Реферат: Элементарные финансовые расчеты

Олег Лытнев

Cфера использования финансовых вычислений значительно шире,чем расчет параметров банковских кредитов. Хорошее владение основами финансовойматематики позволяет сравнивать между собой эффективность отдельных операций иобосновывать наиболее оптимальные управленческие решения. Для анализафинансовых показателей в настоящее время применятся самые изощренныематематические методы. Наличие докторской степени по математике пока неявляется обязательным требованием для финансового менеджера большинствапредприятий, однако знание элементарyых свойствфинансовых показателей и основных взаимосвязей между ними будет ему необходимыначиная с первого дня практической работы.

Большуюпомощь финансисту оказывают специальные компьютерные программы, а такжефинансовые калькуляторы, позволяющие автоматизировать вычисление многихпоказателей. Широкое распространение получило использование финансовых таблицдля начисления сложных процентов и дисконтирования. В этих таблицах приводятсязначения множителей наращения (дисконтных множителей) для заданных n и i. Длянахождения наращенной стоимости достаточно умножить известную первоначальнуюсумму на табличное значение множителя наращения. Аналогично можно найтиприведенную величину будущих денег, умножая их сумму на дисконтный множитель изтаблицы. Рассмотрим некоторые другие элементарные способы использованиярезультатов финансовых вычислений.

Вусловиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с целью снижениясвоего процентного риска могут устанавливать переменные ставки процентов дляразличных финансовых операций. Например, по ссуде в размере 2 млн. рублей общейпродолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30%годовых, а начиная с 61 дня ежемесячно простая процентная ставка будетувеличиваться на 5% (обыкновенные проценты). Фактически, ссуда разбивается нанесколько составляющих, по каждой из которых установлены свои условия.Необходимо найти наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложитьих. Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является показатель“темп прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о базисныхтемпах прироста, т.к. первоначаьная сумма P остается неизменной. Данная задачав статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисныхтемпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа. Общаяформула расчета будет иметь следующий вид:

/>, (1)

гдеN общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по неизменнойставке. Подставив в это выражение условия нашего примера, получим:

S= 2 * (1 + (60 / 360 * 0,3) + (30 / 360 * 0,35) + (30 /360 * 0,4)) = 2,225 млн.рублей

Соответственнодля сложных процентов, речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпахприроста, которые должны не складываться, а перемножаться:

/>(2)

Подставивусловия примера, получим:

S= 2 * (1 + 0,3)60/360 * (1 + 0,35)30/360 * (1 + 0,4)30/360 = 2,203 млн. рублей

Даннуюзадачу можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала средние процентныеставки. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей)вообще очень распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезноопять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так какначисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, средняяпростая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная.

/>, (3)

гдеN – общее число периодов, в течение которых процентная ставка оставаласьнеизменной

Сложныепроценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентнаяставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов вобоих случаях используются продолжительности периодов, для которых действовалафиксированная ставка.

/>(4)

Сноваиспользуем данные нашего примера. В случае начисления простых процентовполучим:

īпр= ((0,3 * 60) + (0,35 * 30) + (0,4 * 30)) / 120 = 0,3375 = 33,75%

S= 2 * (1 + 0,3375 * 120 / 360) = 2,225 млн. рублей

Тоесть средняя процентная ставка составила 33,75% и начисление процентов по этойставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и тот, что был полученпо формуле (1). Для сложных процентов выражение примет вид:

īсл= ((1 + 0,3)60 * (1 + 0,35)30 * (1 + 0,4)30)1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69%

S= 2 * (1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн. рублей

Начислениепроцентов по средней процентной ставке 33,69% также дает результат,эквивалентный тому, что был получен по формуле (2).

Пониманиеразличий механизмов наращения простых и сложных процентов помогает избегатьдовольно распространенных ошибок. Например, следует помнить, что такой процесскак инфляция развивается в геометрической, а не в арифметической прогресссии,то есть к нему должны применяться правила начисления сложных, а не простыхпроцентов. Темпы прироста цен в этом случае являются цепными, а не базисными,т.к. в каждом последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а нек началу года или какой-либо иной неизменной базе. Например, если инфляция вянваре составила 5%, в феврале 4%, а в марте 9%, то общая инфляция за кварталбудет равна не 18% (сумма месячных показателей), а 19,03% (1,05 * 1,04 * 1,09 –1). Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит (1,05 * 1,04 *1,09)1/3 — 1 = 5,98%. С другой стороны, если объявляется, что среднемесячнаяинфляция за год составила 5,98%, то это не значит, что общая инфляция за год в12 раз больше (71,76%). На самом деле годовая инфляция в этом случае составитсвыше 100,7% (1,059812 — 1).

Впредыдущей главе обращалось внимание на сложности, возникающие при попыткепонять смысл антисипативного начисления процентов. Рассмотрим ситуацию, вкоторой необходимо прибегнуть именно к этому способу. Например, коммерсантпредлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материаловвексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который можетбыть учтен в банке по простой учетной ставкой 25% годовых (коммерческиепроценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которуюпонадобится проставить в этом векселе ему необходимо начислить проценты настоимость товаров, используя антисипативный метод. Сумма векселя составит533,333 тыс. рублей (500 * 1 / (1 – 90 / 360 * 0,25). Если продавец в этот жедень учтет этот вексель в банке (на оговоренных условиях), то получит на рукировно 500 тыс. рублей (533,333 * (1 – 90 / 360 * 0,25)). Таким образом,начисление антисипативных процентов используется для определения наращеннойсуммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которойпроизводилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения поучетной ставке является преобладающим в практических расчетах.

Нарядус расчетом будущей и современной величины денежных средств часто возникаютзадачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительностии величины процентной или учетной ставок. Например, может возникнуть вопрос:сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентнойставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходнаясумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованиюсоответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобывычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитатьпродолжительность ссуды по известным первоначальной и будущей суммам, а такжеуровню простой процентной ставки, то преобразуя формулу начисления простыхдекурсивных процентов (S = P * (1 + ni)), получим формулу (5) из табл. 2.2.1.(Все формулы и их нумерация приведены в табл. 2.2.1). По такой же формуле будетопределяться срок до погашения обязательства при математическомдисконтировании.

Определениесрока финансовой операции для антисипативного начисления процентов ибанковского учета производится по формуле (6) из табл. 2.2.1. Например, нужноопределить через какой период времени произойдет удвоение суммы долга приначислении на нее 20% годовых простых а) при декурсивном методе начисленияпроцентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоихслучаях принимается равной 365 дней (точные проценты). Применив формулы (5) и(6), получим:

а)t = (2 – 1) / 0,2 * 365 = 1825 дней (5 лет);

б)t = (1 – 1 / 2) / 0,2 * 365 = 912,5 дней (2,5 года)

Этиже формулы можно применить для определения срока до погашения обязательств придисконтировании. Например, по векселю номиналом 700 тыс. рублей банк выплатил520 тыс. рублей, произведя его учет по простой ставке 32% годовых. Чему равенсрок до погашения векселя? Применив формулу (6), получим:

t= (1 – 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 дней

Товар,стоимостью 1,5 млн. рублей оплачивается на условиях коммерческого кредита,предоставленного под 15% годовых (простая процентная ставка, временная база 360дней). Сумма оплаты по истечении срока кредита составила 1 млн. 650 тыс.рублей. Чему равен срок предоставленного кредита? Из формулы (5) следует:

t= (1,65 / 1,5 – 1) / 0,15 * 360 = 240 дней  

Таблица2.2.1

Формулырасчета продолжительности финансовых операций и процентных (учетных) ставок поним

Способ начисления

процентов

Продолжительность ссуды Процентная (учетная) ставка 1. Простые декурсивные проценты (t – длительность в днях, K – временная база)

/>(5)

/>(12)

2. Простые антисипативные проценты (t – длительность в днях, K – временная база)

/>(6)

/>(13)

3. Сложные декурсивные проценты проценты по эффективной ставке i (n – длительность, лет)

/>(7)

/>(15)

4. Сложные декурсивные проценты по номинальной ставке j (n – длительность, лет)

/>(8)

/>(16)

5. Дисконтирование по сложной эффективной учетной ставке d (n – длительность, лет)

/>(9)

/>(17)

6. Дисконтирование по сложной номинальной учетной ставке f (n – длительность, лет)

/>(10)

/>(18)

Непрерывное наращение (дисконтирование) по постоянной силе роста d (n – длительность, лет)

/>(11)

/>(19)

Например,сколько лет должен пролежать на банковском депозите под 20% (сложная процентнаяставка i) вклад 100 тыс. рублей, чтобы его сумма составила 250 тыс. рублей?Подставив данные в формулу (7), получим:

n= log2(250 / 100) / log2(1 + 0,2) ≈ 5 лет

Еслиначисление процентов при этих же условиях будет производиться ежемесячно, то всоответствии с формулой (8):

n= log2(250 / 100) / log2(1 + 0.2 / 12)12 ≈ 4,6 года

Чтобыизбежать использования вычислений логарифмов, разработаны упрощенные способыприближенных вычислений срока финансовых операций. Один из них — “правило 70” — позволяет определить период удвоения первоначальной суммы при начислениисложных процентов по приближенной формуле 70% / i. Проверим его на нашемпримере, заменив значение наращенной суммы 250 тыс. рублей на 200 тыс. рублей.По “правилу 70” эта сумма должна быть накоплена через 3,5 года (0,7 / 0,2).Подставив соответствующие значения в формулу (7) получим 3,8 года.

Ещеодним важнейшим параметром любой финансовой операции является процентная(учетная) ставка. Кроме технической функции, выполняемой этим показателем входе расчетов, он используется для оценки доходности – одного изфундаментальных понятий финансового менеджмента. Часто можно услышать (илипрочитать) выражения, подобные следующим: “на этой сделке я заработал 50%” или“менеджеры нашего фонда обеспечат годовую доходность по Вашим вкладам не ниже100% ” и т.п. Следует сразу оговориться, что сами по себе эти выражения вполнекорректны, однако объем содержащейся в них полезной информации значительноменьше, чем может показаться на первый взгляд. Из содержания предыдущей главыможно сделать вывод, что любое упоминание о процентных ставках требует массуоговорок и уточнений. Попытаемся понять смысл первого выражения. Во-первыхследует уточнить, к какому промежутку времени относится полученный доход –месяцу, году или длительности самой сделки. В последнем случае необходимознать, чему равна эта длительность. Так как ничего не известно ни о сумме ни одлительности сделки, то ее результат “50% дохода” невозможно сравнить сдоходностью какой-то другой операции, чтобы сделать вывод об уровне ее эффективности.Если в ответ на это выражение кто-нибудь заявит: “А я имею 25% годовых посвоему банковскому депозиту”, то определить, который же из этих двух инвесторовоказался более удачливым, будет практически невозможно.

Сталкиваясьс упоминанием о процентных ставках, финансист должен выяснить о каких процентах– простых или сложных, дискретных или непрерывных, – идет речь. Далеенеобходимо точно определиться с временной базой – рассчитываются ли годовыепроценты или какие-то еще, если проценты годовые, то возникает вопрос, какимобразом определяется длительность операции и продолжительность года. В случаеначисления сложных процентов должно быть оговорено количество начисленийпроцентов в течение года. В результате может оказаться, что методика определениядоходности, используемая одним из контрагентов, не совпадает с той, что“принята на вооружение” другой стороной. Однако в этом уже не будет никакойтрагедии, так как, зная особенности обеих этих методик, финансисты достаточнобыстро приведут результаты своих расчетов в сопоставимый вид. То есть,своевременно задавая необходимые вопросы, финансист тем самым предотвращаетвозможные неприятные последствия использования несогласованных терминов. Врядли в обозримом будущем удастся заставить всех рассчитывать доходность покакой-либо единой методике, поэтому задача финансиста состоит не в том, чтобывынудить своего контрагента применять единственноый “правильный” способ, а втом, чтобы как можно скорее разобраться самому, что именно понимает подтермином “доходность” его собеседник, и после этого решить, каким образом можноунифицировать расчеты. Вопросы определения доходности заслуживают отдельногоразговора, поэтому здесь будут рассмотрены наиболее общие моменты расчетауровня процентных ставок в отдельных финансовых операциях и нахожденияэквивалентных им значений.

Вначалерассмотрим способы расчета величины процентных (учетных) ставок, когда заданыдругие параметры финансовой операции. Преобразовав формулы декурсивного иантисипативного наращения простых процентов, получим выражения (12) и (13) втабл. 2.2.1). Например, чему будет равна простая процентная ставка по ссуде,выданной на 90 дней в размере 350 тыс. рублей, и возвращенной по истечениисрока в сумме 375 тыс. рублей (временная база 360 дней)? Подставив эти данные вформулу (12), получим:

i= (375 – 350) / (350 * 90) * 360 ≈ 28,6%

Вексельноминалом 1 млн. рублей учтен в банке за 60 дней до его погашения в сумме 900тыс. рублей. По какой простой учетной ставке было произведено егодисконтирование? Используем для расчетов формулу (13):

d= (1 – 0,9) / (1 * 60) * 360 = 60%

Очевидно,что даная методика может (и должна) использоваться при анализе любых финансовыхоперациях, а не только в процессе банковского кредитования. Например,иностранная валюта в объеме 1000 единиц, купленная по курсу 20 руб. за 1единицу, через месяц была продана по курсу 20 руб. 50 коп. Определитьдоходность этой операции по годовой простой процентной ставке (коммерческиепроценты). Из формулы (12) получаем:

i= (20500 – 20000) / (20000 * 30) * 360 = 30%

Аналогичныйподход к расчету доходности используется и на фондовых рынках. Например,Центральным Банком России была рекомендована следующая формула расчетадоходности ГКО:

/>, (14)

гдеN – номинал облигации;

P– цена ее приобретения;

t– срок до погашения.

Посути дела она повторяет формулу (12) применительно к точным процентам(временная база 365 дней). Например, облигация номиналом 10 тыс. рублей былаприобретена за 8,2 тыс. рублей за 40 дней до погашения. Ее годовая доходность,рассчитанная как простая процентная ставка, составит:

r= (10 / 8,2 – 1) * 365 / 40 * 100 ≈ 200,3%

Точнотакой же результат можно получить, применив формулу (12).

Неследует отождествлять процентную ставку, указываемую в кредитном договоре, сдоходностью операции, рассчитанной в процентах. В первом случае процентнаяставка является реальным параметром финансовой операции, однозначноопределяющим величину платежа, который должен последовать в случае исполнениядоговора. Доходность же – это производная величина, не определяющая, аопределяемая теми денежными потоками, которые порождает кредитный договор(ценная бумага или другой финансовый инструмент). В первой главе данногопособия подчеркивался абстрактный характер понятия “прибыль предприятия”. То жесамое можно сказать о доходности – в явной форме она не присутствует в ходеосуществления финансовой операции. Рассчитывая доходность финансовой операции,инвестор получает субъективную оценку ее величины, зависящую от целого рядапредпосылок, таких как способ начисления процентов, выбор временной базы и т.п.Эти предпосылки не являются объективными и неизбежными – при всем уважении кЦентральному банку инвестор может определить доходность купленной им ГКО поставке сложных, а не простых процентов, не нарушив при этом ни физических ниюридических законов (и поступив совершенно правильно с позиции финансовойтеории).

Рекомендациявычислять доходность по методике наращения простых процентов используется наданном рынке как соглашение его участников (точно такое же как соглашение оподсчете точной временной базы). Выполнение условий этого соглашения гарантируетучастникам рынка сопоставимость результатов их расчетов, т.е. помогает избежатьпутаницы, но не более этого. Степень соответствия того либо иного методарасчета доходности идеалу в данном контексте не имеет значения – это предметнаучных дискуссий. Используя неправильную или несовершенную методику расчетадоходности, инвестор имеет все шансы достаточно быстро разориться, точно так жекак и предприятие, завышающее прибыль, вследствие неправильного калькулированияиздержек. Но конечной причиной банкротства станет отсутствие у него денег дляпокрытия обязательств, до этого момента ни один кредитор не сможет вчинить иско банкротстве только на основании несогласия с методикой подсчета доходности,которой пользуется его должник.

Дляфинансового менеджмента сложные проценты имеют неизмеримо большую ценность, чемпростые. Очевидно, что при использовании методики расчета простых процентовзначение доходности искажается уже из-за того, что данная методика не учитываетвозможности реинвестирования полученных доходов. Пэтому при прочих равныхусловиях безусловно предпочтительным является расчет доходности как ставкисложных процентов. Рассмотрим методику определения величины этой ставки, когдаизвестны другие параметры финансовой операции. В результате преобразованияисходных выражений наращения (дисконтирования) по сложным процентам, получим(см. (15) – (19) в табл. 3.2.1).

Вкачестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего примера какставку сложного процента (наращение 1 раз в году):

i= (10 / 8,2)365/40 – 1 ≈ 511,6%

Этотрезультат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную как ставкупростых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий для расчетадоходности сложные проценты, в два с половиной раза богаче того, кто купив водин день с ним точно такую же облигацию, применяет для вычислений простыепроценты? Тогда последнему следует срочно разучивать новую формулу и точно также богатеть.

Однако,в случае сложных процентов не все так однозначно. Если рассчитывать доходностькак сложную номинальную ставку (16), то ее уровень резко снизится, при m = 12получим:

j= 12 * ((10 / 8,2)1/(12*40/365)) – 1 ≈ 195,5%

Прирасчете доходности как силы роста – непрерывные проценты (19) – ее уровеньбудет более точно соответствовать тому, что был рассчитан с помощью простойпроцентной ставки:

d= ln (10 / 8,2) / (40 / 365) ≈ 203,6%

Чтобыне запутаться в обилии методов расчета процентных ставок не обязательнозазубривать каждую формулу. Достаточно четко представлять, каким образом онаполучена. Кроме этого, следует помнить, что любому значению данной ставки можетбыть поставлено в соответствие эквивалентное значение какой-либо другойпроцентной или учетной ставки. В предыдущей главе был приведен подобный примерэквивалентности между простыми процентной и учетной ставками (5).Эквивалентными называются ставки, наращение или дисконтирование по которымприводит к одному и тому же финансовому результату. Например, в условияхпоследнего примера эквивалентными являются простая процентная ставка 200,3% исложная процентная ставка 511,6%, т.к. начисление любой из них позволяетнарастить первоначальную сумму 8,2 тыс. рублей до 10 тыс. рублей за 40 дней.Приравнивая между собой множители наращения (дисконтирования), можно получитьнесложные формулы эквивалентности различных ставок. Для удобства эти формулыпредставлены в табличной форме. В заголовки граф табл. 3.2.2 помещены простыепроцентная (i) и учетная (d) ставки. В заголовках строк этой таблицы указанывсе рассмотренные в данном пособии ставки. На пересечении граф и столбцовприводятся формулы эквивалентности соответствующих ставок. В таблицу невключены уравнения эквивалентности простых процентных и сложных учетных ставок,вследствие маловероятности возникновения необходимости в таком сопоставлении.

Знаниеуравнений эквивалентности позволяет без труда переходить от одного измерениядоходности к другому. Например, доходность облигаций по простой процентнойставке составила за полгода 60%. По формуле (21) найдем, что в пересчете насложные проценты это составляет 69%. Доходность векселя, дисконтированного попростой учетной ставке 50% за 3 месяца до срока погашения, в пересчете напростую процентную ставку составит 57,14% (34), если же по процентной ставкепринята точная временная база (365 дней), то применив формулу (36), получим i =57,94%).

Таблица2.2.2

Эквивалентностьпростых ставок

Простая процентная ставка

(iпр)

Простая учетная ставка

(dпр)

Сложная процентная ставка (iсл)

/>(20)

/>(21)

/>(22)

/>(23)

Сложная номинальная процентная ставка (j)

/>(24)

/>(25)

/>(26)

/>(27)

Сила роста (d)

/>(28)

/>(29)

/>(30) />(31)

Простая учетная

ставка (dпр)

n = t / K

/>(32)

/>(33)

–

Простая учетная ставка (dпр)

ki = kd = 360

/>(34)

/>(35)

–

Простая учетная ставка (dпр)

ki = 365

kd = 360

/>(36)

/>(37)

–

Например,предприятие может столкнуться с необходимостью выбора между получением кредитана 5 месяцев под сложную номинальную ставку 24% (начисление процентовпоквартальное) и учетом в банке векселя на эту же сумму и с таким же срокомпогашения. Небходимо определить простую учетную ставку, которая сделает учетвекселя равновыгодной операцией по отношению к получению ссуды. По формуле (26)получим d = 22,21%.

Кромеформул, приведенных в табл. 3.2.2 и 3.2.3, следует отметить еще одно полезноесоотношение. Между силой роста и дисконтным множителем декурсивных процентовсуществунт следующая связь:

/>(38)

Помере усложнения задач, стоящих перед финансовым менеджментом, сфера применениянепрерывных процентов будет расширяться, так как при этом становится возможнымиспользовать более мощный математический аппарат. Особенно наглядно этопроявляется в случае непрерывных процентных ставок. В обыденной практикефинансистов данный способ пока еще не занял должного места, что в какой-то мереобъясняется его непривычностью, может быть чересчур “отвлеченным” характером.Однако трезвый анализ показывает, что предположение о непрерывностиреинвестирования начисленных процентов не такое уж абстрактное и нереальное. Всамом деле, как для простых, так и для сложных процентов факт непрерывности ихначисления ни у кого не вызывает сомнений (годовая ставка 36% означает 3% вмесяц, 0,1% в день и т.д., то есть можно начислять проценты хоть за долисекунды). Но точно такой же аксиомой для финансов является признаниевозможности мгновенного реинвестирования любых полученных сумм. Что же мешаетсовместить два этих предположения? В теории сумма начисленных процентов может (идолжна) реинвестироваться сразу по мере ее начисления, т.е. непрерывно. Вданном утверждении ничуть не меньше логики, чем в предположении, чтореинвестирование должно производиться дискретно. Почему реинвестирование 1 разв год считается более “естественным” чем 12 или 6 раз? Почему эта периодичностьпривязывается к календарным периодам (год, квартал, месяц), почему нельзяреинвестировать начисленные сложные проценты, скажем 39 раз в год или 666 разза период между двумя полнолуниями? На все эти вопросы ответ, скорее всего,будет один – так сложилось, так привычно, так удобнее. Но выше уже былоотмечено, что практический расчет величины реальных денежных потоков (например,дивидендных или купонных выплат) и определение доходности финансовых операцийэто далеко не одно и то же. Если привычнее и удобнее выплачивать купон пооблигации 2 раза в год, то так и следует поступать. Но, определять доходностьэтой операции более логично по ставке непрерывных процентов.

Таблица2.2.3

Эквивалентностьсложных процентных ставок

Сложная процентная ставка

(iсл)

Сложная учетная ставка

(dсл)

Сложная номинальная процентная ставка (j)

/>(39)

/>(40)

/>(41)

/>(42)

Сила роста (d)

/>(43)

/>(44)

Сложная номинальная процентная ставка (j)

/>(45)

/>(46)

Сложная учетная ставка (dсл)

/>(47)

/>(48)

–

Например,по вкладу в размере 10 тыс. рублей начисляется 25 простых процентов в год. Вконце 1 года вклад возрастет до 12500 рублей. Доходность, измеренная как попростой (формула 12), так и сложной (15) процентной ставке i, составит 25%годовых. Однако, измеряя доходность по номинальной ставке j (16) при m = 2,получим лишь 23,61%, т.к. в этом случае будет учтена потерянная вкладчикомвозможность реинвестирования процентов хотя бы 2 раза в год. Если же измеритьдоходность по силе роста (19), то она окажется еще ниже – всего 22,31%, т.к.теоретически он мог реинвестировать начисленные проценты не 2 раза в год, анепрерывно.

Список литературы

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.cfin.ru/