Реферат: Отделение Прикладной Математики и Информатики программа дисциплины

Правительство Российской Федерации


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования


"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет бизнес-информатики Отделение Прикладной Математики и Информатики

Программа дисциплины


«Избранные модели теории полезности»


для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»

подготовки магистра

Авторы:

Ф.Т.Алескеров, И.А. Зутлер, М. Грабиш

^ Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры
Прикладная математика и информатика высшей математики

на факультете экономики


Председатель Зав. кафедрой

________________ С.О.Кузнецов _____________ Ф.Т.Алескеров

Утверждена УС факультета

бизнес-информатики

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________20__ г.

Москва

^ 1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины «Избранные модели теории полезности» устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика», обучающихся по магистерской программе «Математическое моделирование», изучающих дисциплину «Избранные модели теории полезности».

Программа разработана в соответствии с:

Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра, утвержденным 5 августа 2011г.



^ 2. Цели освоения дисциплины
Целью дисциплины «Избранные модели теории полезности» является освоения студентами некоторых глав теории полезности. В первой части курса рассматриваются классические модели теории полезности и пороговые модели максимизации полезности. В рамках курса будут описаны основные виды бинарных отношений, модели выбора с учетом предпочтений, также будут описаны неклассические модели максимизации полезности, основанные на пороговых функциях. Кроме того, в данном курсе вводятся и изучаются новые классы бинарных отношений.

Классическая теория ожидаемой полезности в аксиоматике Дж. Неймана и О, Моргенштерна наиболее часто используется для анализа действий индивидуумов и моделирования социально-экономических процессов. Вместе с тем существует достаточное количество примеров (парадоксов выбора) в которых данная модель перестает работать. На фоне наиболее известных парадоксов нарушения классической модели полезностей будет сделан краткий экскурс в модели субъективной ожидаемой полезности1, модели сравнительной полезности и интенсивности предпочтений, кумулятивной теории проспектов, теорию вероятностных предпочтений и Марковский процесса выбора перебором. Вторая часть курса посвящена играм с ограниченной кооперацией и читается профессором М. Грабишем из Университета Париж-I Пантеон Сорбонна.

В результате курса студенты смогут более глубоко самостоятельно анализировать и выявлять психологические аспекты выбора, необходимые для моделирования экономических процессов.

^ 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:


Знать: классические модели теории полезности и пороговые модели максимизации полезности, виды бинарных отношений, модели сравнительной полезности и теории кумулятивных проспектов, теоретические основы современных моделей в указанной области, ограничения классической теории полезностей.


Уметь: использовать типовые методы оценки полезности для принятия решений, строить модели выбора с учетом предпочтений, пользоваться моделями выбора наилучших вариантов для формализации и решения различных задач в области социальных и политических процессов, анализировать психологию выбора с целью построения адекватной модели.



Владеть: терминологией и методами классической теории полезности, теории ожидаемой полезности, теории сравнительной полезности, теории игр с ограниченной кооперацией..



В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция

Код по ФГОС/ НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

владение культурой

мышления, способность

к обобщению, анализу,

восприятию

информации, постановке

цели и выбору путей её

достижения

ОК-1

умеет дать формально-

логическое описание и

построить математическую

модель ситуации выбора,

умеет применить различные

критерии для оценки

моделируемой реальности

использование

формально-логических

доказательств, практика

анализа реальных

ситуаций с помощью

построения их

математических моделей

способность

анализировать

социально-значимые

проблемы и процессы,

происходящие в

обществе, и

прогнозировать

возможное их развитие в

будущем

ОК-4

умеет дать формально-

логическое описание и

построить математическую

модель ситуации выбора,

умеет применить различные

критерии для оценки

моделируемой реальности

использование

формально-логических

доказательств, практика

анализа реальных

ситуаций с помощью

построения их

математических моделей

способность логически

верно, аргументировано

и ясно строить устную и

письменную речь

ОК-6

умеет дать формально-

логическое описание и

построить математическую

модель ситуации выбора,

умеет применить различные

критерии для оценки

моделируемой реальност

использование

формально-логических

доказательств

владение одним из

иностранных языков на

уровне не ниже

разговорного

ОК-14

знает английскую

терминологию, умеет

прочесть английский текст

научной статьи по данной

предметной области

чтение специальной

литература на английском

языке, знакомство с

международной

(английской)

терминологией данной

предметной области



^ 4. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку магистров по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика».


Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

Теория вероятностей

Математический анализ

Дискретная математика

Теория игр


Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

необходимо знать основы теории вероятностей, теории множеств и теории игр

владеть базовой терминологией и методами указанных дисциплин.



^ 5. Тематический план учебной дисциплины



№



Название раздела



Всего часов



Аудиторные часы

Самостоятельная работа



Лекции

Сем. и практ. занятия

1 модуль

1

Предпочтения и полезность – Классические модели.

Максимизация полезности с постоянным порогом или с порогом, зависящим от одной альтернативы

18

4

4

10

2

Максимизация полезности с порогом, зависящим от обеих альтернатив. Максимизация полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив

18

4

4

10

3

Теория ожидаемой полезности.

9

2

2

5

4

Теория сравнительной полезности.

9

2

2

5

5

Выбор последовательными сравнениями.

9

2

2

5

6

Кумулятивная теория проспектов.

9

2

2

5




Всего

72

16

16

40

2 модуль

1

Basic notions of cooperative game theory and mathematical prerequisites

9

2

2

5

2

The core of games with restricted cooperation

9

2

2

5

3

The Shapley value for games on regular set systems. How to make the core bounded for games with restricted cooperation

9

2

2

5

4

The Choquet integral for capacities defined on set systems

9

2

2

5




Всего

36

8

8

20




Итого:

108

24

24

60



^ 6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля

Форма контроля

1 год

Кафедра

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

*













Письменная работа, 80 минут

Домашнее задание




*













Промежу­точный

Зачет

*













Письменная работа, 80 минут

Итоговый

Зачет




*










Письменная работа, 80 минут



^ 7. Содержание дисциплины

1 модуль


Лекция 1. Предпочтения и полезность – Классические модели

Бинарные отношения и предпочтения. Бинарные отношения и функции полезности. Важнейшие классы бинарных отношений: линейные порядки, слабые порядки, частичные порядки.

Теорема представления для конечного множества альтернатив. Теорема представления для бесконечного множества альтернатив. Теорема Кантора.

Неотрицательные пороговые функции: случай интервального выбора. Интервальные порядки и полупорядки. Свойства интервальных порядков и полупорядков. Максимальные антицепи в интервальных порядках.

Произвольные пороговые функции и бипорядки. Теорема о представлении интервальных порядков, полупорядков и бипорядков.

Практическое применение этих моделей.


^ Лекция 2. Максимизация полезности с порогом, зависящим от обеих альтернатив

Теорема о представлении. Пороговые функции, удовлетворяющие свойству полуметрики. Случай аддитивных пороговых функций. Мультипликативные пороговые функции и их свойства.

Мультипликативные пороговые функции – два специальных случая. Теоремы о представлении. Полупорядки и интервальные порядки, представимые через максимизацию полезности с порогами обоих специальных типов.

Четыре типа пороговых функций. Эквивалентные модели для максимизации полезности для этих типов пороговых функций. Свойства соответствующих функций выбора. Связь модели максимизации полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив, с теоремой Самуэльсона.

Вложение отношений и проблема максимизации полезности с порогом, зависящим от множества альтернатив. Слабые бипорядки и их представление. Аддитивные пороги, зависящие от множества альтернатив. Простые и простейшие полупорядки. Слабое условие Чипмана и описание простых полупорядков.

Практическое применение этих моделей.


^ Лекция 3. Теория ожидаемой полезности. Санкт-Петербургский парадокс. Аксиоматика Неймана-Моргенштерна. Субъективная теория полезностей. Аксиоматика Сэвиджа и Энскомбе-Ауманна. Коэффициент неприятия риска Арроу-Пратта. Нарушения принципов ожидаемой полезности: парадоксы Мэя, Алле, Эллсберга. Обратимость предпочтений.


^ Лекция 43. Теория сравнительной полезности. Аксиоматика Фишберна SSB интенсивности предпочтений. Теорема существования. Единственность максимального элемента. Обоснование парадоксов Мэя, порога чувствительности и Алле. Модель сравнительной полезности. Вероятностные предпочтения.


^ Лекция 5. Выбор последовательными сравнениями. Аксиоматика марковского процесса выбора. Свойства выбора - “наследования” (Heredity), “согласия” (Concordance) и “отбрасывания” (Outcast). Вводные элементы бескоалиционной теории игр, теории массового обслуживания.


^ Лекция 6. Кумулятивная теория проспектов. Аксиоматика кумулятивной теории проспектов. Интеграл Шоке, сведение к интегралу Римана. Вероятностное расширение. Разрешение парадокса Алле,


2 модуль


Лекция 1. Basic notions of cooperative game theory and mathematical prerequisites

cooperative games: basic definitions; convex games

the core of a game; classical results on the structure of the core; the Weber set; balanced games

The Shapley value

basic notions on partially ordered sets (posets); main families of posets: lattices, regular set systems, weakly union-closed systems; relations between these families


Лекция 2. The core of games with restricted cooperation

basic notions on convex polyhedra

general results for arbitrary set systems: balancedness, vertices and rays of the core

the case of distributive lattices

the case of regular set systems

the case of weakly union-closed set systems: the positive core and Monge extensions


Лекция 3. The Shapley value for games on regular set systems. How to make the core bounded for games with restricted cooperation

the general idea: add e_ciency constraints (notion of restricted core)

the case of distributive lattices; the Weber set

the general case


Лекция 4. The Choquet integral for capacities de_ned on set systems

prerequisites on the Choquet integral: definition, characterization results, Möbius transform, belief functions

upper integrals

the Monge algorithm

the case of weakly union-closed systems

supermodularity and super additivity



^ 8. Образовательные технологии 8.1. Методические рекомендации преподавателю

Практические занятия по теме «Выбор последовательными сравнениями» целесообразно частично проводить в компьютерном классе.

^ 8.2. Методические указания студентам

Для успешного изучения дисциплины рекомендуется перед каждым семинарским занятием повторить теоретический материал по конспекту лекций, а после активной работы на занятии – выполнять полученные задания (решать предложенные задачи, изучать рекомендованную литературу).

^ 9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 9.1. Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

1. Найти функцию полезности, если АBCD и

B~1/3А+2/3D,

В~1/4A+3/4C.


2. Пусть функция полезности ЛПР есть и(х) = 1п(1 + х), уровень его капитала w. Ему предлагают лотерею, в которой выигрыш х и проигрыш х имеют вероятность соответственно р и 1 - р. Найдите х, при котором такая лотерея ему безразлична. Каков ответ при p = 0,5?


3. Интенсивность обслуживания заявки прибором μ. То есть обслуживание заявки завершится за время Δt с вероятностью μΔt.

Какова вероятность того, что за время Δt завершится обслуживание на одном приборе из пяти?


4. В магазине имеется три консультанта. Интенсивность прихода клиентов - 10 клиентов в час, среднее время консультирования 15 минут. Если все консультанты заняты, клиент уходит.

Написать систему дифференциальных уравнений, описывающих систему (при t=0 система пуста).

Найти стационарное состояние системы.

Найти вероятность того, что пришедший клиент будет потерян (в стационарном состоянии).



^ 10. Порядок формирования оценок по дисциплине

Итоговая оценка K формируется как взвешенная сумма:

K = 0,2 Текущий контроль + 0,8 Итоговый контроль.


10-балльная итоговая оценка округляются до целого числа баллов. При округлении учитывается работа студента на семинарах. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

0 ≤ К ≤ 3 - неудовлетворительно,

4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,

6 ≤ К ≤ 7 - хорошо,

8 ≤ К ≤10 -отлично.


^ Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системам


По десятибалльной шкале

По пятибалльной шкале

очень плохо

плохо

неудовлетворительно


неудовлетворительно – 2

удовлетворительно

весьма удовлетворительно

удовлетворительно – 3


хорошо

очень хорошо

Хорошо – 4


почти отлично

отлично

блестяще

отлично – 5




^ 11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Базовый учебник
Aizerman M. and F.Aleskerov (1995) 'Theory of choice', Elsevier, Amsterdam

Aleskerov F., Bouyssou D., Monjardet B. (2007) "Utility Maximization, Choice and Preference", Springer, Berlin

Льюс Р. Д., Райфа Х. (1961), Игры и решения. Москва, «Иностранная литература».

http://reslib.com/book/Igri_i_resheniya__Vvedenie_i_kriticheskij_obzor#1

M. Grabisch. Ensuring the boundedness of the core of games with restricted cooperation. Annals of Operations Research.

M. Grabisch. The core of games on ordered structures and graphs. 4OR, 7:207-238, 2009. DOI: 10.1007/s10288-009-0109-9.



^ Основная литература
Плаус С. (1998) Психология оценки и принятия решений / М.: “Филинъ”.

Нейман фон Дж., Моргенштерн О.(1970). Теория игр и экономическое поведение.

F. J. Anscombe; R. J. Aumann . (1963), A Definition of Subjective Probability The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 34, No. 1pp. 199-205.

Fishburn P.C. (1982) Nontransitive Measurable Utility // J. of Mathematical Psychology. 1982. No. 26, p. 3l–67.

Fishburn P.C. (1984) Dominance in SSB Utility Theory // J. of economic theory. No. 34, p. 130–148.

Зутлер И.А. (2011), Выбор последовательными сравнениями как непрерывное марковское блуждание, Автоматика и Телемеханика

Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Высшая школа, 1999.

Kahneman D., Tversky А. (1979), Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk, Econometrica 47, 263-291.

Tversky A, Kahneman D, (1992) “Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty,” Journal of Risk and Uncertainty 5, 297–323.

M. Grabisch and L. J. Xie. The restricted core of games on distributive lattices: how to share benefits in a hierarchy. Mathematical Methods of Operations Research, 73:189-208, 2011.

G. Owen. Game Theory. Academic Press, 3d edition, 1995.

U. Faigle and M. Grabisch. A discrete Choquet integral for ordered systems. Fuzzy Sets and Systems, 168:3-17, 2011. DOI 10.1016/j.fss.2010.10.003.



^ Дополнительная литература
Fishburn, P. (1970) Utility Theory for Decision Making. John Wiley, New York

Halmos, P. (1974) Naïve Set Theory. Springer Verlag, Berlin

Harary, F. (1962) Graph Theory. Addison Wesley, Mass.

Kreps D. (1988) Notes on the Theory of Choice, Vestview Press, Boulder and London

Riguet, J. (1948) Relations binares, fermetures, correspondences de Galois. Bull. Soc.Math.France, v.76

Savage L,. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley, New York.

Alain CHATEAUNEUF, Michèle COHEN, Jean-Marc TALLON (2008)

Decision under risk : The classical Expected Utility Model

http://ces.univ-paris1.fr/membre/tallon/ch6rev-Anglais.pdf

Edi Karni (2005) Savages’ Subjective Expected Utility Model

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.117.541&rep=rep1&type=pdf

Tsogbadral Galaabaatar, Edi Karni (2011)

Objective and Subjective Expected Utility with Incomplete Preferences http://www.econ2.jhu.edu/people/karni/EUIncomplete.pdf

Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б. (1980), Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах. - Л.: Наука. Ленингр. отд-ие.

Данилов В.И. (2006) Лекции о неподвижной точке.

Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания.-М.: Высшая школа, 1982.

Печерский С.Л., Беляева А.А., Теория игр для экономистов, 2002.

Weibull J.W. (2002), What have we learned from evolutionary game theory so far? Resarch Institute of Industrial Economics, Working Paper №487.

Wakker P., Tversky A. (1993), An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory, Journal of Risk and Uncertainty, 7:7:147-176

Wakker P. (2010), Prospect Theory for risk and ambiguity. Cambridge university press.

Blavatskyy P. (2011), Probabilistic Subjective Expected Utility.

https://editorialexpress.com/cgi-bin/conference/download.cgi?db_name=NASM2011&paper_id=68

B. Peleg and P. Sudhöolter. Introduction to the theory of cooperative games. Kluwer Academic Publisher, 2003.

H. Peters. Game Theory: A Multilevel Approach. Springer, 2008.



Разработчики:


кафедра высшей математики

на факультете экономики ГУ-ВШЭ, профессор, д.т.н., Ф.Т. Алескеров


кафедра высшей математики

на факультете экономики ГУ-ВШЭ, доцент, к.ф.-м.н., И.А. Зутлер


Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Associate researcher Michel Grabisch



1 Subjective expected utility – некоторые понятия не имеют устойчивого русского перевода, потому в процессе курса будут использованы обозначения на языке оригинала.