Реферат: Общая теория статистики
Контрольная работа по общей теории статистикиЗадача № 1
Для изучения производительноститруда рабочих завода было проведено 10% -ое выборочное обследование по методуслучайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующиеданные о дневной выработке изделий рабочими:
Дневная выработка рабочих.
Таблица 1
Количество изделий за смену, шт. Число рабочих До 20 5 20-22 15 22-24 35 24-26 80 26-28 95 28-30 4 Свыше 30 1На основании этих данныхвычислите:
1. среднюю сменную выработку;
2. моду и медиану;
3. размах вариаций;
4. среднее линейное отклонение;
5. дисперсию;
6. среднее квадратичноеотклонение;
7. коэффициент вариации, оценитеоднородность совокупности;
8. с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и возможные границы, вкоторых можно ожидать среднюю выработку рабочих завода;
9. с той же вероятностью пределы удельного веса числа рабочих,вырабатывающих за смену свыше 26 изделий.
Сделайте выводы.
Решение:
За величины открытых интервалов (у которых верхняя илинижняя границы точно не определены) условно примем величины смежного закрытогоинтервала. Т.е. величина интервала первого интервала равна величине второгоинтервала и равна 2, а величина 7-го интервала равна величине 6-го и равна 2. Найдемсреднее значение признака по формуле:
/>,
где /> -среднее значение признака; xi — значение признака на интервале (серединаинтервала); mi — частота повторения признака на интервале.
/>.
Найдем моду и медиану выборки.Мода — это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для данной выборкимода равна группе 26-28. Медиана — величина признака, которая делитупорядоченную последовательность его значений на две равные по численностичасти. Для данной выборки медианный интервал равен 24-26. Таким образом, чащевсего, изготавливают от 24 до 26 деталей, причем половина рабочих изготавливаетбольше 25 деталей. Найдем размах вариаций. Нижняя граница выборки равна xmin=18; верхняя граница выборки равна xmax= 30 + 2 = 32.
Размах вариаций H = xmax — xmin = 32 — 18 = 14.
Среднее линейное отклонениенайдем по формуле:
/>,
где Л — среднее линейноеотклонение.
/>
Найдем дисперсию признака поформуле:
/>,
где /> -дисперсия признака.
/>
Среднее квадратичное отношение />.
Коэффициент вариации />.
Коэффициент вариации меньше 33 %,значит выборка однородная.
Возможные пределы, в которыхожидается средняя выработка рабочих завода с вероятностью 0,954 найдем изформулы:
/>
где t — коэффициент доверия призаданной степени вероятности (находится по таблице).
/>-средняя ошибка выборочной средней;
/> -предельная ошибка выборки Δ.
Средняя ошибка выборочнойсредней находится по формуле:
/>,
где N — общее число изделий.
В нашем случае n / N = 0,1, т.кпроводилось обследование 10% изделий.
/>.
t (0,954; 100) = 2,0,следовательно предельная ошибка и интервал равны:
Δ = 2,0 · 0,13 = 0,26 шт.
(25,2 — 0,26; 25,2 + 0,26) (24,94;25,46).
Т. е. средняя выработка рабочихзавода с вероятностью 0,954 будет в интервале от 24,94 до 25,46 штук за смену.
Возможные пределы удельного весачисла рабочих, вырабатывающих более 26 изделий за смену с вероятностью 0,954найдем из формулы:
/>,
где/>-средняя ошибка выборочной доли. Она находится по формуле:
/>,
/>-частота появления альтернативного признака, равная m/n, где m — число случаев ввыборке, когда стаж попадает в заданный интервал. В нашем случае m = 95 + 4 + 1= = 100 и /> = 100/235 = 0,43. Тогда:
/>,
t (0,954) = 2,0, предельнаяошибка выборочной доли равна /> = 0,06
Следовательно интервал равен:
(0,43 — 0,06; 0,43 + 0,06); (0,424;0,436).
Т. е. с вероятностью 0,954 от42,4% до 43,6% рабочих будет вырабатывать более 26 изделий за смену.
Задача №2.Имеются следующие данные опродаже товаров на колхозном рынке города.
Таблица 2. Реализация товаров нарынке города
Наименование товара Средняя цена единицы товара, руб. Продано товара, тыс. ед. Базис Отчет Базис Отчет Молоко, л 3500 3000 500 500 Картофель, кг 1500 1000 600 700 Морковь, кг 3000 2000 150 200Определите:
1. индивидуальные индексы цен иколичества проданных товаров;
2. общий индекс цен;
3. общий индекс физическогообъема товарооборота;
4. выполните факторный анализ.
На основании индексов,исчисленных в пунктах 2,3, используя взаимосвязь индексов определить, насколько процентов изменился товарооборот в фактических ценах.
Решение:
Индивидуальный индекс ценынайдем по формуле:
/>,
гдеip — индивидуальный индекс цены продукции,
p1 и p0-цена продукции в отчетном и базисном периодах соответственно.
Найдем индивидуальные индексыцен для всех товаров
[молоко] ip = 3000/3500= 0,857.
[картофель] ip = 1000/1500= 0,667.
[морковь] ip = 2000/3000= 0,667.
Индивидуальный индекс объемапродукции найдем по формуле:
/>,
гдеiq — индивидуальныйиндекс объема продукции,
q1 и q0-объем продукции в отчетном и базисном периодах соответственно. Найдеминдивидуальные индексы физического объема для всех товаров:
[молоко] iq = 500/500= 1,0., [картофель] iq = 700/600 = 1,667.
[морковь] iq = 200/150= 1,333.
Общий индекс цен найдем поформуле:
/>,
где Ip — общий индексцен.
/>.
Общий индекс физического объеманайдем по формуле:
/>,
где Iq — общий индексфизического объема.
/>.
Общий индекс товарооборотанайдем, используя индексную факторную модель.
Поскольку товарооборот равенпроизведения цены товаров на объем продаж, то общий индекс товарооборота равенпроизведению общего индекса цен на общий индекс физического объематоварооборота:
Ipq= Ip · Iq.,где Ipq — общий индекс товарооборота.
Т.о. общий индекс товарооборота:
Ipq = 0,765 · 1,097 =0,839.
Т. к. общий индекс товарооборотаменьше 1, то товарооборот в фактических ценах уменьшился на 16,1% (1 — 0,839 =0,161)
Задача № 3.Динамика себестоимости и объемапродукции «А» на двух заводах характеризуется следующими данными:
Таблица 3. Выпуск продукции«А».
Заводы Себестоимость единицы продукции, тыс. руб. Выработано продукции, тыс. руб. Базис Отчет Базис Отчет 1. 4,0 3,4 2,0 3,0 2. 3,5 3,0 3,0 5,0На основании этих данныхвычислите:
1. индекс себестоимостипеременного состава;
2. индекс себестоимостипостоянного состава;
3. индекс структурных сдвигов.
Покажите взаимосвязь исчисленныхиндексов.
Решение:
Индексом переменного состава встатистике называют отношение двух средних величин. Найдем индекс переменногосостава по следующей формуле:
/>,
где /> -индекс переменного состава;
/> и/> - средняя себестоимость вотчетном и базисном периодах соответственно;
p1 и p0-цена продукции в отчетном и базисном периодах соответственно.
q1 и q0-объем продукции в отчетном и базисном периодах соответственно.
/>.
Индекс себестоимости постоянногосостава найдем как общий индекс по формуле:
/>,
где Iс — индекссебестоимости постоянного состава.
/>.
Индекс структурных сдвиговнайдем по формуле:
/>,
где Iстр. сдв. — индекс структурных сдвигов.
/>.
Индексы переменного, постоянногосостава и структурных сдвигов связаны соотношением:
/> =Iс · Iстр. сдв.
Проверим: 0,854 · 0,996 = 0,851.
Малая величина индексаструктурных сдвигов (-0,4%) говорит о том, что изменение соотношения объемовпроизводства из-за структуры себестоимости менее ощутимо. Основное изменениезатрат связано с уменьшением себестоимости продукции.
Задача №4
Имеются следующие данные попромышленному предприятию:
Таблица 4
ПОКАЗАТЕЛИ ТЫС. РУБ. Полная первоначальная стоимость основных фондов на начало года 6000 Введено новых фондов в течении года 1900 Выбыло фондов 800 Численность рабочих, чел. 8000 Валовая продукция в сопоставимых ценах 1950Определить:
стоимость основных фондов наконец года;
среднегодовую стоимость основныхфондов;
коэффициенты выбытия иобновления фондов;
фондоотдачу (2-мя способами).
Решение:
Стоимость основных фондов наконец года найдем прибавив к стоимости основных фондов на начало года (6000)стоимость новых введенных фондов (1900) и отняв стоимость выбывших фондов (800).Тогда стоимость основных фондов на коней года равна:
ОПФк = ОПФн+ ОПФввед — ОПФвыб
ОПФк = 6000 + 1900 — 800 = 7100 тыс. руб.
Среднегодовая стоимость основныхфондов равна полусумме стоимости основных фондов на начало и конец года:
/> =(ОПФн + ОПФк) / 2
/> =(6000 + 7100) / 2 = 6550 тыс. руб.
Коэффициент выбытия основныхфондов равен отношению стоимости выбывших основных фондов к стоимости основныхфондов на начало года.
Квыб = ОПФвыб/ ОПФн, Квыб = 800/6000 = 0,133
Коэффициент обновления основныхфондов равен отношению стоимости введенных основных фондов к стоимости основныхфондов на конец года.
Кобн = ОПФввед/ ОПФк, Кобн = 1900/7100 = 0,267
Фондоотдача равна отношениюстоимости валовой продукции к среднегодовой стоимости основных фондов.
Фо = PQ / />, Фо = 1950/6550 = 0,2977
Фондоемкость продукции равнаотношению среднегодовой стоимости основных фондов к стоимости валовой продукцииза год.
Фе = /> /PQ
Фе = 6550/1950 = 3,359
Фондоотдача равна единицеделенной на фондоемкость:
Фо = 1/Фе
Фо = 1/3,359 = 0,2977
Задача № 5
Фактическая стоимостьреализованной продукции (в оптовых ценах предприятия) за полугодие составила2090 тыс. руб. при плане 2005 тыс. руб. Определить выполнение плана по числуоборотов оборотных средств, если известны следующие данные о наличии оборотныхсредств (тыс. руб.)
Таблица 5
Оборотные средства, тыс. руб. По плану Фактически на 1.07.95 410 400 на 1.08.95 500 500 на 1.09.95 500 510 на 1.10 95 500 495 на 1.11.95 510 505 на 1.12.95 510 515 на 1.01.96 510 508Решение:
Средний уровень для моментногоряда рассчитывается по формуле:
/>;
Рассчитаем среднее значениястоимости оборотных средств за второе полугодие 1995 г.
/> тыс. руб.
/> тыс. руб.
Число оборотов оборотных средствнайдем как отношение стоимости реализованной продукции к средней стоимостиоборотных средств.
ОБплан = 2005/510 =3,93
ОБфакт = 2090/497,3 =4,2
Выполнение плана по числуоборотов:
4,2/3,93 · 100 = 106,87%
Задача № 6
Производство электроэнергиихарактеризуется следующими показателями:
Таблица 6.
Год Производство электроэнергии, млрд. квт. ч 1 506,7 2 544,6 3 587,7 4 638,6 5 689,0 6 740,0Для анализа ряда динамикирассчитайте:
1. показатели, характеризующиединамику производства энергии: абсолютный прирост, темпы роста и прироста,результаты расчетов изложите в табличной форме (табл.7);
2. средний уровень исреднегодовой темп ряда динамики;
3. покажите взаимосвязь междуцепными и базисными показателями;
4. для определения основнойтенденции ряда произведите выравнивание ряда динамики с помощью уравненияпрямой.
Изобразите первоначальный ивыровненный динамические ряды.
Сделайте выводы.
Решение:
Рассчитаем показатели динамикипо следующим формулам:
Абсолютный прирост базисный:
Diбаз = Yi — Y1,
где Y1 — уровень производства электроэнергии впервый год, Yi — уровень производства электроэнергии в i-ый год. Абсолютныйприрост цепной:
Diцеп = Yi — Yi-1,
где Yi-1 — уровеньпроизводства электроэнергии в предшествующий i-му год.
Ускорение: а2 = Di цеп — Di-1 цеп… Темп роста базисный: Тр = (Yi/ Y1) ·100.
Темп роста цепной: Тр= (Yi / Yi-1) ·100. Темп прироста базисный: Тпр= Тр — 100. Темп прироста цепной: Тпр = Тр — 100. Рассчитанные показатели сведем в таблицу:
Таблица 7. Показатели динамикипроизводства электроэнергии
Годы Производство электроэнергии, млрд. квт. ч Абсолютный прирост Темп роста,% Темп прироста,% базисный цепной базисный цепной базисный цепной 1 506,7 - - 100 - - - 2 544,6 37,9 37,9 107,48 107,48 7,48 7,48 3 587,7 81 43,1 115,99 107,91 15,99 7,91 4 638,6 131,9 50,9 126,03 108,66 26,03 8,66 5 689,0 182,3 50,4 135,98 107,89 35,98 7,89 6 740,0 233,3 51 146,04 107,40 46,04 7,40Средний уровень для моментногоряда рассчитывается по формуле:
/>;
/>.
Для определения среднегодовоготемпа роста воспользуемся формулой:
/>,
где k — число субпериодов в рядудинамики.
/>
Явно видна взаимосвязь междуцепными и базисными показателями только у абсолютного прироста.
Она вытекает из методов расчетаэтих показателей.
Т. е. базисный абсолютныйприрост какого-либо года равен сумме всех цепных приростов от этого года доначала периода.
Т. к. темп роста вычисляется впроцентах, то множитель 100 затеняет связь между показателями, если же перейтик коэффициенту роста равному темпу роста, деленному на 100, то виднавзаимосвязь через произведение:
/> или/>.
Для определения основнойтенденции ряда произведем выравнивание ряда динамики с помощью уравненияпрямой:
Yi теор = а0+ а1ti,
где Yi теор — рассчитанноевыровненное значение производства электроэнергии, после подставления вуравнение значения ti. Для нахождения а0и а1решим следующую систему.
/>
Для решения системы составимтаблицу:
Таблица 8
Годы Производство электроэнергии, млрд. квт. ч t Y*t t2 f (t) 1 506,7 -5 -2533,5 25 499,87 2 544,6 -3 -1633,8 9 547,03 3 587,7 -1 -587,7 1 594, 19 4 638,6 1 638,6 1 641,35 5 689,0 3 2067 9 688,51 6 740,0 5 3700 25 735,67 Итого 3706,6 1650,6 70 3706,6
а0= 3706,6/6= 617,8 и а1 = 1650,6/70 = 23,58.
Таким образом, f (t) = 617,8 +23,58t, для t= -5, -3, …, +3, +5, или
f (t) = 452,7 + 47,16t, для t =1, 2, 3, 4, 5,6. а1 = 47,16 — показатель силы связи, т.е. запериод 6 лет происходило увеличение производства на 47,16% ежегодно. Изобразимисходный и выровненный ряды. Как видим, исходный ряд несильно отличается отвыровненного, т.е. уравнение прямой адекватно отражает сложившуюся в рядудинамики тенденцию.
/>Задача №7
Из отчетов 26 предприятийотрасли получены следующие данные об их работе в отчетном периоде:
Таблица 9.Результаты работыпредприятий
Заводы, п/п Продукция, в сопоставимых ценах, млрд. руб. Стоимость основных производственных фондов, млрд. руб. 1. 7,1 7,3 2. 2,9 4,1 3. 14,0 10,7 4. 4,8 7,3 5. 15,7 12,5 6. 11,8 8,4 6. 16,1 11,5 8. 16,6 12,7 9. 10,2 7,8 10. 0,6 0,7 11. 0,9 0,9 12. 2,6 2,5 13. 5,5 5,6 14. 4,1 4,0 15. 4,9 4,8 16. 0,9 1,0 17. 1,3 1,2 18. 6,4 5,2 19. 2,8 2,5 20. 0,8 0,9 21. 0,7 0,8 22. 4,9 3,9 23. 12,1 10,6 24. 12,2 11,7 25. 11,8 10,7 26. 8,5 6,1С целью выявления зависимостимежду стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукциипроизведите группировку заводов по размеру основных фондов, образовав к группзаводов с равными интервалами. Величину интервалов определите с помощью правилаСтерджесса. По каждой группе подсчитайте:
число заводов;
стоимость основныхпроизводственных фондов — всего и в среднем на один завод;
стоимость валовой продукции — всего и в среднем на один завод;
фондоотдачу (в процентах).
Результаты представьте вгрупповой итоговой таблице 10. Сделайте выводы.
Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак- у) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак — х). Наосновании исходных данных:
1. постройте поле корреляции, составьте корреляционную таблицу, определивчисло интервалов по правилу Стреджесса, нанесите эмпирическую линию регрессиина поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;
2. в целях синтезирования моделей зависимостей задайте вид и вычислитепараметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии награфик.
3. для установления практической значимости модели вычислите возможныепоказатели тесноты связи (коэффициент детерминации, эмпирическое итеоретическое корреляционные отношения, линейный коэффициент корреляции);
4. оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п. п.2,3, 4;
5. используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции дляпредприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд. руб.
Решение:
Определим количество интерваловпо правилу Стерджесса. Разделим выборку на L классов, где L = 1 + 3,322·lg (26)= 6. При группировке с равными интервалами для расчета длины одного интервалаприменяется формула:
/>,
где h — длина одного интервала;
xmax — максимальноезначение группировочного признака;
xmin — минимальноезначение группировочного признака;
Найдем длину интервала:
/>
Найдем в какую группу попадаеткаждый завод и запишем ее номер в дополнительный столбец в таблице исходныхданных. Рассчитаем требуемые параметры по группам и полученные значения сведемв таблицу:
Таблица 10.
/>
Итак, наибольшие стоимость ОПФ иразмер валовой продукции имеет группа заводов №6, у заводов этой же группынаибольшее среднее значение размера валовой продукции и фондоотдачи.
Определим количество интерваловпо правилу Стерджесса. Разделим выборку на L классов, где L = 1 + 3,322·lg (26)= 6.
Найдем длину интервала поразмеру валовой продукции:
/>
Составим корреляционную таблицу
Х \ Y 0,6 — 3,3 3,3 — 5,9 5,9 — 8,6 8,6 — 11,2 11,2 — 13,9 13,9 — 16,6 Итого 0,7 — 2,07 6 6 2,07 — 4,07 3 2 5 4,07 — 6,07 2 2 4 6,07 — 8,07 1 1 1 1 4 8,07-10,07 2 1 3 10,07-12,07 1 3 4 Итого 9 5 3 1 4 4 26Построим поле корреляции и нанесем на него эмпирическую линию корреляции.
/>
Анализируя поле корреляции илинию регрессии можем видеть, что зависимость имеет скорее всего линейный вид исвязь сильная.
Запишем уравнение регрессии как
Yiтеор= a0+ a1Xi,
где Yiтеор — рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановкив уравнение Х. Параметры a0и a1 найдем по формулам вытекающей из МНК:
a1 =/>,a0= />.
Итак:
a1 = 1,26; a0= 7,05- 1,26 · 4,45 = 0,15.
Т. е. Yiтеор = 0,15 +1,26·Xi.
Нанесем теоретическую линиюрегрессии на график
/>
Коэффициент детерминации R2 рассчитывается по формуле
R2=/>.
R2= (67,68/80,65) = 0,84
Т. е. теоретическая регрессия на84 процента совпадает с эмпирическими данными.
Теоретическое корреляционноеотношение R равно корню квадратному из коэффициентадетерминации:
R = /> = 0,916
Т. е. 91,6% вариации обусловленоразличием между заводами.
Линейный коэффициент корреляциирассчитаем по формуле:
/>.
/>.
Т.к. линейный коэффициенткорреляции равен 0,643, то связь средняя или заметная. Надежность коэффициентовоценим по отношению:
/>; />
Т. к. отношение больше чем t = 2,56, то коэффициенты надежны.
Итак получена линейная модель Yiтеор = 0,15 + 1,26·Xi,которая будучи нанесенной на график достаточно хорошо характеризует выборку.Связанность факторного и результативного признака заметная и линейныйкоэффициент надежен.
Спрогнозируем по моделистоимость продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд. руб.
Y = 0,15+ 1,26·14 = 17,79 млрд. руб.