Реферат: Программа дисциплины " Теория представлений групп и Алгебр Ли с приложениями " предназначена для студентов 1 курса магистратуры по направлению

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор

__________ В.С.Бухмин


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


Теория представлений групп и алгебр Ли с приложениями


Цикл ДС(М).В


Направление: 510400 - Физика

Специализация: 510417 – Теоретическая и математическая физика


Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации

(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.)


Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)


Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ.

(протокол №___ от "__"__________200__ г.)


Председатель комиссии
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Теория представлений групп и Алгебр Ли с приложениями" предназначена для студентов 1 курса магистратуры

по направлению: 510400 – Физика

Специализация: 510417 – Теоретическая и математическая физика


АВТОР: Даишев Р. А., Патрин Е.В.


^ КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: В данном курсе излагаются основы теории представлений групп и алгебр Ли с сопутствующими сведениями из топологии, дифференциальной геометрии и их приложения, имеющие наибольшую ценность как для самой математики, так и её приложений в физике и других естественных науках.


^ 1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Теория представлений групп и алгебр Ли с приложениями"

Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:

знать основы теории групп и алгебр Ли;

знать, что такое представления групп и алгебр Ли;

уметь применять представления групп и алгебр Ли к задачам

возникающим в теоретической и
математической физике.


2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Форма обучения очная

Количество семестров 1
^ Форма контроля: 2 семестр экзамен



№
п/п

Виды учебных занятий
^ Количество часов
2 семестр

1.

Всего часов по дисциплине

64
2. Самостоятельная работа
13
3. ^ Аудиторных занятий
51




в том числе: лекций

34




семинарских (или лабораторно-практических) занятий

17




Содержание дисциплины.



^ ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ



Индекс

Наименование дисциплины и её основные разделы

Всего часов

ДС(М).В3




64

Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.


^ СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ


№п/п

Название темы и ее содержание

Количе часов лекции

(лаб.- практ.) занятия

1

Предварительные сведения. Топологические пространства и непрерывные отображения. Топология, окрестности, фактор-топология , индуцированная топология, базы и предбазы топологии, примеры. Гомеоморфизмы, прямое произведение топологичесих пространств.

3

1

2

Гладкие многообразия и гладкие отображения. Карты и атласы. Прямое произведение гладких многообразий. Подмногообразия, алгебры гладких функций на многообразиях, гладкие отображения, диффеоморфизмы. Касательный вектор, касательные и кокасательные пространства, касательные и кокасательные расслоения. Векторные и ковекторные поля. Прямые суммы и тензорные произведения расслоений. Тензорные расслоения. Дифференциальные формы, внешний дифференциал, поведение векторных полей и дифференциальных форм при отображениях. Производная Ли.

9

2

3

Группы и алгебры Ли. Группы Ли и подгруппы Ли в группе Ли, полупростые, простые, разрешимые и нильпотентные группы Ли, прямое и полупрямое произведения групп. Алгебры Ли, алгебра Ли векторных полей на многообразии, связь между группами Ли и алгебрами Ли, экспонента и логарифм, подалгебры и идеалы алгебр Ли, полупростые, простые, разрешимые и нильпотентные алгебры Ли, коалгебры, коумножение в коалгебре.

6

4

4

Теория представлений. Представления групп Ли (линейные, унитарные, проективные), сплетающие операторы, эквивалентные представления, подпредставления, фактор - представления групп Ли, приводимые и вполне приводимые представления групп Ли, присоединённое и коприсоёдиненное представления групп Ли представления алгебр Ли , связь между представлениями группы Ли и её алгеброй Ли, присоединённое и коприсоединённое представления алгебры Ли, прямые суммы и тензорные произведения представлений. Индуцированные представления.

8

4

5

Некоторые приложения теории представлений групп и алгебр Ли. Орбиты коприсоединенного представления группы Ли как фазовые пространства систем классической механики, построение по орбите унитарного представления (метод орбит), обобщение на неоднородную ситуацию (геометрическое квантование).

8

6




Итого часов:

34


17



^ ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

Постников М. М. Группы и алгебры Ли. М., Издательство «Наука», 1982.

Кириллов А. А. Элементы теории представлений. Издательство «Наука», 1978.

Кириллов А. А. Геометрическое квантование.

В книге «Современные проблемы математики,фундаментальные направления» т.4, ВИНИТИ, 1985.

Понтрягин Л.С. Непрерывные группы.


^ ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., Издательство «Наука»,
1989.

Дубровин Б. А. .Новиков С. П. .Фоменко А.Т. Современная геометрия. М., Издательство
«Наука», 1986.

Харт. Геометрическое квантование в действии. М., Издательство «Мир»,1985.



Приложение к программе дисциплины «Теория представлений групп Ли с приложениями»


^ ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

Топология, окрестности, фактор-топология, индуцированная топология, базы и предбазы
топологии.

Гомеоморфизмы, прямое произведение топологичесих пространств.

Карты и атласы. Прямое произведение гладких многообразий.

Подмногообразия, алгебры гладких функций на многообразиях, гладкие отображения,
диффеоморфизмы.

Касательный вектор, касательные и кокасательные пространства, касательные и
кокасательные расслоения. Векторные и ковекторные поля.

Прямые суммы и тензорные произведения расслоений. Тензорные расслоения.

Дифференциальные формы, внешний дифференциал, поведение векторных полей и
дифференциальных форм при отображениях. Производная Ли.

Группы Ли и подгруппы Ли в группе Ли.

Полупростые, простые, разрешимые и нильпотентные группы Ли.

Прямое и полупрямое произведения групп.

Алгебры Ли, подалгебры и идеалы алгебр Ли, алгебра Ли векторных полей на
многообразии.

Связь между группами Ли и алгебрами Ли.

Полупростые, простые, разрешимые и нильпотентные алгебры Ли.

Представления групп Ли (линейные, унитарные, проективные), сплетающие операторы,
эквивалентные представления.

Подпредставления, фактор - представления групп Ли, приводимые и вполне приводимые
представления групп Ли.

Связь между представлениями групп Ли и их алгебр Ли.

Прямые суммы и тензорные произведения представлений.

Присоединенное и коприсоединенное представления групп и алгебр Ли.

Орбиты коприсоединенного представления группы Ли.

Построение по орбите унитарного представления.