Реферат: Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)
И.Я. Лукасевич
Потокплатежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалымежду любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовойрентой или аннуитетом (annuity).
Теоретически,в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразныевиды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлениемвыплат в начале, середине или конце периода и др. [13, 16]
Вфинансовой практике часто встречаются так называемые простые или обыкновенныеаннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получениеили выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции вконце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и.т.д.).
Выплатыпо облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочнойаренде, страховым полисам, формирование различных фондов – все это далеконеполный перечень финансовых операций, денежные потоки которых, представляютсобой обыкновенные аннуитеты. Рассмотрим их свойства и основные количественныехарактеристики.
Согласноопределению, простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:
1)все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF;
отрезкивремени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. tn — tn-1 = ...= t2 — t1.
Вотличии от разовых платежей, для количественного анализа аннуитетов нам понадобятсявсе выделенные ранее характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и n.
Будущаястоимость простого (обыкновенного) аннуитета
Будущаястоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих егоплатежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.
Методикуопределения будущей стоимости аннуитета покажем на следующем примере.
Пример1.10
Финансоваякомпания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений вбанк сумм в 10000 под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-гогода?
FV4= 10000(1+0,10)3+10000(1+0,10)2+10000(1+0,10)1+10000 = 46410.
Дляn-периодов:
/>. (1.10)
Выполнивряд математических преобразований над (1.10), можно получить более компактнуюзапись:
/>. (1.11)
Какуже отмечалось ранее, платежи могут осуществляться j-раз в году (ежемесячно,ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда числоплатежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m. В этомслучае общее число платежей за n-лет будет равно mn, процентная ставка – r/m, авеличина платежа – CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (1.11), получим:
/>. (1.12)
Пример1.11
Предположим,что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000. Ставка равна 12%годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада кконцу 4-го года?
Общееколичество платежей за 4 года равно: 4´ 12 = 48. Ежемесячная процентнаяставка составит: 12 / 12 = 1%. Тогда:
/>.
Процентнаяставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисленияm, называется периодической.
Следуетотметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычисленияхтолько в том случае, если число платежей в году равно числу начисленийпроцентов.
Текущая(современная) стоимость простого аннуитета
Подтекущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всехсоставляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.
Определениетекущей стоимости денежного потока, представляющего собой простой аннуитет,покажем на следующем примере.
Пример1.12
Предположим,что мы хотим получать доход, равный 1000 в год, на протяжении 4-х лет. Какаясумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна10% годовых?
PV= 1000/l,10 + 1000/(l,10)2 + 1000/(l,10)3 + 1000/(l,10)4 = 3169,87.
Общеесоотношение для определения текущей величины аннуитета имеет следующий вид:
/>. (1.13)
Нетруднозаметить, что выражения в квадратных скобках в (1.13) представляет собоймножитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу.Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этотмножитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного емуаннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовоманализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к видуобыкновенного аннуитета.
Дляслучая, когда выплаты сумм аннуитета и начисления процентов совпадают вовремени, т.е. j = m, удобно использовать соотношение вида:
/>. (1.14)
Исчислениесуммы платежа, процентной ставки и числа периодов
Величинупериодического платежа CF и числа периодов проведения операции n дляобыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (1.9), так и(1.11).
Еслиизвестна будущая стоимость FV, при заданных n и r величина платежа может бытьнайдена из (1.11):
/>. (1.15)
Приэтом выражение в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения илинакопления (sinking fund factor).
Соответственноесли неизвестной величиной является n, она определяется по формуле:
/>. (1.16) Вслучае, если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определенияCF и n примут следующий вид:
/>. (1.17)
/>. (1.18)Выражение в квадратных скобках в (1.17) называют коэффициентом восстановленияили возмещения капитала (capital recovery factor).
Исчислениепроцентной ставки для денежных потоков в виде серии платежей представляетопределенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечиваютполучение лишь приближенной оценки и не рассматриваются в настоящей работе. Какбудет показано в дальнейшем, современные табличные процессоры позволяют безособых затруднений определять этот важнейший параметр любой финансовойоперации. Автоматизация исчисления характеристик аннуитетов
Группуфункций EXCEL, предназначенную для автоматизации расчетов характеристиканнуитетов, составляют уже хорошо известные вам функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(),ПЗ() (см. табл. 1.1), к которым добавляется функция определения периодическогоплатежа – ППЛАТ().
ФункцияППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип])
Даннаяфункция применяется в том случае, если необходимо определить величинупериодического платежа – CF.
Предположим,что в примере 1.11 требуется определить размер периодического платежа при заданнойбудущей величине фонда в 46410.
=ППЛАТ(0,1;4; 0; 46410) (Результат: -10000,00).
Длябанка, в котором размещен данный депозит, периодические платежи означают притоксредств, а конечная сумма по депозиту – расход:
=ППЛАТ(0,1;4; 0; -46410) (Результат: 10000,00).
Обратитеособое внимание на значение параметра «нз» (PV). Условиями даннойоперации наличие первоначальной суммы на депозите в момент времени t = 0 непредусмотрено, поэтому значение параметра «нз» равно нулю. Изменимусловия примера 1.10 следующим образом.
Пример1.13
Финансоваякомпания создает фонд для погашения обязательств путем помещения в банк суммы в50000, с последующим ежегодным пополнением суммами по 10000. Ставка по депозитуравна 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?
=БЗ(0,1;4; -10000; -50000) (Результат: 119615,00).
Соответственноизменится и формат функции для определения величины ежегодного платежа:
=ППЛАТ(0,1;4; -50000; 119615) (Результат: -10000,00).
Вслучае, если условиями контракта предусмотрено начисление процентов в началекаждого периода, при исчислении любой характеристики финансовой операциинеобходимо задавать аргумент “тип”, равный 1.
Дляпредыдущего примера, функции вычисления будущей величины и периодическогоплатежа будут иметь следующий вид:
=БЗ(0,1;4; -10000; -50000; 1) (Результат: 124256,00).
=ППЛАТ(0,1;4; -50000; 124256; 1) (Результат: -10000,00).
Отметим,что начисление процентов в начале каждого периода всегда приводит к большемузначению будущей величины аннуитета за тот же срок.
Приначислении процентов m-раз в году, величины r и n корректируются также, как и впредыдущих примерах.
Попробуйтесамостоятельно построить шаблон для определения количественных характеристикденежных потоков, представляющих собой простой аннуитет. Его можно получитьпутем несложных преобразований предыдущего шаблона, воспользовавшись командамиредактирования ППП EXCEL.
Нарис. 1.7 приведен один из простейших вариантов подобного шаблона, который можетбыть взят за основу. Формулы шаблона приведены в табл. 1.3.
Таблица1.3
Формулашаблона (аннуитеты)
Ячейка Формула В15 =БЗ(B5/B6;B7*B6;B10;B8;B11) В16 =НОРМА(B7*B6;B10;B8;B9;B11) В17 =B16*B6 B18 =КПЕР(B5/B6;B10;B8;B9;B11) В19 =ПЗ(B5/B6;B7*B6;B10;B9;B11) В20 =ППЛАТ(B5/B6;B7*B6;B8;B9;B11)/>
Рис.1.7. Шаблон для анализа аннуитетов
Сохранитеразработанный вами шаблон на магнитном диске под именем ANNUI_AN.XLT.
Проверимработоспособность шаблона на решении следующих типовых задач.
Пример1.14
Корпорацияпланирует ежегодно в течении 10 лет делать отчисления по 5000 для созданияфонда выкупа своих облигаций. Средства помещаются в банк под 12% годовых. Какаясумма будет накоплена к концу срока операции?
Введемв ячейки колонки В необходимые исходные данные. Полученная в итоге таблицабудет иметь следующий вид (рис. 1.8).
/>
Рис.1.8. Решение примера 1.14
Величинафонда погашения к концу срока проведения операции составит 87743,68 приначислении процентов в конце каждого периода и 98272,92 при начислениипроцентов в начале каждого периода (осуществите проверку этого расчетасамостоятельно!).
Вслучае если при решении задач требуется одновременный анализ несколькихальтернатив, скопируйте в соседние колонки необходимое количество раз блокячеек, содержащий формулы.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/