Реферат: Линейные д. У. Го порядка. Линейный диф-ый оператор
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ Д.У. -ГО ПОРЯДКА.
ЛИНЕЙНЫЙ Диф-ый ОПЕРАТОР.
ОПР.1 .ЛИНЕЙНЫМ Д.У. -ГО ПОРЯДКА НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕ ВИДА
(1)
ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И САМА ФУНК-ИЯ ВХОДЯТ В УРАВНЕНИЕ В ПЕРВЫХ СТЕПЕНЯХ. -ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
ЕСЛИ , ТО УРавненИЕ НАЗЫВАЕТСЯ ОДНОРОДНЫМ.
(1)-НЕОДНОРОДНОЕ Линейное Д.У. -ГО ПОРЯДКА.
ЗАПИШЕМ ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
(2)
И ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЕ
(3)
И НАЗОВЕМ - ЛИНЕЙНЫМ ДИФ-ЫМ ОПЕРАТОРОМ, ДЕЙСТВУЮЩИМ НА ФУНКЦИЮ .
С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРА Линейное Д.У. (1) ЗАПИШЕМ В ВИДЕ - ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ Д.УРАВНЕНИЕ - ГО ПОРЯДКА.
А (2) ЗАПИШЕТСЯ В ВИДЕ
(2/)
ЛИНЕЙНЫЙ Д. ОПЕРАТОР КАЖДОЙ Ф-ИИ СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ НЕКОТОРУЮ ДРУГУЮ ФУНКЦИЮ.
^ НАПОМНИМ СЛЕДУЮщЕЕ ПОНЯТИЕ.
ГОВОРЯТ, ЧТО НА МНОЖЕСТВЕ ЗАДАН ОПЕРАТОР СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МНОЖЕСТВЕ , ЕСЛИ КАЖДОМУ ЭЛЕМЕНТУ ПО НЕКОТОРОМУ ЗАКОНУ ПОСТАВЛЕН В СООТВЕТСТВИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ . МНОЖЕСТВО НАЗЫВАЮТ ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА .
ПУСТЬ- ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОПЕРАТОР , ЗАДАННЫЙ НА НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ, ЕСЛИ ОН АДДИТИВЕН И ОДНОРОДЕН, Т.Е.
1) ,
2) ЧИСЛО.
пример.
.
Свойства решений однородного ур-ния
ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ РЕШЕНИЯ (2),
ТО - ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2).
ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО
.
тогда
ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ РЕШЕНИЕ (2), ТО
, ГДЕ - также БУДЕТ РЕШЕНИЕМ.
ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО
Тогда
ЭТИ ДВА СВОЙСТВА И ЕСТЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОСТИ.
В ИТОГЕ, ЕСЛИ РЕШЕНИЯ (2), ТО
ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2):
.
теорема 3. если л.о.д.у.
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ИМЕЕТ КОМПЛЕКСНОЕ РЕШЕНИЕ
,
ТО ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ЭТОГО РЕШЕНИЯ И ЕГО МНИМАЯ ЧАСТЬ В ОТДЕЛЬНОСТИ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ТОГО ЖЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ.
док-во:
ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ Л.Д.У. ИМЕЕТ РЕШЕНИЕМ КОМПЛЕКСНУЮ ФункцИЮ , ТО КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННАЯ ФункцИЯ ТОЖЕ РЕШЕНИЕ .
Т.Е. ЕСЛИ РЕШЕНИЕ, ТО АВТОМАТИЧЕСКИ ЗНАЕМ ЕЩЕ ОДНО РЕШЕНИЕ ИЛИ ДВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ РЕШЕНИЯ И .
§ 4. ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
ОПР. 1. БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО Ф-ИИ
ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ
, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЮТ ПОСТОЯННЫЕ - ТАКИЕ, ЧТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ТОЖДЕСТВО ПО
, (*)
ПРИЧЕМ ХОТЯБЫ ОДНО ИЗ ЧИСЕЛ ОТЛиЧНО ОТ НУЛЯ.
НАПРИМЕР, ЕСЛИ , ТО
Т.Е. ОДНА ФУНКЦИЯ ВЫРАЖАЕТСЯ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ.
ОПР.2. ЕСЛИ ТОЖДЕСТВО (*) ВЫПОЛНЯЕТСЯ НА ЛИШЬ кОГДА ВСЕ , ТОГДА СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ
НАЗЫВАЕТСЯ ^ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСиМОЙ НА .
ДЛЯ ДВУХ Ф-ИЙ ЛИН. ЗАВИСИМОСТЬ ОЗНАЧАЕТ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
.
В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ ИССЛЕДУЕТСЯ НА ЛИНЕЙНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВРОНСКОГО.
( Ю. ВРОНСКИЙ - 1778-1853 -ПОЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК И ФИЛОСОФ)
ОПР.З. ПУСТЬ ИМЕЕМ СИСТЕМУ Ф-ИЙ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ ПОСТРОИМ МАТРИЦУ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ЭТОЙ МАТРИЦЫ НАЗЫВАЕТСЯ ^ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ ВРОНСКОГО ДЛЯ .
ТЕОРЕМА 1 .(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ Ф-ИЙ)
ЕСЛИ Ф-ИИ , ИМЕЮЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДО ПОЯДКА - ВКЛЮЧИТЕЛЬНО, ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ , ТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ , ТОЖДЕСТВЕННО РАВЕН НУЛЮ:
НА .
ДОК-ВО:
примеры. 1. дана система функций: 1,x,x2,…,xn-1.
доказать, что функции линейно-независимы.
2. дана система функций: 1, sin2x, cos2x
доказать, что функции линейно-зависимы.
3. дана система функций: 1, ex, e2x,…,e(n-1)x.
доказать, что функции линейно-независимы.
§ 5. структура общего решения ЛИНЕЙНОго однородного диф-го уравнения -го порядка.
пусть дано л.о.д.у. . (1)
^ ОПР.1. совокупность линейно-независимых частных решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
Теорема 1. общее решение уравнения (1) –есть линейная комбинация линейно-независимых частных решений этого уравнения: (2) , где произвольные постоянные.
Д-во:
еще рефераты
Еще работы по разное
Реферат по разное
Формы и средства контроля навыков и умений по иностранному языку
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Политические процессы невозможно представить без участия неправительственных объединений, а именно без учета их мнений и позиций
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Теорема про суперпозицию (наложение) решений неоднородных линейных дифференциальных уравнений
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Вопросы прикладной лингвистики сборник научных трудов москва Издательство Российского университета дружбы народов
17 Сентября 2013