Реферат: Методические указания по лабораторным работам По дисциплине

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тихоокеанский государственный университет


Институт экономики и управления

Кафедра Экономическая кибернетика


Методические указания по лабораторным работам


По дисциплине Методы социально-экономического прогнозирования


Для специальности

080116.65 «Математические методы в экономике»


Методические указания разработаны в соответствии с составом УМКД


Методические указания разработала Порошина Л.А. _____________

Методические указания утверждены на заседании кафедры,

протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г.

Зав. кафедрой _________ «___» ______________ 200__ г. Пазюк К.Т.

Методические указания по лабораторным работам по дисциплине «Эконометрическое моделирование» включают тематику лабораторных заданий, выполняемых во время аудиторных занятий.


Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании УМКС и рекомендованы к изданию

протокол № ______ от «___» _______________ 200__ г.

Председатель УМКС _______ «___» __________ 200__ г.

Директор института _________ «___» ____________ 200__ г. Зубарев А.Е.

Введение


Реалии нынешнего этапа развития российской государственности выдвигают в число первоочередных задачу перехода к стабильному, предсказуемому и эффективному развитию экономики страны, что в свою очередь не возможно без специальных знаний в области методологии, методики и технологии составления научно-обоснованных макро- и микроэкономических прогнозов социально-экономического развития. Масштаб стоящих перед российским бизнесом проблем, а также качественный уровень развития современного научно-технического потенциала требует соответствующей теоретической и практической подготовки специалистов в области экономико-математического моделирования. Прогнозная информация, с одной стороны, необходима как основа планирования деятельности любого социально-экономического объекта, а с другой стороны - как предварительная оценка последствий принимаемых решений с целью их оптимизации. Отсюда ясна важность данной дисциплины для формирования специалиста в области математических методов и исследования операций в экономике.

В этой связи цель дисциплины "Методы социально-экономического прогнозирования" - вооружить студентов специальности "Математические методы в экономике" - 080116.65 знаниями общих закономерностей составления научных прогнозов развития социально-экономических объектов; познакомить их с максимально широким инструментарием выработки прогнозов развития социально-экономических объектов, а также методиками его использования в практике прогнозирования; выработать в процессе обучения у студентов навыки грамотного использования аппарата математического моделирования посредством применения передовых информационных технологий.

Задачи курса: изучение методологических основ прогнозирования, а также приемов и методов прогнозирования экономических процессов.

Дисциплина «Методы социально-экономического прогнозирования» опирается на материал учебных дисциплин: «Математический анализ», «Теория вероятности и математическая статистика», «Экономическое моделирование», «Математические методы исследования операций», «Эконометрика» и других дисциплин. В соответствии с Государственным образовательным стандартом она является дисциплиной специализации по специальности «Математические методы в экономике» и полностью соответствует по содержанию его требованиям.

Основная цель лабораторных занятий - углубленное изучение проблем, затронутых в лекционном курсе, и отработка навыков в применении изучаемых методов и процедур прогнозирования с использованием современного программного обеспечения персональных компьютеров.

В качестве базового информационно-программного инструментария на лабораторных работах предлагается воспользоваться продуктами Excel, StatGraphics, Statistica. В ходе освоения дисциплины студенты могут ознакомиться и с дополнительными программными средами, например, Matlab (Statistics Toolbox, GARCH Toolbox), Mathcad, SPSS, Eviews и др., а также специальными оптимизационными и модулями математических пакетов Matlab (Optimization Toolbox), Mathcad, Mathematica и др.

Изучение дисциплины заканчивается написанием и защитой курсовой работы и сдачей итогового экзамена.


^ Краткие характеристики лабораторных работ


Тема 1. Прогнозирование с учетом сезонной составляющей


Задание. Построить точечный и интервальный прогноз на основе мультипликативной модели, аддитивной модели и модели Винторса.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием Excel. Интерпретация результатов решения.

^ Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Методические указания

Построение аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 1.

Было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 1).

1.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 1).

Таблица 1 – Расчёт сезонной компоненты

№ квартала,



Количество правонарушений,



Итого за четыре квартала

Скользящая средняя за четыре квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной компоненты

1

2

3

4

5

6

1

375

–

–

–

–

2

371

2630

657,5

–

–

3

869

2612

653

655,25

213,75

4

1015

2712

678

665,5

349,5

5

357

2835

708,75

693,75

-336,75

6

471

2840

710

709,375

-238,375

7

992

2873

718,25

714,125

277,875

8

1020

2757

689,25

703,75

316,25

9

390

2757

689,25

689,25

-299,25

10

355

2642

660,5

674,875

-319,875

11

992

2713

678,25

669,375

322,625

12

905

2812

703

690,625

214,375

13

461

2740

685

694

-233

14

454

2762

690,5

687,75

-233,75

15

920

–

–

–

–

16

927

–

–

–

–

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 1). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (табл. 2). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 2 – Расчёт скорректированной сезонной компоненты
Показатели
Год

№ квартала,

I

II

III

IV




1999

–

–

213,75

349,5

2000

-336,75

-238,375

277,875

316,25

2001

-299,25

-319,875

322,625

214,375

2002

-233

-233,75

–

–

Всего за -й квартал




-869

-792

814,25

880,125

Средняя оценка сезонной компоненты для -го квартала,




-289,667

-264

271,417

293,375

Скорректированная сезонная компонента,




-292,448

-266,781

268,636

290,593


Для данной модели имеем:

.

Корректирующий коэффициент: .

Рассчитываем скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу 2.

Проверим равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:

.

Шаг 3. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 3). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 3 – Трендовая и слуайная компонента

















1

2

3

4

5

6

7

8

1

375

-292,448

667,448

672,700

380,252

-5,252

27,584

2

371

-266,781

637,781

673,624

406,843

-35,843

1284,721

3

869

268,636

600,364

674,547

943,183

-74,183

5503,117

4

1015

290,593

724,407

675,470

966,063

48,937

2394,830

5

357

-292,448

649,448

676,394

383,946

-26,946

726,087

6

471

-266,781

737,781

677,317

410,536

60,464

3655,895

7

992

268,636

723,364

678,240

946,876

45,124

2036,175

8

1020

290,593

729,407

679,163

969,756

50,244

2524,460

9

390

-292,448

682,448

680,087

387,639

2,361

5,574

10

355

-266,781

621,781

681,010

414,229

-59,229

3508,074

11

992

268,636

723,364

681,933

950,569

41,431

1716,528

12

905

290,593

614,407

682,857

973,450

-68,450

4685,403

13

461

-292,448

753,448

683,780

391,332

69,668

4853,630

14

454

-266,781

720,781

684,703

417,922

36,078

1301,622

15

920

268,636

651,364

685,627

954,263

-34,263

1173,953

16

927

290,593

636,407

686,550

977,143

-50,143

2514,320

Шаг 4. Определим компоненту данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

.

Подставляя в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента времени (гр. 5 табл. 3).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 3).

На одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и теоретические, полученные по аддитивной модели.



Рис. 1 – Динамика скорректированных показателей


Для оценки качества построенной модели применим сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.



Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим, что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

.

Получим

;

.

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,

;

.

Т.е. в первые два квартала 2003 г. следовало ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

Построение мультипликативной модели рассмотрим на данных предыдущего примера.


^ Тема 2. Прогнозирование на основе наивных методов и методов средних

Задание. Построить точечный прогноз на основе наивных моделей и методов средних.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием Excel. Интерпретация результатов решения.

^ Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Методические указания

По данным ряда динамики (таблица 4) необходимо выполнить прогноз и оценить его статистическую значимость.

Таблица 4 – Расчёты для экспоненциальной модели

Месяц

Остаток денег на начало месяца, трлн. руб., (уt)

Экспоненциально сглаженные уровни ряда, (Qt)






 

январь

75,8

75,80

-

-




февраль

70,5

74,74

17,978

0,0601




март

74,5

74,69

0,037

0,0026




апрель

72,1

74,17

4,300

0,0288




май

75,3

74,40

0,812

0,0120




июнь

73,4

74,20

0,639

0,0109




июль

76,1

74,58

2,313

0,0200




итого

-

74,88

26,077

0,134




Экспоненциально сглаженные уровни ряда динамики:

, где

Yt – уровень ряда динамики за период t; - параметр сглаживания (=0,2).

Прогнозное значение остатка денег на начало августа:

=74,88 трлн. руб.

Для точности прогноза определим:

- остаточную дисперсию:

==8,7;

- среднюю ошибку аппроксимации:

=0,134/5*100=2,7%<10%, следовательно, точность прогноза можно признать надёжной.


^ Тема 3. Адаптивные методы прогнозирования

Задание. Построение прогнозов на основе методов экспоненциального сглаживания, моделей Брауна и Хольта.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

^ Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 4 часа.


Методические указания

На основе исходных данных (таблица 5) необходимо построить модели по рядам динамики, выполнить прогноз.


Таблица 5 – Исходные данные для лабораторной работы №3

Год

Темп прироста производительности труда, %

Год

Темп прироста производительности труда, %

1

10

15

4

2

6,4

16

6,2

3

6,8

17

6,9

4

8

18

6,1

5

11,1

19

5,1

6

6,7

20

7

7

6,9

21

6,5

8

7

22

5,3

9

8,2

23

6,3

10

6,1

24

6,4

11

3,8

25

5,8

12

6

26

3,4

13

5,2

27

4,1

14

2,9








Введем исходные данные. Переименуем показатели: год – t, темп прироста производительности труда – у.

Выберем процедуру ^ Forecasting (прогнозирование) в модуле Time-Series Analysis (анализ временных рядов) из пункта Special (специальный) главного меню (рис. 2).




Рисунок 2 – Меню Special


Система выдаст входную панель Forecasting (рис. 3).

Введем в поле Date имя переменной у, установим переключатель ^ Year(s). Number of Forecasts (период упреждения) примем равным пяти (рис. 3). Остальные поля оставим без изменения.



Рисунок 3 – Входная панель процедуры прогнозирования


STATGRAPHICS выдаст сводку предварительного анализа. Щелкнем на панели правой кнопкой мыши и во всплывшем меню выберем ^ Analysis Options (опции анализа). STATGRAPHICS выведет панель Model Specification Options (опции спецификации модели). Она представлена на рис. 4.

Устанавливаем Linear Trend/OK. Система построит линейную модель (рис. 4).




Рис. 4 – Панель спецификации моделей прогнозирования


Вызовем панель ^ Graphical Options (графические опции) и отметим флажком пункт Time Sequence Plot (график временной последовательности). STATGRAPHICS построит искомый график (рис. 5).




Рис. 5 – Окно анализа процедуры прогнозирования


Двойным щелчком левой кнопки мыши можно максимизировать или минимизировать панель. Щелчок правой кнопкой вызывает контекстное меню, пункты которого зависят от выбранной процедуры и типа панели (графическая или текстовая).

Результаты проведенного анализа можно сохранить в файле StatFolio.

В прогнозировании помимо построения линейного тренда используется широкий набор моделей. Динамические ряды также нуждаются в предварительном анализе. Данные процедуры позволяет сделать модуль в STATGRAPHICS Time-Series Analysis. Основные процедуры данного модуля представлены в таблице 6.

Используя процедуры сглаживания STATGRAPHICS, устраним случайные колебания исследуемого временного ряда. Воспользуемся процедурой Simple Moving Average, далее EWMA и Resistant Nonlinear Smoothing.

Выберем в модуле Time-Series Analysis процедуру Smoothing. Появится панель ввода, которая аналогична панели Forecasting. Введем имя переменной и установим переключатель Year(s) (рис. 6). ОК.


Таблица 6 – Основные процедуры модуля АВР STATGRAPHICS

Процедура

Содержание

Описание

Descriptive Methods Analysis (описательные истоды анализа)

1. Horizontal and Vertical Time Sequence Plot (горизонтальный и вертикальный график временной последовательности)

2. Autocorrelations (автокорреляция)

3. Periodogram and Periodogram Table (периодограммма: табличные значения и график)

4. Tests for Randomness (критерии случайности)

5. Crosscorrelations (кросскорреляция)

Процедура позволяет установить структуру временных рядов с использованием разнообразных критериев

Smoothing

(сглаживание)

1. Simple Moving Average (простая скользящая средняя)

2. Spencer/s 15-term/21-term MA (скользящие средние Спенсера по 15 и 21 точкам)

3. Henderson/s Weighted MA (взвешенная скользящая средняя Хендерсона)

4. EWMA (взвешенная скользящая средняя)

5. Resistant Nonlinear Smoothing (устойчивое нелинейное сглаживание)

Процедура осуществляет различные виды сглаживания

Seasonal Decomposition

(сезонное разложение)

1. Multiplicative and Additive Seasonal decomposition method (сезонное разложение по мультипликативной или аддитивной модели)

2. Seasons Indices (сезонные индексы)

Процедура проводит сезонное разложение временного ряда

Forecasting (прогнозирование)

1. Random Walk (случайная выборка)

2. Mean (средняя)

3. Trend/s models (трендовые модели)

4. Exponential Smoothing (экспоненциальное сглаживание)

5. ARIMA Model (объединенная модель авторегрессии и скользящего среднего)

Процендура осуществляет прогнозы по различным моделям




Рисунок 6 – Входящая панель процедуры сглаживания


Система выведет в рабочей области сводку простого пятиточного сглаживания, установленного по умолчанию. В табличных опциях устанавливаем флажок в поле Date Table (таблица данных), а в графических – Time Sequence Plot (график временной последовательности) (рис. 7, 8, 9, 10). Получим отчет (рис. 11).




Рис. 7



Рис. 8



Рис. 9



Рис. 10


Щелкнем правой кнопкой мыши на второй табличной панели – появится всплывающее меню, в котором выберем пункт ^ Pane Options (опции панели). Система предоставит возможность изменить метод сглаживания. Установим переключатель в поле EWMA (рис. 11). Система рассчитает значения и построит график для взвешенного экспоненциального сглаживания с параметром 0,1.




Рис. 11 – Сглаживание уровней рядов динамики методом временной последовательности


Проведем аналогичные расчеты с помощью устойчивого нелинейного сглаживания.

Анализ графиков позволяет сделать вывод, что изменение темпов прироста выработки лучше всего аппроксимирует нелинейное устойчивое сглаживание. Кривые простого скользящего и взвешенного экспоненциального сглаживания менее информативны.



Рис. 12 – Панель установки опций сглаживания


Определив общие закономерности изменения выработки, можно приступить к подбору модели и расчету прогнозных значений моделируемого показателя. С этой целью воспользуемся процедурой Forecasting.

Свернем в пинктограмму окно анализа с результатами сглаживания и выберем указанную процедуру. Заполним верхнюю панель, введя имя переменной и количество лет прогноза, равное пяти (рис. 3). С целью проверки адекватности модели используем три последних наблюдения. Поэтому в поле Withhold for Validation (число точек для проверки правильности модели) введем цифру три.

Система поместит в рабочую область сводку прогноза по модели случайной выборки.

Учитывая, что STATGRAPHICS может сравнивать одновременно пять типов моделей, оптимизируя их параметры, выберем для анализа линейную модель (Liner trend), параболу (Quadratic trend), линейное экспоненциальное сглаживание Брауна (Brown/s linear exp. Smoothing), линейное экспоненциальное сглаживание Хольта (Holt/s linear exp. Smoothing), квадратическое экспоненциальное сглаживание Брауна (Brown/s quadratic exp. Smoothing). Напомним, что в STATGRAPHICS реализовано три типа сглаживания Брауна. Простое сглаживание основано на предположении стационарности изучаемого процесса, линейное предполагает линейный тренд в данных. Квадратическое сглаживание базируется на том, что моделируемый показатель может быть основан на том, что моделируемый показатель может быть описан полиномом второго порядка, т.е. параболой.

Указанные модели выбираются с помощью панели ^ Model Specification Options (опции спецификации модели) (рис. 4). В области Model щелкнем на пункт А, а в области Type установим флажок Linear trend. Затем выберем пункт В и установим флажок Quadratic trend. Для модели С выберем Brown/s linear exp. Smoothing; для моделей D и E установим флажки на полях Holt/s linear exp. Smoothing и Brown/s quadratic exp. Smoothing. Остальные поля оставим со значениями по умолчанию, в т.ч. с флажком Optimize, активным для всех экспоненциальных моделей. Щелкаем ОК с установленным для модели С переключателем. Это означает, что все расчеты система выполнит для этой модели (рис. 13).




Рис. 13 – Анализ линейной модели Брауна


Результаты сравнительного анализа можно вывести, установив флажок ^ Model Comparisons (сравнение моделей) табличных опций.

Получим листинг сравнения моделей (рис. 13). Кратко опишем его. В верхней части листинга приводится информация о данных и уравнениях или коэффициентах построенных моделей.

Наибольший интерес представляют таблицы со статиками прогнозирования, позволяющими оценить адекватность полученных зависимостей. К таким характеристикам относится средняя арифметическая ошибка (МЕ), описывающая отклонения фактических значений от выровненных. Чем ближе она к нулю, тем точнее осуществлена аппроксимация. Средняя квадратическая ошибка (MSE) и средняя абсолютная ошибка (МАЕ) используются для сравнения разных процедур прогнозирования.

Среднепроцентная ошибка (МРЕ) и среднеабсолютная процентная ошибка (МАРЕ) рассчитываются по остаткам одношагового выравнивания, которые делятся на фактическое значение выработки.

Листинг содержит также стандартную ошибку остатков (RMSE) и пять тестов RUNS, RUNM, AUTO, MEAN, VAR:

RUNS – тест на чрезмерное количество пиков и впадин (Test for excessive runs up and down) – рассчитывает число повышений или падений в последовательности анализируемых данных. Тест чувствителен к долгосрочным циклам;

RUNM – тест на чрезмерное количество отклонений от медианы (Test for excessive runs above and below median) – рассчитывает число наблюдений, значение которых выше или ниже медианы, значение которых выше или ниже медианы, и игнорируют значения, которые являются равными медиане. Тест чувствителен к наличию тренда в данных;

AUTO – тест на чрезмерную автокорреляцию (Box-Pierce test for excessive autocorrelation) – рассчитывает коэффициент сериальной корреляции Бокса-Пирса;

MEAN – тест на существенность разности средних (test for difference in mean 1st half to 2nd half) – служит для определения тенденции среднего значения;

VAR – тест на существенность разности дисперсий (test for difference in variance 1st half to 2nd half) – позволяет установить тенденцию вариабельности.

Модель прогнозирования будет адекватной, если все тесты будут иметь значение OK. Т.о., тесты остатков несущественны. Знак звездочки означает, что тест статистически существенен. Количество звездочек определяет уровень существенности критерия. Три звездочки означают, что тест значим с вероятностью, превышающей 99%.

Данные листинга, приведенного на рисунке 14, показывают, что линейная экспоненциальная модель Брауна наиболее удачно аппроксимирует фактические данные. Поэтому для расчетов используется эта модель. Текстовые и графические результаты прогнозирования можно вывести на экран, установив, например, флажки на полях Forecast Table (таблица прогнозов) табличных опций и Time Sequence Plot (график временной последовательности).




Рис. 14 – Сравнительный анализ моделей

На рисунке 15 показаны фактические и прогнозные значения темпов прироста выработки, полученные по линейной экспоненциальной модели Брауна (=0,2145). Рассчитаем прогнозы по другим моделям и результаты сведем в таблицу 3.

Сравнивая различные варианты прогнозов на 5 лет, следует отметить неоднозначность полученных результатов (таблица 7).




Рис. 15 – Прогноз по линейной экспоненциальной модели Брауна


Таблица 7 – Прогноз темпов прироста производительности труда по различным моделям и методам

Тип модели

Порядковый номер прогноза

28

29

30

31

32

7,86123-0,112565*t

4,71

4,6

4,48

4,37

4,25

9.67752-0.531709*t+0.016766*t2

7,93

8,36

8,81

9,31

9,83

Brown/s linear wish =0,2159

4,8

4,68

4,56

4,45

4,33

Holt/s linear wish =0,3144, =0,076

4,57

4,44

4,32

4,19

4,07

Brown/s quadratic wish =0,1652

4,69

4,53

4,35

4,17

3,99


В качестве пессимистического варианта прогноза можно рассматривать результаты по квадратической экспоненциальной модели. При этом надо иметь в виду, что остатки у этой модели по тесту MEAN незначительно существенны.

Наиболее вероятен прогноз по линейной модели Брауна. Темп прироста выработки снизится с 4,8% до 4,33%.


Тема 4. Модели стационарных временных рядов

Задание. Прогнозирование на базе моделей авторегресси р-порядка, модели скользящего среднего порядка q и авторегрессионных моделей со скользящими средними в остатках.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

^ Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 8 часов.


Методические указания

Исходные данные для прогноза представлены в таблице 8.

Таблица 8 – исходные данные по выработке на одного работающего для прогнозирования по методу Бокса-Дженкинса (в т)

Период

Выработка, т

Период

Выработка, т

1

233

19

1029

2

263

20

1052

3

288

21

1068

4

319

22

1125

5

363

23

1170

6

433

24

1222

7

467

25

1281

8

503

26

1333

9

544

27

1358

10

577

28

1372

11

639

29

1389

12

687

30

1354

13

733

31

1341

14

758

32

1370

15

809

33

1340

16

865

34

1379

17

934

35

1397

18

1006

19

1029


В формулах для удобства записи использован оператор сдвига В, вычисляемый как ВYt=Yt-1.

Модель (1) имеет порядок (p, d, q). P- определяет порядок авторегрессии, q – скользящего среднего; d – порядок конечных разностей. Ее практическое использование и методика построения связаны с Г. Боксом и Г. Дженкинсом. В пакете STATGRAPHICS реализована эта процедура. Покажем возможности ее использования для прогнозирования, используя данные из таблицы 2.

Проблема применения модели Бокса-Дженкинса является определение эффективных оценок ее параметров p, d, q. Для ее построения вычисляют первоначально разности ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии. Далее задача сводится к оцениванию коэффициентов в модели авторегрессии и скользящего среднего.

Для построения ARIMA-модели порядка (1, 1, 1), т.е. порядок авторегресси, скользящего среднего и конечных разностей равен единице, в панели спецификации моделей установим переключатель процедуры Бокса-Дженкинса – ARIMA Model и изменим поля Differencing Noseasonal Order (порядок несезонной разности) и МА (несезонное скользящее среднее). Установим их равными единице. Прогноз осуществим на 6 лет.

Результаты построения отражены на рисунке 16.

Используя данные листинга (рис. 16), запишем:

(1 – 0,724В)(1 – В)Уt = 9,151 + (1 – 0,353В)t.

Раскрыв скобки и применяя операторы сдвига BYt-1=Yt-1 и Вt-1=t-1, имеем

Yt-1 = 9,151 + 1,725 Yt-1 – 0,725 Yt-2 + et – 0,353et-1.

Отличительной чертой использования процедуры Бокса-Дженкинса является прогнозирование не только математического ожидания временного ряда, но и доверительных интервалов, в которых находится искомый показатель с заданной вероятностью.




Рис. 16 – Результаты построения модели Бокса-Дженкинса


На рис. 17 представлен исходный ряд за 35 периодов с прогнозными значениями выработки на 6 лет. Пунктирными линиями отмечены доверительные 95%-е границы прогноза.




Рис. 17 – Прогноз выработки по модели Бокса-Дженкинса


Для вывода основных формул, используемых для прогнозирования значений показателя Уt на будущий период t+l (где l – период упреждения), вводят два способа представления ряда динамики. Предсказываемый уровень исследуемого показателя выражается в виде

,

где - прогноз выработки в l-м году; а1, а2, …, ар – коэффициент авторегрессии; b1, b2, …, bq – коэффициенты скользящего среднего.

Другая форма записи ARIMA-модели связывает будущие значения показателя выработки с бесконечной линейной комбинацией случайных компонент et:

(1)

где - рассчитанные специальным образом веса.

Используя формулу (1), можно показать, что предсказанные значения выработки на момент времени t+l отличается от ее прогноза в момент t на ошибку предсказания на первом шаге еt+1, умноженную на коэффициент .

На рис. 17 представлен листинг с результатами прогнозирования по модели Бокса-Дженкинса. Из них видно, что за 6 предстоящих лет производительность труда вырастет на 13% (1570,45:1397*100-100). При этом значение выработки в конце периода упреждения может изменяться от 1376,78 до 1764,12 на человека.


^ Тема 5. Модели нестационарных временных рядов

Задание. Прогнозирование на базе моделей авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего и ARIMA-моделей.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

^ Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 6 часов.


Методические указания

Лабораторная работа «Применение авторегрессионных моделей и ARIMA-моделей в прогнозировании» проводится на основе данных таблицы 9.

Таблица 9 - Исходные данные по выработке на одного работающего (в т)

Год

Выработка, т

Год

Выработка, т

1

673

12

951

2

694

13

915

3

711

14

938

4

786

15

847

5

797

16

891

6

782

17

885

7

810

18

883

8

832

19

867

9

834

20

824

10

878

21

918

11

900








Проверим гипотезу о наличии в данных линейного тренда и возможности использования авторегрессии первого порядка для прогнозирования остатков.

Строим линейный тренд: ^ Special/ Time-Series Analysis/ Forecasting. Введем в поле Date имя переменной у, установим переключатель Year(s). Период упреждения берем равный четырем годам. Т.к. по умолчанию прогноз выполняется для модели случайной выборки, то щелкаем правой клавишей мыши и выберем из меню пункт Analysis Options. STATGRAPHICS выведет панель Model Specification Options. Устанавливаем Linear Trend/OK. Получаем отчет (рис. 18).

Проводим анализ полученной модели.

Вызываем панель табличных опций и устанавливаем в поле Forecasting Table. Система выведет соответствующую информацию (рис. 19).




Рис. 18 – Панель сводных итогов прогнозирования


Как видно на рис. 19, эта панель содержит две таблицы. В верхней таблице отражены модельные значения выработки и остатки, в нижней – приведены прогнозы по линейной модели с 95%-ми доверительными интервалами.




Рис. 19 – Прогноз тренда по линейной модели


Поскольку эта информация потребуется для дальнейшего расчета, сохраним ее в электронной таблице. Для этого, используя кнопку ^ Save results, вызовем панель Save Results Options и установим флажки в полях Forecasts, Upper forecasts limits, Lower forecasts limits, Residuals. Оставим без изменения имена переменных. Система сохранит четыре переменные, в т.ч. остатки. Им присвоено имя Residuals.

Щелкнем мышью по кнопке графических опций и в появившейся панели установи флажки в полях ^ Time Sequence Plot (график временной последовательности) – рис. 20; Residual Plots (график остатков) – рис. 21; Residual Autocorrelation Function (график автокорреляционной функции) – рис. 22; Residual Partial Autocorrelation Function (график частной автокорреляционной функции) - рис. 23.



Рис. 20 - График временной последовательности


На рис. 20 представлен график исходного ряда и прогноз по линейному тренду на 4 года вперед.




Рис. 21 - График остатков


Наибольший интерес представляет график автокорреляционной функции и график частной автокорреляционной функции. Уменьшение высоты столбцов графика автокорреляционной функции свидетельствует об ослаблении связи с прошлым и возможности использования авторегрессии.




Рис. 22 - График автокорреляционной функции



Рис. 23 - График частной автокорреляционной функции


График частной автокорреляционной функции применяется для уточнения количества членов авторегрессионой модели, необходимых для адекватного описания остатков. На рис. 23 коэффициенты частной автокорреляции отображаются в виде столбцов, высота которых пропорциональна величине коэффициента. Границы в виде штриховых линий, расположенных выше и ниже нуля, применяются для выявления частных автокорреляций, значимо отличается от нуля. Как видно из графика, остатки выработки сильно коррелированны с предыдущим значением. Коэффициент частной автокорреляции первого порядка равен 0,6271 (Tabular Options/ Residual Autocorrelation Function - рис.24). следовательно, их можно описывать авторегрессией первого порядка.




Рис. 24 – Частные коэффициенты автокорреляции


Строим ARIMA-модель: ^ Special/ Time-Series Analysis/ Forecasting. Введем в поле Date имя переменной RESIDUALS, установим переключатель Year(s). Период упреждения берем равный четырем годам. По умолчанию прогноз выполняется для модели случайной выборки, поэтому щелкаем правой клавишей мыши и выберем из меню пункт Analysis Options. STATGRAPHICS выведет панель Model Specification Options. Устанавливаем ARIMA Model. Уберем флажок в поле Constant, т.е. построим модель без свободного члена. Остальные значения оставим без изменения.

STATGRAPHICS рассчитает авторегрессию первого порядка. Выходное экранное окно содержащее результаты подбора модели, представлено на рис. 8. из него видно, что оценка авторегрессионного параметра значима по критерию Стьюдента. Фактический критерий Стьюдента существенно больше табличного, т.к. -значение равно 0,000124 (рис. 25).

Следовательно для прогнозирования остатков производительности труда можно использовать авторегрессию первого порядка, которая имеет вид  t=0,713736t-1.

Вызовем па