Реферат: Линейные д. У. Го порядка. Линейный диф-ый оператор

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ Д.У. -ГО ПОРЯДКА.


ЛИНЕЙНЫЙ Диф-ый ОПЕРАТОР.


ОПР.1 .ЛИНЕЙНЫМ Д.У. -ГО ПОРЯДКА НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕ ВИДА



(1)

ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И САМА ФУНК-ИЯ ВХОДЯТ В УРАВНЕНИЕ В ПЕРВЫХ СТЕПЕНЯХ. -ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.


ЕСЛИ , ТО УРавненИЕ НАЗЫВАЕТ­СЯ ОДНОРОДНЫМ.


(1)-НЕОДНОРОДНОЕ Линейное Д.У. -ГО ПОРЯДКА.


ЗАПИШЕМ ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ




(2)


И ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЕ


(3)

И НАЗОВЕМ - ЛИНЕЙНЫМ ДИФ-ЫМ ОПЕРАТОРОМ, ДЕЙСТВУЮЩИМ НА ФУНКЦИЮ .

С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРА Линейное Д.У. (1) ЗАПИШЕМ В ВИДЕ - ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ Д.УРАВНЕНИЕ - ГО ПОРЯДКА.


А (2) ЗАПИШЕТСЯ В ВИДЕ


(2/)


ЛИНЕЙНЫЙ Д. ОПЕРАТОР КАЖДОЙ Ф-ИИ СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ НЕКОТОРУЮ ДРУГУЮ ФУНКЦИЮ.


^ НАПОМНИМ СЛЕДУЮщЕЕ ПОНЯТИЕ.

ГОВОРЯТ, ЧТО НА МНОЖЕСТВЕ ЗАДАН ОПЕРАТОР СО ЗНАЧЕНИЯ­МИ В МНОЖЕСТВЕ , ЕСЛИ КАЖДОМУ ЭЛЕМЕНТУ ПО НЕКОТОРОМУ ЗАКОНУ ПОСТАВЛЕН В СООТВЕТСТВИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ . МНОЖЕСТВО НАЗЫВАЮТ ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА .


ПУСТЬ- ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОПЕРАТОР , ЗАДАННЫЙ НА НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ, ЕСЛИ ОН АДДИТИВЕН И ОДНОРОДЕН, Т.Е.

1) ,


2) ЧИСЛО.


пример.


.


Свойства решений однородного ур-ния

ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ РЕШЕНИЯ (2),

ТО - ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2).


ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО

.

тогда

ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ РЕШЕНИЕ (2), ТО

, ГДЕ - также БУДЕТ РЕШЕНИЕМ.


ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО





Тогда


ЭТИ ДВА СВОЙСТВА И ЕСТЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОСТИ.


В ИТОГЕ, ЕСЛИ РЕШЕНИЯ (2), ТО

ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2):

.


теорема 3. если л.о.д.у.

С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИ­ЕНТАМИ



ИМЕЕТ КОМПЛЕКСНОЕ РЕШЕНИЕ

,


ТО ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ЭТОГО РЕШЕНИЯ И ЕГО МНИМАЯ ЧАСТЬ В ОТДЕЛЬНОСТИ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ТОГО ЖЕ ОДНОРОДНО­ГО УРАВНЕНИЯ.

док-во:

ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ Л.Д.У. ИМЕЕТ РЕШЕНИЕМ КОМПЛЕКСНУЮ ФункцИЮ , ТО КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННАЯ ФункцИЯ ТОЖЕ РЕШЕНИЕ .


Т.Е. ЕСЛИ РЕШЕНИЕ, ТО АВТОМАТИЧЕСКИ ЗНАЕМ ЕЩЕ ОДНО РЕШЕНИЕ ИЛИ ДВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ РЕШЕНИЯ И .


§ 4. ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ


ОПР. 1. БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО Ф-ИИ



ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ

, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЮТ ПОСТОЯННЫЕ - ТАКИЕ, ЧТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ТОЖДЕСТВО ПО


, (*)


ПРИЧЕМ ХОТЯБЫ ОДНО ИЗ ЧИСЕЛ ОТЛиЧНО ОТ НУЛЯ.


НАПРИМЕР, ЕСЛИ , ТО



Т.Е. ОДНА ФУНКЦИЯ ВЫРАЖАЕТСЯ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ.


ОПР.2. ЕСЛИ ТОЖДЕСТВО (*) ВЫПОЛ­НЯЕТСЯ НА ЛИШЬ кОГДА ВСЕ , ТОГДА СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ



НАЗЫВАЕТСЯ ^ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСиМОЙ НА .


ДЛЯ ДВУХ Ф-ИЙ ЛИН. ЗАВИСИМОСТЬ ОЗНАЧАЕТ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

.


В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ ИССЛЕДУЕТСЯ НА ЛИНЕЙНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВРОНСКОГО.


( Ю. ВРОНСКИЙ - 1778-1853 -ПОЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК И ФИЛОСОФ)


ОПР.З. ПУСТЬ ИМЕЕМ СИСТЕМУ Ф-ИЙ





ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ ПОСТРОИМ МАТРИЦУ




ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ЭТОЙ МАТРИЦЫ НАЗЫВАЕТСЯ ^ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ ВРОНСКОГО ДЛЯ .


ТЕОРЕМА 1 .(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ Ф-ИЙ)

ЕСЛИ Ф-ИИ , ИМЕЮЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДО ПОЯДКА - ВКЛЮЧИТЕЛЬНО, ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ , ТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО





СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ , ТОЖДЕСТВЕННО РАВЕН НУЛЮ:


НА .


ДОК-ВО:


примеры. 1. дана система функций: 1,x,x2,…,xn-1.

доказать, что функции линейно-независимы.


2. дана система функций: 1, sin2x, cos2x

доказать, что функции линейно-зависимы.


3. дана система функций: 1, ex, e2x,…,e(n-1)x.

доказать, что функции линейно-независимы.

§ 5. структура общего решения ЛИНЕЙНОго однородного диф-го уравнения -го порядка.


пусть дано л.о.д.у. . (1)


^ ОПР.1. совокупность линейно-независимых частных решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.


Теорема 1. общее решение уравнения (1) –есть линейная комбинация линейно-независимых частных решений этого уравнения: (2) , где произвольные постоянные.


Д-во: