.к. />. Значит, />.

Другое возможное решение.

При решении уравнения />использована другая замена: />. В этом случае далее решается уравнение />, корни которого t1= 2; t2= />; t1не подходит по смыслу, т.к. />. Значит, />, т.е. хв 6 раз больше у.

Баллы

Критерии оценки выполнения задания

6

Найден правильный путь решения, все его этапы выполнены верно, получен правильный ответ

5

При правильном ходе решения допущена одна из следующих ошибок: даны два ответа, т.е. не отброшен корень квадратного уравнения, не подходящий по смыслу; или при втором способе отброшен корень t2и получен ответ: в 2 раза.

Другие случаи, не соответствующие указанным критериям.