Реферат: Основы финансовых вычислений

Олег Лытнев

Однимиз важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени.При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильнойэкономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние,которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предприятию,просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогичнопоступают со всеми остальными денежными потоками, что позвляет оперировать ихитоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условияхсильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимостиданных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием синтервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковуюценность. Очевидно, что 1 млн. рублей в начале 1992 года был значительновесомее миллиона “образца” 1993 и более поздних лет. Как правило, в таких случаяхпроизводят корректировку отчетных данных с учетом инфляции. Но проблема несводится только к учету инфляции. Одним из основополагающих принциповфинансового менеджмента является признание временной ценности денег, то естьзависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегосядо их получения или расходования. В экономической теории данное свойствоназывается положительным временным предпочтением.

Нарядус инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшиепричины данного экономического феномена. Во-первых, “сегодняшние” деньги всегдабудут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будеттем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого“завтра”. Во-вторых, располагая денежными средствами “сегодня”, экономическийсубъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработатьприбыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности.Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времени (допустим,давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску ихневозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученныхдоходов от инвестирования. Кроме того снижается его платежеспособность, так каклюбые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкуюликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск потериликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения.Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать насебя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоствляя кредит, ониустанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностьювозместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека,расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками.

Количественноймерой величины этого возмещения является процентная ставка. С ее помощью можетбыть определена как будущая стоимость “сегодняшних” денег (например, если ихсобираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая или приведенная)стоимость “завтрашних” денег – например, тех, которыми обещают расплатитьсячерез год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае говорят обоперации наращения, поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной.Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости кее современной величине (текущему моменту) – отсюда термин дисконтированная,приведенная или текущая стоимость. Операции наращения денег по процентнойставке более просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольночасто беря или давая деньги взаймы. Однако для финансового менеджментазначительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков,приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечениясопоставимости величины распределенных по времени платежей. В принципе,дисконтирование – это наращение “наоборот”, однако для финансовых расчетовважны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так иобратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать ихприменительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарныеоперации с единичными суммами (разовыми платежами).

Процентнаяставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени.Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежныхединицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S,а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка iявляется относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, иопределяется делением процентов на первоначальную сумму:

/>(1)

Можнозаметить, что формула расчета процентной ставки идентична расчетустатистического показателя “темп прироста”. Действительно, если абсолютнаясумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, тоотношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом приростаперовначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставкеназывается декурсивным методом начисления процентов.

Кромепроцентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта),величина которой определяется по формуле:

/>, (2)

гдеD – сумма дисконта.

Сравниваяформулы (2) и (3) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта Dопределяются одинаковым образом – как разница между будущей и современнойстоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если впервом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, тово втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины.(Diskont в переводе с немецкого означает “скидка”). Неудивительно, что основнойобластью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратныйпо отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется идля наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах.

Припомощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложныепроценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммыпроисходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – вгеометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простымипроцентами.

Начислениепростых декурсивных и антисипативных процентов производится по различнымформулам:

декурсивныепроценты: />(3)

антисипативныепроценты: />,(4)

гдеn – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Дляупрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (4) называютсямножителями наращения простых процентов: (1 + ni) – множитель наращениядекурсивных процентов; 1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативныхпроцентов.

Например,ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых. Вслучае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) будет равна 1,15 млн. рублей(1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей(1,15 – 1). Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращеннаявеличина (Sd) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а суммапроцентов (D) 0,176 млн. рублей. Наращение по антисипативному методу всегдапроисходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки.Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым имиссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток:как видно из формулы (4), при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль ивыражение теряет смысл.

Вообще,начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполненияпрямо противоположной операции – дисконтирования – имеет оттенок некой“неестественности” и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, котораяможет возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определенияскидок и наценок на свои товары). С позиции математики никакой сложности здесьнет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем:

/>(5)

Соблюдаяэто условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как поформуле (3), так и по формуле (4).

Антисипативнымметодом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, вчастности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетнойставке и сроку, даст искомый результат. В следующем параграфе будут рассмотреныконкретные примеры возникновения подобных ситуаций.

Какправило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому ониназываются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частотапроцессов наращения в течение года не влияет на результат. То есть нет никакойразницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых.Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентнойпростой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. Данное свойствообъясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставкепредставляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a1 = P и разностьюd = (P * i).

P, P + (P * i), P + 2 * (P * i), P + 3 * (P * i), …, P + (k – 1) *(P * i)

Наращеннаясумма S есть ничто иное как последний k-й член этой прогрессии (S = ak = P + n* P * i), срок ссуды n равен k – 1. Поэтому, если увеличить n и одновременнопропорционально уменьшить i, то величина каждого члена погрессии, в том числе ипоследнего, останется неизменной.

Однакопродолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной сначислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числулет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных(длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблемаопределения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначитьпродолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временнаябаза), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3)и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K.Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

длядекурсивных процентов: />(6)

дляантисипативных процентов: />, (7)

Вразличных случаях могут применяться различные способы подсчета числа дней вгоду (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или 360дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Проблема усугубляется наличиемвисокосных лет. Например, обозначение ACT/360 (actual over 360) указывает нато, что длительность года принимается равной 360 дням. Однако возникает вопрос,а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредитвыдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого же года, как считать егодлительность – по календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен30 дням? Безусловно, в каждом конкретном случае может быть выбран свойоригинальный способ подсчета числа дней, однако на практике выработанынекоторые общие принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любойконкретной ситуации.

Есливременная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называютсяточными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих илиобыкновенных процентах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может бытьили приближенным, когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным– по календарю или по специальной таблице номеров дней в году. Определяяприближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцеви умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим длявсех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредитасчитаются за 1 день (назовем его граничный день). В приведенном выше условномпримере точная длительность ссуды составит по календарю 99 дней (21 день вмарте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне + 1 граничный день).Тот же результат будет получен, если использовать таблицу номеров дней в году(10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня – 168). Если же использоватьприближенный способ подсчета, то длительность ссуды составит 98 дней (21 + 2 *30 + 16 + 1).

Наиболеечасто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды(цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K):

Точныепроценты с точным числом дней (365/365).

Обыкновенные(коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360).

Обыкновенные(коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360).

Различияв способах подсчета дней могут показаться несущественными, однако при большихсуммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличныхразмеров. Предположим, что ссуда в размере 10 млн. рублей выдана 1 мая свозвратом 31 декабря этого года под 45% годовых (простая процентная ставка).Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. Табличноезначение точной длительности ссуды равно 244 дня (365 – 121); приближеннаядлительность – 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).

10* (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублей

10* (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублей

10* (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей

Разницамежду наибольшей и наименьшей величинами (13,05 – 13,008) означает, что должникбудет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, чтосогласился (или не обратил внимания) на применение 2 способа начисленияпроцентов.

Обратнойзадачей по отношению к начислению процентов является расчет современнойстоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходедисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениямпроцентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная(современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того,какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется длядисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование ибанковский учет.

Методбанковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, входе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой илипереводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этомдокументе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценойобразует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Дляопределения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта)применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используетсяпростая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселяопределяется по формуле:

/>(8)

гдеt – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этоговыражения (1 – (t / k ) * d) называется дисконтным множителем банковского учетапо простым процентам. Как правило, при банковском учете применяютсяобыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант). Например,владелец векселя номиналом 25 тыс. рублей обратился в банк с предложениемучесть его за 60 дней до наступления срока погашения. Банк согласен выполнитьэту операцию по простой учетной ставке 35% годовых. Выкупная цена векселясоставит:

P= 25000 * (1 – 60/360 * 0,35) = 23541,7 руб.,

асумма дисконта будет равна

D= S – P = 25000 – 23541,7 = 1458,3 руб.

Приматематическом дисконтировании используется простая процентная ставка i.Расчеты выполняются по формуле:

/>(9)

Выражение1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математическогодисконтирования по простым процентам.

Этотметод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когдавозникает необходимость определить современную величину суммы денег, котораябудет получена в будущем. Например, покупатель обязуется оплатить поставщикустоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн.рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенныепроценты). Следовательно текущая стоимость товаров будет равна:

P= 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублей

Применивк этим условиям метод банковского учета, получим:

P= 1 * (1 – 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. рублей

Второйвариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-тожестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетовне существует. Никто не может запретить участникам финансовой операции выбратьв данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета.Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило,выбирается метод, более выгодный для кредитора (инвестора).

Основнойобластью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочныефинансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простымиставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов,потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменнойисходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитываютвозможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращениепроизводится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первымчленом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i).

P, P * (1 + i), P * (1 + i)2, P * (1 + i)3, …, P * (1 + i)n,

гдечисло лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1).

Наращеннаястоимость (последний член прогрессии) находится по формуле:

/>(10),

где(1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов.

Спозиций финансового менеджмента использование сложных процентов является болеепредпочтительным, т.к. признание возможности собственника в любой моментинвестировать свои средства с целью получения дохода является краеугольнымкамнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов этавозможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаютсяменее корректными. Тем не менее при краткосрочных финансовых операцияхпо-прежнему широко применяются вычисления простых процентов. Некоторыематематики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у финансистовне было под рукой калькуляторов и они были вынуждены прибегать к более простым,хотя и менее точным способам расчета. Представляется возможным и несколько иноеобъяснение данного факта. При длительности операций менее 1 года (n < 1)начисление простых процентов обеспечивает получение результатов даже болеевыгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. Выше ужеотмечалась закономерность выбора банками именно таких, более выгодных длякредитора способов. Поэтому было бы наивно недооценивать вычислительныемощности современных банков и интеллектуальный потенциал их сотрудников,полагая, что они используют грубые методы расчетов только из-за их низкойтрудоемкости. Трудно представить себе банкира, хотя бы на секунду забывающего особственной выгоде.

Самапо себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой ирассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется поформуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применениесложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод):

/>, (11)

где1 / (1 – d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов.

Однакопрактическое применение такого способа наращения процентов весьма ограничено ион относится скорее к разряду финансовой экзотики.

Какуже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при анализедолгосрочных финансовых операций (n > 1). На большом промежутке времени вполной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления “процентов напроценты”. В связи с этим вопрос измерения длительности операции ипродолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. Какправило, неполное количество лет выражают дробным числом через количествомесяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные подсчеты дней. Поэтому вформуле начисления сложных процентов число лет практически всегда обозначаетсябуквой n, а не выражением t/K, как это принято для простых процентов. Наиболеещепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простыхпроцентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисленияпроцентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет:сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты задробную часть срока начисляются по простой процентной ставке.

/>, (12)

гдеa – число полных лет в составе продолжительности операции,

t– число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год,

K–временная база.

Вэтом случае вновь возникает необходимость выполнения календарных вычислений порассмотренным выше правилам. Например, ссуда в 3 млн. рублей выдается 1 января1997 года по 30 сентября 1999 года под 28% годовых (процентная ставка). В случаеначисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная суммасоставит:

S= 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. рублей

Еслиже использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с точнымчислом дней), то получим:

S= 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн. рублей

Такимобразом, щепетильность кредитора в данном случае оказалась вовсе не излишней ибыла вознаграждена дополнительным доходом в сумме 85 тыс. рублей.

Важнойособенностью сложных процентов является зависимость конечного результата отколичества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияниереинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждымновым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов.Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1тыс. рублей возрастет к концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если женачислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. рублей(1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастетдо 1,216 тыс. рублей. По мере увеличения числа начислений (m) ипродолжительности операции эта разница будет очень сильно увеличиваться. Еслиразделить сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении напервоначальную сумму, то получится 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%.Следовательно сложная ставка 20% при однократном наращении и 20% (четыре разапо 5%) при поквартальном наращении приводят к различным результатам, то естьони не являются эквивалентными. Цифра 20% отражает уже не действительную(эффективную), а номинальную ставку. Эффективной процентной ставкой являетсязначение 21,6%. В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставкупринято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам приначислении их m раз в году имеет вид:

/>, (13)

Напримерссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентнойставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год. Будущая сумма к концусрока ссуды составит:

S= 5 * (1 + 0,35 / 2)^(2 * 2) = 9,531 млн. рублей.

Приоднократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. рублей (5 * (1+ 0,35)^2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968млн. рублей (5 * 1 + (0,35 / 12)^(12 * 2)).

Приначислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставкаобозначается буквой f, а формула наращения принимает вид:

/>(14)

Выражение1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке.

Дисконтированиепо сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическоедисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чемучет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случаеоднократного начисления процентов его формула имеет вид:

/>, (15)

где(1 –d)n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке.

приm > 1 получаем

/>, (16)

гдеf – номинальная сложная учетная ставка,

(1– f / m)mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальнойучетной ставке.

Значительноболее широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложнойпроцентной ставке i. Для m = 1 получаем

/>, (17)

где1 / (1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложнойпроцентной ставке.

Принеоднократном начислении процентов в течение года формула математическогодисконтирования принимает вид:

/>, (18)

гдеj –номинальная сложная процентная ставка,

1/ (1 + j / m)mn – дисконтный множитель математического дисконтирования посложной номинальной процентной ставке.

Например,требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. рублей,который должен поступить через 1,5 года, процентная ставка составляет 40%:

приm = 1 P = 3 / (1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. рублей

приm = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3 / (1 + 0,4 / 2)^(2 * 1,5) = 1,736млн. рублей

приm = 12 (ежемесячное начисление) P = (3 / (1 + 0,4 / 12)^(12 * 1,5) = 1,663 млн.рублей.

Помере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) проежуток временимежду двумя смежными начислениями уменьшается – при m = 1 этот промежуток равен1 году, а при m = 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно представитьситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, чтообщее его число в году стремится к бесконечнности, тогда величина промежутка междуотдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление станетпрактически непрерывным. Такая на первый взгляд гипотетическая ситуация имеетважное значение для финансов и при построении сложных аналитических моделей(например при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяютнепрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что принепрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначаетсябуквой δ (читается “дельта”), часто этот показатель называют “сила роста”.Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид:

/>, (19)

гдеe – основание натурального логарифма (≈2,71828...),

edn– множитель наращения непрерывных процентов.

Например,чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если сегодня положить еена банковский депозит под 15% годовых, начисляемых непрерывно?

S= 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тыс. рублей.

Длянепрерывных процентов не существует различий между процентной и учетнойставками – сила роста является универсальным показателем. Однако, наряду спостоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка,величина которой меняется по заданному закону (математической функции). В этомслучае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математическийаппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается внастоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывнойпроцентной ставке.

Непрерывноедисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется по формуле:

/>, (20)

где1 / edn – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста.

Например,в результате осуществления инвестиционного проекта планируется получить через 2года доход в размере 15 млн. рублей. Чему будет равна приведенная стоимостьэтих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22% годовых?

P= 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн. рублей.

Список литературы

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/