Реферат: Одним из важнейших направлений астрономии в течение последнего времени является обработка астрономических изображений, т е

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ОБРАБОТКА АСТРОНОМИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ


Халак Василий


Научный руководитель: И.Л.Андронов,

доцент кафедры астрономии ОГУ


Одним из важнейших направлений астрономии в течение последнего времени является обработка астрономических изображений, т.е. оп­ределение средней освещенности в зависимости от координат изобра­жения. Классический методом является метод наименьших квадратов, позволяющий описывать данную зависимость гладкой функцией, "гася­щей" высокочастотные шумы, связанные с погрешностью наблюдений.

Поскольку двумерное изображение, заданное в дискретных точках, можно представить в виде наложения одномерных "разрезов", рас­смотрим для начала аппроксимацию функции z(x,у) по одной оси при фиксированном y:

z*(x) = a0 + a1 cos x + a2 cos2x + ... ak coskx + (1)

+ b1 sin x + b2 sin2x + ... bk sinkx

Поскольку значения z(x) заданы в дискретных точках xj=lj/n, где

n - число точек, а l - масштабный коэффициент, значения неизвест­ных a0,...,ak,b1,...,bk, согласно методу наименьших квадратов равны (для =2/n):



(2)



Соотношения 2 справедливы для всех m=1,...,k(n-1)/2 при нечетных значениях n. При четных n, bk=0, а ak следует разделить пополам по сравнению с формулой (2).

Нами была исследована зависимость формы сглаженной кривой (1) от числа гармоник k.Вычисления проводились первоначально на каль­куляторе, а затем была составлена программа на языке GW-Basic для ПЭВМ. В качестве примера мы задавали значения z(xj)=zj, равные

zj = A exp(-j-B)2/C ) + D RNDj (3)

и варьировали значения коэффициентов A,B,C,D. Здесь RNDj - случай­ное число. Также строились зависимости и от величины k.




На рисунке I показан график пробной функции

z(x)= 100*exp(-(x-8)2/18) + 60* exp(-(x-20)2/32)

(линия I), ее значения в точках xj=j, искаженные добавкой 10*RND

(кружки), аппроксимации по формуле (1) для k=4 (сглаживающая линия 2) и k=16 (интерполирующая линия 3). Как видно из рисунка, значе­ние k=4 достаточно для построения гладкой кривой, с хорошей точно­стью описывающей сумму двух экспонент. Небольшое систематическое отличие для 19<x<23 от "истинной кривой" I связано со случайным "выпадением вниз" четырех точек подряд. В качестве генератора слу­чайных чисел использовалась последовательность команд на языке бейсик, вызывающих встроенный генератор случайных чисел RND:

^ S=0: FOR K=1 ТО 6: A=RND: S=S+RND-RND: NEXT K

При каждом вызове значение RND меняется в интервале от 0 до 1, а сумма S близка к нормально распределенной случайной величине c нулевым средним и единичной дисперсией.

На рис.2 показаны зависимости относительной амплитуды

, параметров и

F(k)/F(0). Как видно из рисунка, при k>4 значение последнего па­раметра меняется незначительно, образует "плато", поэтому гармо­никами с k>4 можно пренебречь, как отражающими высокочастотные шумы. Это же видно и по резкому уменьшению амплитуд rk.


ОБЛАСТНАЯ СТАНЦИЯ ЮНЫХ ТЕХНИКОВ им.АКАДЕМИИ НАУК УКРАИНЫ
ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ, ПЕРВЫЕ ШАГИ,
Выпуск V, Одесса, 1992г. Подписано к печати 18.06.92г. Формат 60х94 1/1623>