Реферат: Алгебра 3 семестр Элементы теории групп

АЛГЕБРА 3 семестр

Элементы теории групп

1. Определение группы. Левые, правые единицы и обратные 2. Симметрическая и знакопеременная группы

3. Примеры групп. Классические линейные группы

4. Циклические группы

5. Подгруппы. Необходимое и достаточное условие подгруппы. Циклические подгруппы. Примеры подгрупп

6. Классические группы малых размерностей

7. Группа корней из единицы, первообразные корни

8. Описание подгрупповой структуры групп S3, S4, А3, А4, V4, D4

9. Классы сопряженных элементов в симметрических группах и их подгруппах

10. Теорема Кэли.

11. Порождающие множества GL(n , K), SL(n , K), Sn, An

12. Конечные и бесконечные циклические группы

13. Теоремы о классах смежности. Теорема Лагранжа и ее следствия

14. Нормализатор и централизатор. Теорема о числе множеств, сопряженных данному

15. Нормальные подгруппы. Факторгруппа

16. Гомоморфизмы и изоморфизмы. Предложение о ядре гомоморфизма и полных прообразах. Теоремы о гомоморфизмах

17. Эндоморфизмы и автоморфизмы. Внутренние автоморфизмы

18. Центр и коммутант. Факторгруппа по коммутанту

19. Действие групп на множествах. Отношение эквивалентности. Стационарные подгруппы. Длина орбиты. Сопряженность стационарных подгрупп

20. Примеры действия групп

21. Центр конечной p-группы

22. Ложность обращения теоремы Лагранжа. Теоремы Силова

23. Внешнее прямое произведение. Разложение группы в прямое произведение

24. Конечные абелевы группы

Линейная алгебра (продолжение)

25. Диагонализуемость матрицы линейного оператора в случае простых и кратных корней.

26. Базис векторного пространства. Порождающая совокупность. Три эквивалентных определения базиса. Теорема о координатах вектора в базисе и ее следствия. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.


^ Евклидовы и унитарные пространства

27. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского.

28. Ортогонализация совокупности векторов. Линейная независимость ортогональных векторов. Теорема об ортогонализации.

29. Классификация евклидовых и унитарных пространств.

30. Следствия неравенства Коши-Буняковского.

31. Определитель Грамма.

32. Ортогональное дополнение.

33. Объем k-мерного параллелепипеда

Квадратичные формы

34. Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы

35. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

36. Канонический вид. Теорема Лагранжа

37. Вещественные квадратичные формы

38. Положительно определенные квадратичные формы

39. Критерий Сильвестра

40. Закон инерции квадратичных форм

41. Приведение вещественной квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

42. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к главным осям

Операторы в евклидовом и унитарном пространстве

43. Сопряженный оператор. Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора. Свойства 1-6 сопряженного оператора. Теорема о связи между матрицами оператора и к нему сопряженного. Теорема об инвариантных подпространствах. Теорема о характеристических многочленах сопряженных операторов над R и C

44. ^ Самосопряженный оператор. Свойства 1-5. Матрицы самосопряженных операторов над R и C. Теорема о корнях характеристического многочлена самосопряженного оператора. Диагонализуемость матрицы самосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе. Геометрический смысл действия самосопряженного оператора

45.^ Унитарные и ортогональные операторы. Три эквивалентных определения унитарного (ортогонального) оператора. Свойства 1-4. Матрицы унитарных (ортогональных) операторов над R и С. Собственные значения унитарных (ортогональных) операторов. Диагонализуемость матрицы унитарного оператора. Лемма о существовании одномерного или двухмерного инвариантного подпространства для линейного оператора, действующего в вещественном пространстве. Приведение матрицы ортогонального преобразования к наиболее простому виду. Геометрический смысл ортогонального преобразования плоскости

46. ^ Полярное разложение оператора

47. Билинейные и квадратичные формы. Теорема о приведении вещественной квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием


^ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977

2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984

3. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А.Алгебра. - М.: Гелиос АРВ, 2003

4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука, 1975

5. Боревич З.И. Определители и матрицы


1. Сборник задач по алгебре: Учебное пособие / Под ред. А.И. Кострикина. – М: Факториал, 1995.

2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984

3. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:Н., 1977

4. Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967.


1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.:Н., 1977.

2. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1965